Différentiation Paramétrique: Calcul, Exemples

Table des mateères

Pourquoi utilise-t-on la différenciation paramétrique ?

La différenciation paramétrique est utilisée pour décrire la pente et la concavité des courbes paramétriques qui sont définies par des équations paramétriques. Ces types d'équations décrivent souvent des courbes qui se superposent en plusieurs points et qui sont difficiles à décrire avec des équations cartésiennes. Les dérivées paramétriques peuvent ensuite être utilisées pour construire les équations des tangentes et des normales des courbes.

Quelles sont les étapes de la différenciation paramétrique ?

Décomposons-les.

Appliquer la règle de la chaîne standard

La première étape consiste à appliquer la règle de la chaîne standard car nous cherchons toujours la dérivée de dy/dx, mais nous devons trouver l'expression correcte pour les équations paramétriques données. La règle de la chaîne est la suivante :

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \times \frac{d u}{d x}$

Prenons un exemple contenant les équations paramétriques d'un cercle :

x (t) = \cos (t) y (t) = \sin (t)

En utilisant la règle de la chaîne, nous avons maintenant l'expression suivante :

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d t} \cdot \frac{d t}{d x} = \frac{\frac{d y}{d t}}{\frac{d x}{d t}}$

La règle de la chaîne peut également être exprimée comme un Rapport des deux dérivées par rapport au paramètre commun, en réarrangeant l'expression comme indiqué ci-dessus - à condition que le dénominateur ne soit pas nul. Il s'agit d'une astuce qui simplifie le processus, également appelée règle de la chaîne inversée.

Différenciation de chaque équation paramétrique séparément

Dans un deuxième temps, nous devons procéder à la différenciation de chaque équation. Nous allons maintenant procéder à la différenciation de la fonction x par rapport à t, puis répéter le processus pour la fonction y. Cela servira ensuite à créer le Ratio indiqué à l'étape 2, pour trouver la dérivée paramétrique dy/dx, en divisant les deux dérivées .

En continuant avec le premier exemple, les dérivées des fonctions x, y par rapport à t sont les suivantes :

\frac{d x}{d t} = - \sin (t) \frac{d y}{d t} = \cos (t)

Créer un rapport des dérivées paramétriques.

La troisième et dernière étape consiste à substituer chaque dérivée paramétrique dans l'expression du rapport obtenu par l'application de la règle de la chaîne. En poursuivant l'exemple, nous divisons la dérivée y sur la dérivée x.

$\frac{d y}{d x} \frac{\frac{d y}{d t}}{\frac{d x}{d t}} = \frac{\cos (t)}{- \sin (t)} = - c o t (t)$

Trouve le rapport dy/dx si dy/dθ est ^x5+6 et dx/dθ est ^x3.

Solution :

On divise dy/dθ sur dx/dθ pour obtenir dy/dx.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{d y}{d θ}}{\frac{d x}{d θ}} = \frac{x^{5} + 6}{x^{3}}$

Trouve le rapport du/dz est du/da est tan(a) et dz/da est ^cos2(a).

Solution : On divise du/da sur dz/da pour que la composante da du rapport soit éliminée.

$\frac{d u}{d z} = \frac{\frac{d u}{d a}}{\frac{d z}{d a}} = \frac{\tan (a)}{\cos^{2} (a)}$

Trouver l'équation d'une tangente à une courbe à l'aide de la différenciation paramétrique

La tangente d'une courbe est une ligne droite qui touche la surface d'une courbe en un point précis $(x_{1}, y_{1})$ comme le montre la figure ci-dessous. Puisqu'une tangente est une ligne droite, l'équation de la tangente a la forme y = ax +c où a est le gradient ou la pente et c est une constante.

La pente de la ligne tangente est égale à la dérivée de la courbe. Si le point de tangence est connu ainsi que les équations paramétriques, l'équation de la tangente peut être trouvée en utilisant la différenciation paramétrique avec la formule suivante, où $x_{1}, y_{1}$ sont les coordonnées du point de tangence.

$y - y_{1} = a (x - x_{1})$

Différenciation paramétrique Exemple de tangente d'une courbe StudySmarter Exemple de tangente d'une courbe StudySmarter

Trouve l'équation de la tangente d'une courbe au point (4, -6). $x = t^{2}, y = t^{2} - 5 t$

Solutions :

Effectue d'abord la différenciation paramétrique puisque les équations paramétriques sont données. En utilisant la règle de la chaîne inversée, nous divisons dx/dt sur dy/dt.

$\frac{d x}{d t} = 2 t \frac{d y}{d t} = 2 t - 5 \frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d t} / \frac{d x}{d t} = \frac{2 t - 5}{2 t}$

Maintenant, nous devons trouver les valeurs de t au point de tangence en substituant les coordonnées données (4,-6) dans l'une des équations paramétriques.

Nous substituerons la coordonnée y dans l'équation paramétrique y pour cet exemple particulier afin de montrer ce qui se passe lorsque deux valeurs possibles de t se présentent. En général, une seule substitution est nécessaire pour trouver une valeur pour t au point de la tangente.

