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Disons que tu souhaites construire une clôture en piquets autour de ta maison. En assemblant cette clôture de piquets, tu suggères qu'elle devrait être construite à 6 pieds de la limite qui encercle ta maison. Tu trouveras ci-dessous un plan approximatif de cet aménagement.
Exemple 1, Aishah Amri - StudySmarter Originals
Voici un exemple de locus. Remarque que tu as prévu de construire une clôture de piquets entourant ta maison à une distance précise de 6 pieds du périmètre de ta maison. C'est la mesure standard que tu souhaites accomplir à propos de cette limite.
Le lieu
Pour commencer ce sujet, établissons d'abord la définition d'un lieu.
Unlieu est un ensemble de points qui satisfont à une condition spécifique. Le terme pluriel pour un lieu s'appelle le loci.
En deux dimensions, un lieu de points peut être représenté soit par une courbe, soit par une ligne. Avant d'entrer dans les détails des types de lieux et de leur construction, définissons également le terme suivant.
Soit A un point et B un ensemble d'objets. Si A est à égale distance de B, on dit que A est équidistant de B.
Types de lieux et leur construction
Dans cette section, nous allons examiner quatre types courants de lieux. Ils sont énumérés ci-dessous.
Le cercle (lieu autour d'un point).
La forme de saucisse (lieu autour d'un segment de ligne).
La bissectrice perpendiculaire.
La bissectrice d'un angle.
Ici, nous nous concentrerons sur deux éléments pour chaque lieu mentionné ci-dessus . Tout d'abord, nous identifierons leurs caractéristiques et ensuite, nous apprendrons à les construire étape par étape.
Le cercle
Lecercle est un lieu de points qui sont équidistants d'un point fixe, appelé centre .
La distance fixe entre le centre et chaque point de l'ensemble s'appelle le rayon. Tu trouveras ci-dessous une représentation graphique de cette définition.
Représentation graphique d'un cercle, Aishah Amri - StudySmarter Originals
Construction
Pour construire ce lieu autour d'un point, ou d'un cercle, tu auras besoin d'un compas, d'un crayon et d'une règle. Pour dessiner cette forme, tu auras également besoin de la longueur du rayon.
Étape 1 : Ouvre ton compas à la distance du rayon.
Étape 2 : place la pointe du compas au centre.
Étape 3 : dessine un arc autour du centre jusqu'à ce que les deux extrémités se rejoignent.
Voyons un exemple qui applique cette technique.
Étant donné un point, A, construis le lieu de tous les points qui se trouve à 2 cm de A.
Solution
Note que le rayon est ici de 2 cm. En suivant les étapes ci-dessus, nous constatons que le lieu des points qui se trouvent exactement à 2 cm du point A devrait ressembler au diagramme ci-dessous.
Exemple 2, Aishah Amri - StudySmarter Originals
La forme de la saucisse
Un lieu de points équidistants d'un segment de ligne crée une forme de saucisse. Nous pouvons considérer ce type de lieu comme une piste entourant un segment de droite.
Tu trouveras ci-dessous une représentation graphique de cette définition.
Représentation graphique d'une forme de saucisse, Aishah Amri - StudySmarter Originals
Construction
Pour construire ce lieu d'un segment de droite, ou d'une forme de saucisse, tu auras besoin d'un compas, d'un crayon et d'une règle.
Étape 1 : Étant donné un segment de ligne d'une longueur de x unités, marque les deux extrémités comme A et B.
Étape 2 : ouvre ton compas en fonction de la mesure requise donnée pour former ce lieu. