Il existe une méthode traditionnelle pour différencier les fonctions, cependant, nous nous concentrerons sur la recherche du gradient toujours par différenciation, mais à partir des premiers principes. Cela signifie que nous utiliserons la méthode standard des graphiques en ligne droite de \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\) pour trouver le gradient d'une fonction.
Comment fonctionne la différenciation à partir des premiers principes ?
La différenciation par les premiers principes consiste à utiliser \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\) pour calculer le gradient d'une fonction. Nous allons examiner de plus près le processus étape par étape ci-dessous :
ÉTAPE 1 : Soit \(y = f(x)\) une fonction. Choisis deux points x et \N(x+h\N).
Les coordonnées de x seront \N((x, f(x))\N) et les coordonnées de \N(x+h\N) seront (\N(x+h, f(x + h)\N)).
ÉTAPE 2 : Trouve \N(\Delta y\N) et \N(\Delta x\N).
\N(\NDelta y = f(x+h) - f(x) ; \NDelta x = x+h-x = h\N)ETAPE 3 : Compléter \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\).$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$$.ÉTAPE 4 : Prends une limite :\[f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\].
La formule de différenciation à partir des premiers principes
La formule ci-dessous se trouve souvent dans les livrets de formules que l'on donne aux élèves pour apprendre la différenciation à partir des premiers principes :
\[f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\].
Dérivée de sin(x) à l'aide des premiers principes
Pour trouver la dérivée de sin(x) en utilisant les premiers principes, nous devons utiliser la formule des premiers principes que nous avons vue plus haut :
\[f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\].
Ici, nous remplacerons f(x) par notre fonction, sin(x) :
\[f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{\sin(x+h) - \sin (x)}{h}\]
En utilisant l'identité trigonométrique, nous pouvons obtenir la formule suivante, équivalente à la formule ci-dessus :
\[f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{(\sin x \cos h + \sin h \cos x) - \sin x}{h}\].
Nous pouvons maintenant éliminer le terme \(\sin x\) :
\[\N- Début{alignement} f'(x) &= \Nlim_{h\Nà 0} \Nfrac{\Nsin x(\Ncos h -1) + \Nsin h\Ncos x}{h} \N- &= \Nlim_{h \Nà 0}(\frac{\sin x (\cos h -1)}{h} + \frac{\sin h \cos x}{h}) \N- &= \Nlim_{h \Nà 0} \Nfrac{\Nsin x (\Ncos h - 1)}{h} + lim_{h \to 0} \frac{\sin h \cos x}{h} \N-(\Nsin x) \Nlim_{h \Nà 0} \Nfrac{\Ncos h - 1}{h} + (\Ncos x) \N- (\Ncos x) \N- (\Ncos h - 1)}{h} + (\cos x) \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} \N-END{align} \]
Ici, nous avons besoin d'utiliser quelques limites standard : \(\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1\), et \(\lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} = 0\).
En les utilisant, nous arrivons à :
\[f'(x) = 0 + (\cos x) (1) = \cos x\].
Et donc :
\[\frac{d}{dx} \sin x = \cos x\]
Dérivée de cos(x) à l'aide des premiers principes
Pour trouver la dérivée de cos(x) en utilisant les premiers principes, nous devons utiliser la formule des premiers principes que nous avons vue plus haut :
\[f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\].
Ici, nous remplacerons f(x) par notre fonction, cos(x) :
\[f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{\cos(x+h) - \cos (x)}{h}\]
Pour l'étape suivante, nous devons nous souvenir de l'identité trigonométrique : \(cos(a +b) = \cos a \cdot \cos b - \sin a \cdot \sin b\).
En utilisant l'identité trigonométrique, nous pouvons obtenir la formule suivante, équivalente à la formule ci-dessus :
\[f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{(\cos x\cdot \cos h - \sin x \cdot \sin h) - \cos x}{h}\].
Nous pouvons maintenant éliminer le terme \(\cos x\) :
\[f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{\cos x(\cos h - 1) - \sin x \cdot \sin h}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{\cos x(\cos h - 1)}{h} - \frac{\sin x \cdot \sin h}{h}\].
Nous devons maintenant changer les facteurs de l'équation ci-dessus pour simplifier la limite plus tard. Pour cela, tu devras reconnaître les formules que tu peux facilement résoudre.
Les équations qui te seront utiles ici sont les suivantes : \(\lim_{x \à 0} \frac{\sin x}{x} = 1 ; et \lim_{x_à 0} \frac{\cos x - 1}{x} = 0\).