$- 6 = t^{2} - 5 t \Rightarrow t^{2} - 5 t + 6 = 0 \Rightarrow t = 3, t = 2$

Pour vérifier laquelle des deux valeurs de x est valide, nous devons vérifier la valeur de x correspondante si elle est vraie pour la valeur de t choisie, car nous voulons une valeur de t qui soit cohérente et vraie à la fois pour les valeurs de x et de y.

Lorsque t=3 alors :

$x = t^{2} \Rightarrow x = 3^{2} = 9 \Rightarrow x = 9$

mais la valeur réelle de x est 4.

Par conséquent, la valeur de t=3 n'est pas valable pour le point de tangence.

Lorsque t=2 alors :

$x = t^{2} \Rightarrow x = 2^{2} = 4 \Rightarrow x = 4$

La valeur de t=2 est donc valide.

Nous avons trouvé la valeur de t qui est vraie, nous pouvons donc maintenant continuer à trouver la pente correspondante en substituant la valeur de t à la dérivée trouvée. La dernière étape consiste à substituer la pente et les coordonnées dans la formule donnée :

\frac{d y}{d x} = \frac{2 t - 5}{2 t} = \frac{2 \times 2 - 5}{2 \times 2} = \frac{- 1}{4} y - y_{1} = a (x - x_{1}) \Rightarrow y - (- 6) = \frac{- 1}{4} (x - 4) y + 6 = \frac{- 1}{4} x + \frac{- 1}{4} \cdot (- 4) y = - \frac{1}{4} x - 5

Comment trouver l'équation d'une normale à une courbe ?

Une normale à une courbe est aussi une ligne droite qui est perpendiculaire à la tangente de la courbe en un point précis $(x_{1}, y_{1})$ comme le montre la figure ci-dessous. De la même façon que l'équation d'une tangente, l'équation de la normale peut également être trouvée en utilisant la dérivée au point spécifié. Cependant, la pente de la normale doit être l'inverse négatif de la dérivée de la courbe comme le montre la formule ci-dessous où T et N indiquent respectivement la pente de la tangente et de la normale.

$S l o p e_{T} \times S l o p e_{N} = - 1$

Différenciation paramétrique Exemple de normale d'une courbe Study Smarter Exemple de normale d'une courbe Study Smarter

Trouve la normale à la courbe de l'exemple ci-dessus.

Solutions :

En continuant l'exemple ci-dessus, l'équation de la normale à la courbe peut être trouvée en appliquant la formule donnée. Lapente de la tangente est de -1/4 aux coordonnées données .

$- \frac{1}{4} \cdot s l o p e_{N} = - 1 \Rightarrow S l o p e_{N} = 4$

En utilisant la formule de l'équation d'une droite et en substituant les coordonnées et la pente, on trouve l'équation de la normale à la courbe.

y - y_{1} = a (x - x_{1}) \Rightarrow y - (- 6) = 4 (x - 4) y = 4 x - 22

Différenciation paramétrique - Points clés à retenir

La différenciation paramétrique est utilisée pour différencier des équations paramétriques.
Les équations paramétriques peuvent être différenciées en appliquant la règle de la chaîne inversée
Les dérivées paramétriques sont divisées pour supprimer le paramètre commun et trouver $\frac{d y}{d t} \div \frac{d x}{d t}$
La dérivée ou la pente d'une courbe peut être utilisée pour trouver l'équation de la tangente de la courbe si le point de tangence est connu.
De même, l'équation d'une normale à une courbe peut être trouvée en utilisant la dérivée ou la pente ainsi que les points de contact.

Fiches dans Différentiation Paramétrique 12

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Qu'est-ce qu'une équation paramétrique ?

Les équations paramétriques sont deux équations dépendant d'une troisième variable commune.

Quelle est la différence entre différencier des équations cartésiennes et différencier des équations paramétriques ?

Sous forme cartésienne, la règle de la chaîne est appliquée, et les dérivées de deux fonctions sont multipliées, mais dans la différenciation paramétrique, la règle de la chaîne inverse est appliquée et les deux dérivées sont divisées .

Comment trouver la pente de la tangente d'une courbe paramétrique ?

En trouvant la dérivée de la courbe.

Comment trouver la pente d'une courbe paramétrique ?

Utilisation de la différenciation paramétrique.

Qu'est-ce que la normale d'une courbe ?

C'est la droite perpendiculaire à la tangente d'une courbe.

Qu'est-ce que la tangente d'une courbe ?

C'est une ligne droite qui touche une courbe en un seul point.

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Questions fréquemment posées en Différentiation Paramétrique

Qu'est-ce que la différentiation paramétrique?

La différentiation paramétrique implique de dériver des équations où les coordonnées x et y dépendent d'un paramètre commun t.

Comment trouve-t-on la dérivée en fonction du paramètre?

Pour trouver la dérivée dy/dx, utilisez dy/dt ÷ dx/dt.

Pourquoi utiliser la différentiation paramétrique?

Utiliser la différentiation paramétrique simplifie la dérivation de courbes complexes définies par des paramètres.

Quels sont les domaines d'application?

Les domaines incluent la physique, l'ingénierie et l'informatique, notamment pour la modélisation de trajectoires.

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