Ces nombres sont devenus si populaires qu'ils ont même leur propre plan, appelé le plan complexe (bien qu'il n'ait rien de complexe), également connu sous le nom de diagramme d'Argand.
Dans cet article, tu apprendras à repérer les nombres complexes dans leur plan pas si complexe que ça !
Les nombres complexes dans un diagramme d'Argand
Commençons par expliquer ce que sont les nombres complexes.
Un nombre complexe est un nombre de la forme \(z=a+bi\). où \(i\) est appelé l'unité imaginaire et satisfait \(i^2=-1\), et \(a,b\) sont des nombres réels.
Le nombre \(a\) est souvent appelé la partie réelle de \(z\), ou \(\text{Re} (z)\), et \(b\) la partie imaginaire de \(z\), ou \(\text{Im} (z)\).
Tu peux aussi voir la partie réelle écrite comme \N(\NRe(z)\N) et la partie imaginaire écrite comme \N(\NIm(z)\N).
Les nombres complexes peuvent être représentés sur un plan. Ce plan est appelé diagramme d'Argand, plan d'Argand ou plan complexe.
Le diagramme d'Argand est similaire au plan cartésien, sauf que l'axe \(x\) est maintenant l'axe réel, tandis que l'axe \(y\) est l'axe imaginaire.
Pour représenter un nombre complexe sur le diagramme d'Argand, tu dois d'abord placer le nombre réel sur l'axe horizontal, puis le nombre imaginaire sur l'axe vertical. Ainsi, le nombre \(z=3+2i\), correspond au point \((3,2)\) sur le plan d'Argand.
Figure 1. Diagramme d'Argand avec le nombre complexe \(3+2i\)
Quadrants dans un diagramme d'Argand
Comme le plan cartésien, le diagramme d'Argand est également divisé en quadrants, qui sont numérotés dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.
Selon la partie réelle et imaginaire d'un nombre complexe, celui-ci se trouvera dans son quadrant respectif.
Dans le premier quadrant se trouvent les nombres complexes \(z\N) tels que \N(\text{Re}(z) > 0\N) et \N(\text{Im}(z) > 0\N).
Dans le deuxième quadrant se trouvent les nombres complexes \(z\N) tels que \N(\Ntext{Re}(z) < 0\N) et \N(\Ntext{Im}(z) > 0\N).
Dans le troisième quadrant se trouvent les nombres complexes \N(z\N) tels que \N(\text{Re}(z) < 0\N) et \N(\text{Im}(z) < 0\N).
Dans le quatrième quadrant se trouvent les nombres complexes \N(z\N) tels que \N (\text{Re}(z) > 0\N) et \N(\text{Im}(z) < 0\N).
Figure 2. Diagramme d'Argand divisé en quadrants
Formules dans un diagramme d'Argand
Comme indiqué ci-dessus, le nombre complexe \(z=a+bi\) correspond au point \((a,b)\) dans le plan complexe. Mais il est également possible de le localiser à l'aide des coordonnées polaires.
Note que si tu dessines une ligne entre l'origine et le point \N((a,b)\N), l'emplacement du point est déterminé par la longueur de cette ligne et l'angle qu'elle forme avec l'axe réel.
Figure 3. Coordonnées polaires
En utilisant cette idée, un nombre complexe \(z=a+bi\) peut également s'écrire comme suit
\N-[z=re^{i\theta},\N]
où \(r\) est la longueur de la ligne joignant le nombre complexe à l'origine (ou \(r=|z|\)), donnée par la formule suivante
\[r=\sqrt{a^2+b^2}.\]
La valeur de \N(\Ntheta\N) dépend de l'emplacement du nombre complexe.
Tableau 1. Valeur de \(\theta\).
Emplacement de \(z\) | Valeur de \N-(\Ntheta\N) |
\(\text{Im}(z)=0\) et \text{Re}(z)>0\) | \(0\) |
Premier quadrant | \N(\Narctan \Ngauche(\Ndrac{b}{a}\Ndroite)\N) |
\(\text{Im}(z)>0\) et \(\text{Re}(z)=0\) | \N(\Ndfrac{\pi}{2}\N) |
Deuxième quadrant | \(\arctan \left(\dfrac{b}{a}\right)+\pi\) |
\(\text{Im}(z)=0\) et \(\text{Re}(z)<0\) | \N- (\Npi\N) |
Troisième quadrant | \(\arctan \left(\dfrac{b}{a}\right)-\pi\) |
\(\text{Im}(z)<0\) et \(\text{Re}(z)=0\) | \(\dfrac{3\pi}{2}\) |
Quatrième quadrant | \N(\Narctan \Ngauche(\Ndfrac{b}{a}\Ndroite)\N) |
Pour en savoir plus sur cette notation, visite l'article Le module et l'argument d'un nombre complexe.
Cercles dans un diagramme d'Argand
Un cercle est constitué d'un ensemble de points qui se trouvent à une distance fixe d'un point appelé centre.
Comme indiqué ci-dessus, la quantité \(|z|\) mesure la distance de \(z\) à l'origine. Ainsi, l'ensemble \(|z|=k\) avec \(k\geq 0\), est constitué de tous les nombres complexes \(z\) tels que leur distance à l'origine est \(k\), qui est un cercle dont le centre est l'origine et le rayon \(k\). Ce cercle est désigné par
\N- [|z|=k.\N]
En général, un cercle de rayon \(k\) dont le centre est un nombre complexe \(z_0\) est désigné par
\N- [|z-z_0|=k.\N]
Représente graphiquement tous les nombres complexes tels que \(|z-3+5i|=4\).