Si nous substituons les équations dans l'indice ci-dessus, nous obtenons :
\[\lim_{h\to 0} \frac{\cos x(\cos h - 1)}{h} - \frac{\sin x \cdot \sin h}{h}]. \crightarrow \lim_{h \to 0} \cos x (\frac{\cos h -1 }{h}) - \sin x (\frac{\sin h}{h}) \crightarrow \lim_{h \to 0} \cos x(0) - \sin x (1)\c}]
Finalement, on peut arriver à :
\[\lim_{h \to 0} \cos x(0) - \sin x (1) = \lim_{h \to 0} (-\sin x)\].
Puisqu'il n'y a plus de variables h dans l'équation ci-dessus, nous pouvons laisser tomber le \(\lim_{h \to 0}\), et avec cela nous obtenons l'équation finale de :
\[\frac{d}{dx} (\cos x) = -\sin x\].
Exemples pratiques de différenciation à partir des premiers principes
Voyons deux exemples, l'un facile et l'autre un peu plus difficile.
Différencie à partir des premiers principes \(y = f(x) = x^3\).
SOLUTION :
Étapes | Exemple travaillé |
ÉTAPE 1 : Soit \(y = f(x)\) une fonction. Choisis deux points x et x + h. | Les coordonnées sont \N((x, x^3)\N) et \N((x+h, (x+h)^3)\N). Nous pouvons simplifier \N-(x+h)^3 = x^3 + 3x^2 h+3h^2x+ h^3\N) |
ÉTAPE 2 : Trouver \(\Delta y\) et \(\Delta x\). | \(\Delta y = (x+h)^3 - x = x^3 + 3x^2h + 3h^2x+h^3 - x^3 = 3x^2h + 3h^2x + h^3 ; \Delta x = x+ h- x = h\) |
ETAPE 3 : Complète \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\) | \(\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{3x^2h+3h^2x+h^3}{h} = 3x^2 + 3hx+h^2\) |
ÉTAPE 4 : Prends une limite. | \(f'(x) = \lim_{h \to 0} 3x^2 + 3h^2x + h^2 = 3x^2\) |
RÉPONSE | \N(3x^2\N) cependant toute la preuve est une différenciation à partir des premiers principes. |
La différenciation peut donc être considérée comme la limite d'un gradient entre deux points d'une fonction. Tu verras que ces réponses finales reviennent à prendre les dérivées.
Prenons un autre exemple pour essayer de vraiment comprendre le concept. Cette fois, nous utilisons une fonction exponentielle.
Différencie à partir des premiers principes \(f(x) = e^x\).
SOLUTION :
| Etapes | Exemple travaillé |
ÉTAPE 1 : Soit y = f(x) une fonction. Choisis deux points x et x + h. | Les coordonnées sont \N((x, e^x)\N) et \N((x+h, e^{x+h})\N). |
ÉTAPE 2 : Trouver \N(\Delta y\N) et \N(\Delta x\N) | \N-(\NDelta y = e^{x+h} -e^x = e^xe^h-e^x = e^x(e^h-1)\N)\N(\NDelta x = (x+h) - x= h\N) |
ÉTAPE 3 : Compléter \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\) | \(\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{e^x(e^h-1)}{h}\) |
| ÉTAPE 4 : Prends une limite. | |
| REPONSE | \N(e^x\N), mais bien sûr, toute la preuve est une réponse puisqu'il s'agit d'une différenciation à partir des premiers principes. |
Différenciation à partir des premiers principes - Principaux points à retenir
- La différenciation consiste à trouver le gradient d'une courbe.
- Le gradient d'une courbe change en tout point.
- La différenciation peut être traitée comme une limite tendant vers zéro.
- La formule pour différencier à partir des premiers principes se trouve dans le livret de formules et est \(f'(x) = \lim_{h \à 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)
Apprends avec 2 fiches de Différentiation des principes de base dans l'application gratuite StudySmarter
Nous avons 14,000 fiches sur les paysages dynamiques.
Tu as déjà un compte ? Connecte-toi
Questions fréquemment posées en Différentiation des principes de base
À propos de StudySmarter
StudySmarter est une entreprise de technologie éducative mondialement reconnue, offrant une plateforme d'apprentissage holistique conçue pour les étudiants de tous âges et de tous niveaux éducatifs. Notre plateforme fournit un soutien à l'apprentissage pour une large gamme de sujets, y compris les STEM, les sciences sociales et les langues, et aide également les étudiants à réussir divers tests et examens dans le monde entier, tels que le GCSE, le A Level, le SAT, l'ACT, l'Abitur, et plus encore. Nous proposons une bibliothèque étendue de matériels d'apprentissage, y compris des flashcards interactives, des solutions de manuels scolaires complètes et des explications détaillées. La technologie de pointe et les outils que nous fournissons aident les étudiants à créer leurs propres matériels d'apprentissage. Le contenu de StudySmarter est non seulement vérifié par des experts, mais également régulièrement mis à jour pour garantir l'exactitude et la pertinence.
En savoir plus
