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Cet article explorera la convexité et la concavité, à la fois dans les fonctions et les polygones. Lorsque nous parlons de convexité et de concavité, nous faisons référence à la forme de la courbe ou de la fonction. La convexité et la conc avité semblent être des termes compliqués. Cependant, nous allons apprendre qu'ils n'ont rien d'effrayant - il s'agit simplement d'une façon de décrire l'aspect d'une courbe ou d'une fonction. Alors, sans plus d'introduction, définissons ce que sont exactement les fonctions concaves et convexes.
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Inscris-toi gratuitementLaquelle des fonctions suivantes serait une fonction convexe ?
Lequel des éléments suivants est une fonction concave ?
Quelle équation est à la fois concave et convexe ?
Un polygone dont l'angle interne est supérieur à 180 degrés est :
Un triangle sera toujours un :
Si le graphique d'une fonction se trouve toujours en dessous d'une ligne droite reliant deux coordonnées de la fonction, cette fonction est.. :
Si le graphique d'une fonction est toujours au-dessus d'une ligne droite reliant deux coordonnées de la fonction, cette fonction est.. :
Un graphique logarithmique serait-il :
Un hexagone régulier serait-il concave ou convexe ?
Laquelle des fonctions suivantes serait une fonction convexe ?
Lequel des éléments suivants est une fonction concave ?
Quelle équation est à la fois concave et convexe ?
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Si le graphique d'une fonction se trouve toujours en dessous d'une ligne droite reliant deux coordonnées de la fonction, cette fonction est.. :
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Un hexagone régulier serait-il concave ou convexe ?
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Équipe enseignants Convexité et Concavité
Tout d'abord, nous allons parler des fonctions concaves.
Une fonction concave est une fonction pour laquelle un segment de droite entre deux points quelconques du graphique ne se situe pas au-dessus de la courbe du graphique. En d'autres termes, la ligne droite est toujours en dessous ou sur la courbe.
Voici un exemple de fonction concave. Tu peux voir que si nous choisissons deux points quelconques sur la courbe et que nous traçons un segment de droite entre eux, le segment de droite se situera toujours en dessous de la courbe.
Exemple de fonction concave- StudySmarter Originals
Bien que cet exemple n'utilise que deux points, pour qu'une fonction soit concave, la règle doit être vraie pour toutes les combinaisons de points de cette fonction, dans l'intervalle donné.
Pour représenter algébriquement qu'une fonction est concave, on utilise l'équation suivante :
En d'autres termes, supposons queetsont deux points quelconques de l'axe des x sur lesquels la fonction est représentée.
Avant d'exprimer cela en mots, il est important de comprendre quesélectionne n'importe quel point entre les pointset. De même, sélectionne n'importe quel point entreet.
La première partie de l'inégalité permet de trouver la valeur de la fonction pour tout point situé entreet. La deuxième partie sélectionne n'importe quel point entre les fonctions de et . Ainsi, cette équation représente que la fonction de n'importe quel point entreetest supérieure ou égale à tout point situé entre les pointset.
En observant le graphique ci-dessus, il est clair que cela est vrai pour ce graphique car les fonctions des points entre les coordonnées d'intersection sont supérieures aux fonctions entre les deux fonctions, représentées par l'équation linéaire bleue.
Rappelle-toi que est tout nombre compris entre un et zéro, de sorte que tous les points et toutes les fonctions entre les paramètres d'origine sont vérifiés.
Une fonction convexe est une fonction pour laquelle un segment de droite entre deux points quelconques du graphique ne se situe pas en dessous de la courbe du graphique, En d'autres termes, la ligne droite est toujours au-dessus ou au même endroit que la courbe de la fonction. C'est le contraire d'une fonction concave.
Un exemple peut être vu ci-dessous :
Exemple de fonction convexe- StudySmarter Originals
Il est clair que ce type de fonction s'oppose à une fonction concave. Une ligne entre deux points (représentant toutes les fonctions entre les deux fonctions) est toujours au-dessus ou au même niveau que la fonction elle-même.
Comme les deux types de fonctions ont des paramètres similaires, leurs équations se ressemblent. Elles n'ont qu'une seule différence essentielle :
Remarque que le signe d'inégalité est inversé. Puisque toutes les autres composantes sont identiques, cette fonction représente que tout point situé entre les coordonnées sélectionnées est supérieur ou égal à tout point de la fonction situé entre les deux coordonnées.
