Qu'est-ce qu'une matrice ?
Une matrice est un tableau utilisé pour stocker, afficher et calculer des données. Les éléments internes sont appelés éléments et la matrice aura \(m\) colonnes et \(n\) lignes.
Pour comprendre ce qu'est un déterminant et comment l'appliquer, nous devons d'abord comprendre ce qu'est une matrice.
Une matrice est une façon d'afficher des informations - par exemple, un système d'équations simultanées peut être écrit sous forme de matrice où les colonnes représentent une variable et les lignes les équations. Les solutions forment alors un vecteur de colonnes. La notation matricielle facilite les transformations et la résolution des ensembles de données, en particulier lorsqu'il y a plus de deux équations à résoudre !
Mais comment résoudre une matrice ? C'est là que les déterminants entrent en jeu - nous les utilisons pour résoudre les matrices.
La notation générale des matrices est la suivante : \(m\) indique le nombre de colonnes et \(n\) indique le nombre de lignes. L'intérieur de la matrice peut alors être écrit comme suit : [A_{m,n} = \begin{bmatrix}a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,n} \N-END{bmatrix}\N]
Pour plus d'informations et d'exemples, consulte notre article sur les matrices de base.
\Exemple de matrice (2 fois 2)[A_{2,2}= Début{bmatrix}3&7\12&-3\NFin{bmatrix}]
\Exemple de matrice[A_{2,3}=\combinaison{bmatrix}2&-4&19\c11&23&5\cfin{bmatrix}\c].
\(4\times 3\) matrix example\[A_{4,3}=\begin{bmatrix}2&8&4\\-2&-5&-3\\13&9&7\\-7&3&-2\end{bmatrix}\]
Les matrices sont un moyen très utile d'afficher et de stocker un grand nombre d'informations et elles sont largement utilisées dans les mathématiques, la physique et l'ingénierie aux niveaux supérieurs de ces disciplines.
Qu'est-ce qu'un déterminant ?
Nous connaissons maintenant les bases générales des matrices, mais qu'est-ce qu'un déterminant et en quoi est-il pertinent ?
Le déterminant est une valeur que l'on peut calculer pour toute matrice carrée et que l'on peut utiliser pour calculer la matrice inverse.
Une matrice carrée est une matrice qui a un nombre égal de lignes et de colonnes.
Comme tu peux le voir ci-dessous, les matrices carrées ont un nombre égal de lignes et de colonnes pour former un carré.
\Exemple de matrice (2 fois 2) : [A_{2,2}= début{bmatrix}3&7\12&-3\end{bmatrix}]
\Exemple de matrice \(3 fois 3\) \[A_{3,3}=\begin{bmatrix}1&2&3\4&5&6\7&8&9\end{bmatrix}\]
Une matrice inversible est une matrice pour laquelle on peut trouver une autre matrice telle que leur produit est la matrice identité \((I)\) .
Notre matrice initiale peut être notée \N(A\N) et la seconde matrice est l'inverse de cette matrice et est donc notée \N(A^{-1}\N). Cela donne l'identité \N[AA^{-1}=I.\N] Tu peux considérer les matrices inverses comme les réciproques du monde des matrices.
Le déterminant nous indique également si une matrice est inversible. Soit le déterminant de la matrice A noté \N(\Ndet{A}.\N).
- Si le déterminant de la matrice A est donné par \(\det{A} = 0\), la matrice estsingulière et n'a donc pas d'inverse. Il n'y a pas de solution à cette matrice.
- Si le déterminant de la matrice A est donné par \(\det{A} \neq 0\) la matrice est non singulière et a donc un inverse. Il existe une solution pour cette matrice.
Pour plus d'informations et d'exemples sur l'inversion d'une matrice, consulte notre article Inverser des matrices.
Déterminant d'une matrice 2x2
Nous savons maintenant ce qu'est un déterminant et à quoi il sert, mais nous devons encore découvrir comment il fonctionne.
Commençons par la forme la plus basique - le déterminant d'une matrice \(2\times 2\). La méthode de calcul du déterminant d'une matrice \(2 fois 2\) s'explique essentiellement par la multiplication croisée et la soustraction de ces valeurs multipliées.