Solution :
Tout d'abord, note que
\[|z-3+5i|=|z-(3-5i)|.\]
Par conséquent, si l'on considère la formule du cercle, cet ensemble est un cercle dont le centre est \(3-5i\) et le rayon \(4\).
Figure 4. Le graphique de \(|z-3+5i|=4\)
Loci dans un diagramme d'Argand
Maintenant que tu sais comment représenter graphiquement des cercles, voyons quels autres ensembles tu peux visualiser dans le plan complexe.
Lieu de Re(z)=k
Pour un nombre réel \(k\), le lieu de \(\text{Re}(z)=k\) fait référence à l'ensemble de tous les nombres complexes \(z\) tels que leur partie réelle est égale à la valeur \(k\).
Par conséquent, le lieu de \(\text{Re}(z)=k\) est une ligne parallèle à l'axe imaginaire, passant par la valeur \(k\) sur l'axe réel.
Trouve le lieu de \(\text{Re}(z)=-5\).
Solution :
Le lieu de \(\text{Re}(z)=-5\) est une droite parallèle à l'axe imaginaire et passe par \(-5\) sur l'axe des réels.
Figure 5. Lieu de \(\text{Re}(z)=-5\)
Lieu de \(\text{Im}(z)=k\)
Pour un nombre réel \(k\), le lieu de \(\text{Im}(z)=k\) se réfère à l'ensemble de tous les nombres complexes \(z\) tels que leur partie imaginaire est égale à la valeur \(k\).
Par conséquent, le lieu de \(\text{Im}(z)=k\) est une ligne parallèle à l'axe réel, passant par la valeur \(k\) sur l'axe imaginaire.
Trouve le lieu de \(\text{Im}(z)=3\).
Solution
Le lieu de \(\text{Im}(z)=3\) est une droite parallèle à l'axe des réels et passe par \(3\) sur l'axe imaginaire.
Figure 6. Lieu de \(\text{Im}(z)=3\)
Lieu de \N-(|z-a|=|z-b|\N)
Étant donné \(a\) et \(b\), deux nombres complexes, le lieu de \(|z-a\=|z-b\) fait référence à l'ensemble de tous les nombres complexes \(z\) tels que leur distance à \(a\) est égale à leur distance à \(b\).
Par conséquent, le lieu de \(|z-a|=|z-b|\) est la bissectrice perpendiculaire du segment de droite joignant les deux nombres complexes \(a\) et \(b\).
Trouve le lieu de \(|z-1-i|=|z+1+i|\).
Solution :
Note que
\[|z-1-i|=|z-(1+i)|\]
et \N-[|z+1+i|=|z-(-1-i)|.\N].
Le lieu de \(|z-1-i|=|z+1+i|\) est donc la bissectrice perpendiculaire de la ligne joignant \(1+i\) et \(-1-i\).
Figure 7. Lieu de \(|z-1-i|=|z+1+i|\)
Exemple de diagramme d'Argand
Prenons un exemple pour appliquer ce que tu as vu jusqu'à présent.
Localise les nombres complexes \(4+3i\) et \(-3-4i\) et trouve leur expression en coordonnées polaires.
Solution :
Les nombres complexes sont représentés ci-dessous.
Figure 8. Les nombres complexes \(4+3i\) et \(-3-4i\) dans un diagramme d'Argand
Pour trouver son expression en coordonnées polaires, tu dois utiliser la formule selon le quadrant où se trouve le nombre complexe.
Pour \(4+3i\) : la valeur de \(r\) est donnée par
\[r=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5.\]
Pour calculer \N(\Ntheta\N), note que \N(4+3i\N) est dans le premier quadrant, donc
\N[\Ntheta=\Narctan \Ngauche(\Nfrac{3}{4}\Ndroite)\Napprox 0.64.\N].
Par conséquent, le nombre complexe \(4+3i\) en coordonnées polaires est \(5e^{0,64i}\).
Pour \(-3-4i\) : la valeur de \(r\) est donnée par
\[r=\sqrt{(-4)^2+(-3)^2}=\sqrt{25}=5.\]
Pour calculer \N(\Ntheta\N), note que \N(-3-4i\N) est dans le troisième quadrant, donc
\[\N- \Ntheta=\Narctan \Ngauche(\Nfrac{-4}{-3}\Ndroite)-\Npi\Napprox -2.21 .\N]
Par conséquent, le nombre complexe \(-3-4i\) en coordonnées polaires est \(5e^{-2,21i}\).
Prenons un autre exemple.
Trouve le lieu \(\text{Im}(z) = -2\) et le lieu \(\text{Re}(z)= 4\). Y a-t-il des nombres qui se trouvent dans les deux ensembles ?
Solution :
Le lieu de \(\text{Im}(z) = -2\) est une ligne horizontale passant par \(-2\), le lieu de \(\text{Re}(z)= 4\) est une ligne verticale passant par \(4\) et la seule valeur dans les deux ensembles est le nombre complexe \(4-2i\).
Figure 9. Le lieu de \(\text{Im}(z) = -2\) et \(\text{Re}(z)= 4\)
Diagramme d'Argand - Points clés
- Un diagramme d'Argand est un plan à deux dimensions que tu peux utiliser pour visualiser les nombres complexes.
- Le diagramme d'Argand est également appelé plan d'Argand ou plan complexe.
- Un nombre complexe \(z=a+bi\) peut être écrit sous la forme \[z=re^{i\theta},\] où \(r\) est la longueur de la ligne reliant le point à l'origine, donnée par la formule \[r=\sqrt{a^2+b^2},\] et \(\theta\) est l'angle de cette ligne par rapport à l'axe des réels.
- Un cercle de centre \N(z_0\N) et de rayon \N(k\N) s'écrit \N[|z-z_0|=k.\N].
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