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Les fonctions implicites sont des fonctions qui contiennent deux variables inconnues (x et y) dans lesquelles la variable dépendante n'est pas isolée d'un côté de l'équation. Parfois, en raison de la complexité des équations, il n'est pas facile de réarranger l'équation de sorte que y puisse être résolu en termes de x pour effectuer une différenciation normale. La différenciation implicite est une méthode qui permet de différencier y par rapport à x (\(\frac{dy}{dx}\)) sans avoir à résoudre y.
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Équipe enseignants Différentiation Implicite
La différenciation implicite peut également être utilisée pour décrire la pente et la concavité des courbes qui sont définies par les équations paramétriques. Ces types d'équations décrivent souvent des courbes de fonctions implicites. Les dérivées peuvent alors être utilisées pour construire les équations des tangentes et des droites normales des courbes.
Pour les fonctions explicites de la forme \(y = ax+\)... nous effectuons une différenciation standard en utilisant la règle de la chaîne. Cependant, si les fonctions sont écrites implicitement sous la forme \(x + y = a\), nous utilisons alors une variante de la règle de la chaîne en raison de l'hypothèse selon laquelle y peut être exprimée comme une fonction de x.
Nous différencions toutes les variables des deux côtés de l'équation (côté gauche et côté droit) par rapport à x. Cependant, pour les termes y, nous les multiplions par \(\frac{dy}{dx}\).
Après avoir différencié, nous résolvons \(\frac{dy}{dx}\).
Un cercle est décrit par l'équation ci-dessous. Trouve la dérivée du cercle.
\N- [x^2 + y^2 = 49\N]
Solution :
Nous différencions d'abord chaque partie de l'équation. Cependant, pour le terme y, nous devons également le multiplier par dy/dx.
\[\frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(49)\]
\N- [2x + 2y \Nfrac{dy}{dx} = 0\N]
\N- [\Nfrac{dy}{dx} = - \Nfrac{2x}{2y}\N]
Trouve \(\frac{dy}{dx}\) si
\N- [x^5 + y^2 - x \Ncdot y = 9\N]
Solution :
\[\frac{d}{dx}(x^5) + \frac{d}{dx}(y^2) - \frac{d}{dx}(xy) = \frac{d}{dx}(9) = 0]
Dans cet exemple, nous avons également la multiplication de deux variables, ce qui signifie que nous devons également inclure la règle du produit pour différencier le terme xy .La formule de la règle du produit est la suivante.
\[\frac{d}{dx}(uv) = v\frac{d}{dx}(u) + u\frac{d}{dx}(v)\]
La formule de la dérivée du terme xy est donc :\[\frac{d}{dx}(xy) = y\frac{d}{dx}(x) + x\frac{d}{dx}(y)\N].
Si nous suivons la procédure ci-dessous, nous obtenons :
\[5x^4 + 2y \frac{dy}{dx} - (1y + x\frac{dy}{dx}) = 0\].
\N- [5x^4 + 2y\frac{dy}{dx} - y -x\frac{dy}{dx} = 0\N]
\[\frac{dy}{dx}(2y - x) = y - 5x^4\]
Et en résolvant pour \(\frac{dy}{dx}\) :
\[\frac{dy}{dx} = \frac{y-5x^4}{2y-x}\]
Pour la différenciation d'ordre supérieur, nous procédons de la même manière ; cependant, pour trouver la dérivée seconde, nous devons différencier la dérivée première, et pour trouver la dérivée troisième, nous devons différencier la dérivée seconde, et ainsi de suite. Nous pouvons généraliser cela en utilisant la formule.
Ici, n est l'ordre de la dérivée.
\[\frac{d^ny}{dx^n} = \frac{d}{dx} (\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}})\]
Pour différencier des fonctions implicites, nous continuons avec les règles de différenciation implicite mentionnées plus tôt afin de trouver d'abord la dérivée d'ordre inférieur. Pour trouver les dérivées d'ordre supérieur, nous devons également appliquer la formule ci-dessus.