Considérons la matrice suivante,\N[A_{2,2} = \begin{bmatrix}a_{1,1} & a_{1,2} \a_{2,1} & a_{2,2}\end{bmatrix}\]C'est la notation que nous avons utilisée précédemment mais nous allons l'écrire avec des éléments distincts pour que la méthodologie soit plus facile à suivre. Par conséquent,\N[A_{2,2} = \begin{bmatrix}a&b\c&d\end{bmatrix}\NNotre première étape consiste à effectuer une multiplication croisée - nous multiplions en haut à gauche, en bas à droite, puis en haut à droite, en bas à gauche - puis nous soustrayons la deuxième multiplication de la première. Par conséquent,\N-[\Ndet{A}=ad-cb\N]Dans notre notation originale, ce serait,\N-[\Ndet{A}=a_{1,1}a_{2,2}-a_{1,2}a_{2,1}\N]Appliquons maintenant ceci à un exemple.
Trouve le déterminant de la matrice \(A\) ci-dessous et identifie ensuite si la matrice est inversible.\[A=\begin{bmatrix}4&9\\-2&8\end{bmatrix}\]
Solution
Étape 1. Trouve le déterminant
\[\N- Début{alignement} \det{A}&=ad-cb\\&=(4\cdot 8)-(9\cdot -2)\\&=32-(-18)\\&=50\end{align}\]
Étape 2. Détermine si la matrice \(A\) est inversible
\N(\Ndet{A} \Nneq 0\N) donc la matrice \N(A\N) est non singulière et donc inversible.
Nous allons maintenant apprendre à trouver le déterminant d'une matrice \(3 fois 3\).
Déterminant d'une matrice 3x3
Nous avons vu comment trouver le déterminant d'une matrice \(2\times 2\) mais nous pouvons également rencontrer des matrices \(3\times 3\) dans les cours de mathématiques complémentaires.
Le processus est légèrement plus complexe que le déterminant d'une matrice \N(2\Nfois 2\N) mais suit les mêmes principes. Considérons la matrice ci-dessous,\[A_{3,3}=\begin{bmatrix}a&b&c\d&e&f\g&h&i\end{bmatrix}\]La façon dont nous calculons le déterminant de cette matrice est de la décomposer en une série de matrices \N(2\Nfois 2\N).
Pour ce faire, nous parcourons la rangée supérieure et nous multiplions chacun des éléments par le déterminant desa minorité.
Les mineurs d'une matrice \(3\times 3\) sont les éléments qui restent si tu rayes la ligne et la colonne issues de ton élément racine.
Note la convention de signe ici avec la formule du déterminant - elle va \(+,-,+\).
Dans l'astuce ci-dessus, tu peux voir que la convention de signe est \N(+,-,+\N). Ce sont les cofacteurs de la première ligne d'une matrice \(3 fois 3\).
Bien que cela dépasse légèrement le cadre de ce qui t'est demandé ici, il existe des cofacteurs pour chaque élément de la matrice.
Cela signifie que nous pourrions également trouver le déterminant d'une matrice en utilisant les rangées 2 ou 3 comme éléments racines et prendre les mineurs à partir de là - il nous suffirait d'appliquer les cofacteurs corrects pour le faire.
Cependant, tout ce dont tu dois te préoccuper pour l'instant, c'est de la rangée supérieure et de \(+,-,+\).
Voyons maintenant comment appliquer cela à un exemple.
Trouve le déterminant de la matrice ci-dessous.\N-[A_{3,3}=\begin{bmatrix}4&8&12\7&19&2\0&5&2\end{bmatrix}\]
Solution
Nous appliquons notre formule pour le déterminant.\[\begin{align}\det{A}&=a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg)\\&=4[(19\cdot 2)-(2\cdot 5)]-8[(7\cdot 2)-(2\cdot 0)]+12[(7\cdot 5)-(19\cdot 0)]\\&=4[(38)-(10)]-8[(14)-(0)]+12[(35)-(0)]\\&=4(28)-8(14)+12(35)\\&=112-112+420\\&=420 \end{align}\]
Nous passons maintenant à la connaissance du déterminant d'une matrice diagonale, après l'avoir défini.
Déterminant d'une matrice diagonale
Pour calculer le déterminant d'une matrice diagonale, il faut d'abord comprendre ce qu'est une matrice diagonale.
Une matrice diagonale est une matrice dont tous les éléments non diagonaux valent 0. Cela ne signifie pas que les éléments diagonaux eux-mêmes ne peuvent pas contenir la valeur 0, mais cela signifie que tout élément non diagonal vaut 0.