Oui, c'est possible. En effet, les deux fonctions ont un signe égal dans l'inégalité. L'exemple le plus courant est celui d'une ligne droite, car la fonction d'un point situé entre deux points correspondra à la fonction équivalente entre les deux fonctions.
Un polygone concave est une forme géométrique dont au moins un angle interne dépasse 180 degrés (ou radians). C'est-à-dire qu'il y a une ligne qui se courbe plus à l'intérieur qu'une ligne droite.
Un exemple de ce type de forme peut être vu ci-dessous :
Exemple de polygone concave- StudySmarter Originals
Dans la forme ci-dessus, l'angle EDC dépasse 180 degrés. Il s'agit donc d'une fonction concave.
Il existe un test visuel qui permet de vérifier si un polygone est concave : si une ligne droite entre deux points quelconques à l'intérieur d'un polygone sort de la forme, il s'agit d'un polygone concave. Par exemple, ci-dessous, nous pouvons voir que si nous traçons le segment de droite la ligne sort de la forme. Par conséquent, le polygone est concave.
Test visuel pour le polygone concave- StudySmarter Originals
Un polygone convexe est un polygone dont aucun angle interne ne dépasse 180 degrés ( radians), c'est-à-dire qu'il n'y a pas d'angle interne qui se courbe plus loin qu'une ligne droite. Rappelle qu'un polygone est une forme entièrement constituée de segments de droite.
Un exemple serait la forme suivante :
Exemple de polygone convexe - StudySmarter Originals
Le test visuel pour les polygones concaves peut être inversé pour tester un polygone convexe. Comme ce polygone n'a pas deux points qui créent un segment qui se croise à l'extérieur de lui, cette forme géométrique est un polygone convexe.
La principale différence entre la concavité et la convexité réside dans le fait que les angles sous-tendus dans les formes convexes s'incurvent vers l'extérieur alors que les angles sous-tendus dans les formes concaves s'incurvent vers l'intérieur. Tout repose sur le fait qu'il y a ou non un angle qui dépasse 180 degrés.
Tu trouveras ci-dessous d'autres exemples de polygones concaves et convexes. Vois si tu peux déterminer s'ils sont concaves ou convexes.
Pour les polygones suivants, détermine s'ils sont concaves ou convexes.
Solution :
Déterminer la concavité ou la convexité exemple 1- StudySmarter Originals
Dans la forme ci-dessus, on peut voir qu'il y a des angles intérieurs qui dépassent 180 degrés. Par exemple, l'angle KJI dépasse 180 degrés. Il est donc concave.
Déterminer la concavité ou la convexité exemple 2- StudySmarter Originals
Pour ce polygone, on peut voir qu'il y a aussi des angles intérieurs qui dépassent 180 degrés. Par exemple, l'angle EDC dépasse 180 degrés. Il est donc concave.
Déterminer la concavité ou la convexité exemple 3- StudySmarter Originals
Pour le polygone ci-dessus, nous pouvons voir qu'il n'y a pas d'angles intérieurs qui dépassent 180 degrés. Il est donc convexe.
Tu trouveras ci-dessous d'autres exemples de fonctions concaves et convexes. Vois si tu peux déterminer si elles sont concaves ou convexes.
Pour les fonctions suivantes, détermine si elles sont concaves, convexes ou les deux.
Solution :
Déterminer la concavité ou la convexité des fonctions exemple 1- StudySmarter Originals
Dans l'exemple ci-dessus, nous avons une fonction cubique. Si nous traçons un segment de droite allant du point au point il se situerait au-dessus de la courbe. Cette fonction est donc convexe.
Déterminer la concavité ou la convexité des fonctions exemple 2- StudySmarter Originals
Ci-dessus, nous avons une fonction quartique. Nous pouvons voir que tout segment de droite tracé se situera en dessous de la courbe. La fonction est donc concave.
Déterminer la concavité ou la convexité des fonctions exemple 3- StudySmarter Originals
Enfin, nous avons une ligne droite. N'importe quel segment de droite se trouvera sur la ligne et elle est donc à la fois concave et convexe.
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Lily Hulatt is a Digital Content Specialist with over three years of experience in content strategy and curriculum design. She gained her PhD in English Literature from Durham University in 2022, taught in Durham University’s English Studies Department, and has contributed to a number of publications. Lily specialises in English Literature, English Language, History, and Philosophy.
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Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models’ (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.
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