Trouve la dérivée seconde de l'expression suivante.
\N- [x^2 + 2y = 3\N]
Différenciation par rapport à x :
\[2x + 2\frac{dy}{dx} = 0\]
\N- [\Nfrac{dy}{dx} = -x\N]
Différenciant à nouveau par rapport à x :
\N- [\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N{d^2y}{dx^2} = -1\N-]
Nous pouvons trouver l'équation d'une tangente - qui est une ligne droite - en utilisant la procédure de différenciation implicite pour trouver la pente d'une courbe. Si le point de tangence est connu, l'équation d'une ligne droite peut être trouvée à l'aide de la formule ci-dessous, où x1,y1 sont les coordonnées du point et a est la pente ou la dérivée de la courbe.
\N- [y - y_1 = a(x-x_1)\N]
Une courbe a une équation comme ci-dessous.
\N- [x^3 + x^2 + xy = 3\N]
Trouve l'équation de la tangente au point où x = 1.
Nous commençons par trouver le point de tangence. Nous pouvons le faire en substituant la coordonnée donnée, pour trouver la coordonnée y possible.
\N- 1^3 + 1^2 + 1y = 3 \NFlèche droite y = 1\N]
Pour déterminer l'équation de la tangente, nous avons également besoin de la pente de la courbe au point de tangence.
\[\frac{d}{dx}(x^3) + \frac{d}{dx}(x^2)+ \frac{d}{dx}(xy) = \frac{d}{dx} (3)\]
\(3x^2 + 2x + y+ x\frac{dy}{dx} = 0 \frac{dy}{dx} = \frac{-3x^2 - 2x -y}{x} = \frac{-3 \cdot 1^2 - 2 \cdot 1 -1}{1} = 6\)
Nous pouvons construire l'équation de la tangente à l'aide de la formule donnée.
\N(y-y_1 = a(x-x_1) \NFlèche droite y-1 = 6(x-1) \NFlèche droite y = -6x + 7\N)
De la même façon, nous suivons le même processus pour trouver l'équation de la normale à une courbe. Cependant, la pente de la normale est toujours l'inverse négatif de la pente de la tangente de la courbe, comme le montre la formule ci-dessous où N et T indiquent respectivement la pente de la normale et de la tangente.
\(pente_N \cdot pente_T = -1\)
Trouve la pente de la normale à la courbe donnée dans l'exemple précédent.
Solution :
En poursuivant l'exemple précédent, la pente de la normale peut être trouvée en utilisant la dérivée qui a été trouvée.
\(\frac{dy}{dx} = -6\)
En utilisant la formule de la pente de la normale à la courbe, la pente de la normale est la réciproque négative de la pente de la courbe puisqu'elle est perpendiculaire à la courbe. La pente de la normale est donc de 1/6. En utilisant la formule de construction d'une ligne droite, l'équation de la normale est la suivante.
\(y - y_1 = \frac{dy}{dx}(x - x_1)\)
\(y -1 = \frac{1}{6}(x -1) \Flèche droite y = \frac{x}{6} + \frac{5}{6}\)
La différenciation implicite est une méthode utilisée lorsque les deux variables inconnues sont utilisées dans une équation qui n'est pas isolée d'un côté de l'équation.
Tous les termes sont différenciés et le terme y doit être multiplié par \(\frac{dy}{dx}\).
La différenciation implicite d'ordre supérieur est utilisée lorsqu'une dérivée de second ou de troisième ordre est nécessaire. La dérivée d'ordre inférieur est différenciée pour trouver l'ordre de dérivée requis.
L'équation d'une tangente et d'une normale à une courbe décrite par des équations implicites peut être trouvée en utilisant la dérivée implicite et les coordonnées.
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Lily Hulatt is a Digital Content Specialist with over three years of experience in content strategy and curriculum design. She gained her PhD in English Literature from Durham University in 2022, taught in Durham University’s English Studies Department, and has contributed to a number of publications. Lily specialises in English Literature, English Language, History, and Philosophy.
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Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models’ (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.
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