Elle se présente sous la forme suivante : [A={begin{bmatrix}a_{1,1} & 0 &0& \cdots & 0 \c0 & a_{2,2} & 0&\cdots & 0 \c0&].0&a_{3,3}&\cdots &0\cdots & \vdots &\vdots &\vdots & \ddots & \vdots \cdots & 0 &0& \cdots & a_{m,n} \Nend{bmatrix}\]
Le déterminant d'une matrice diagonale peut être trouvé en multipliant les éléments diagonaux.
Le déterminant d'une matrice diagonale est le produit des éléments diagonaux. Par conséquent, [\det{A}=a_{1,1}\cdot a_{2,2}\cdot a_{3,3} \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot a_{m,n}\].
Si les éléments diagonaux ne sont pas tous des valeurs non nulles, la matrice ne peut pas être non singulière car un produit avec une matrice \(0\) retournera toujours une solution de \(0\) et, comme nous l'avons vu précédemment, cela rend la matrice singulière et non inversable.
Voyons cela dans un exemple.
Find \(\det{A}\), where,\[A_{5,5}=\begin{bmatrix}13&0&0&0&0\\0&-6&0&0&0\\0&0&7&0&0\\0&0&0&-1&0\\0&0&0&0&3\end{bmatrix}\]
Solution
Nous savons que le déterminant d'une matrice diagonale est le produit des éléments diagonaux. \N- [\N- Début{alignement} \det{A}&=a_{1,1}\cdot a_{2,2}\cdot a_{3,3}\cdot a_{4,4}\cdot a_{5,5}\&=(13)\cdot (-6)\cdot (7)\cdot (-1)\cdot (3)\c&=1638.\n- end{align}\Nous savons que le déterminant d'une matrice diagonale est le produit des éléments diagonaux.]
Peut-on calculer le déterminant d'une matrice inverse ? La réponse est OUI !
Déterminant d'une matrice inverse
Notre dernière matrice à considérer dans le cadre de l'étude des déterminants est la matrice inverse.
Pour que la matrice inverse existe, nous savons que la matrice d'origine doit avoir un déterminant dont la valeur n'est pas nulle. Nous avons également comparé la matrice inverse à la réciproque de la matrice d'origine, ce qui va entrer en ligne de compte ici.
Le déterminant d'une matrice inverse est égal à l'inverse ou à la réciproque de la matrice originale. En termes mathématiques, cela signifie que le déterminant d'une matrice inverse prend la forme suivante : [\det{A^{-1}}=\frac{1}{\det{A}}.\].
Prenons l'exemple suivant.
Prends la matrice \(A\) ci-dessous et vérifie si elle est inversible. Si la matrice \(A\) est inversible, trouve le déterminant de cette matrice inverse.
\[A=\begin{bmatrix}6&2\\12&9\end{bmatrix}\]
Solution
Étape 1. Trouve le déterminant de \(A\)
\N- [\N- Début{alignement} \det{A}&=ad-cb\\&=(6\cdot 9)-(12\cdot 2)\\&=54-24\\&=30\end{align}\]
Étape 2. Détermine si la matrice \(A\) est inversible
\(\det{A} \neq 0\) donc la matrice \(A\) est non singulière et donc inversible.
Étape 3. Trouve le déterminant de la matrice inverse
\[\begin{align}\det{A^{-1}}&=\frac{1}{\det{A}}\\&=\frac{1}{30}. \N- [Fin{align}\N-]
Déterminant d'une matrice - Principaux enseignements
- Le déterminant d'une matrice \N(2 fois 2\N) est donné par,\N[\Ndet{A}=ad-bc\N].
- Le déterminant d'une matrice \(3 fois 3\) utilise les éléments de la ligne supérieure et le déterminant de leurs mineurs respectifs pour calculer le déterminant. This is given by,\[\begin{align}\det{A}&=a\cdot \det{\begin{bmatrix}e&f\\h&i\end{bmatrix}}-b\cdot \det{\begin{bmatrix}d&f\\g&i\end{bmatrix}}+c\cdot \det{\begin{bmatrix}d&e\\g&h\end{bmatrix}} \N- & =a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg)\Nend{align} \]
- Le déterminant d'une matrice diagonale est le produit de tous les éléments diagonaux - qui sont les seuls éléments qui peuvent être non nuls. Il est donné par : \[\det{A}=a_{1,1}\cdot a_{2,2}\cdot a_{3,3} \cdot \cdot \cdot \cdots \cdad \cdot a_{m,n}\].
- Le déterminant d'une matrice inverse est l'inverse du déterminant de la matrice originale. Il est donné par \[\det{A^{-1}}=\frac{1}{\det{A}}\]
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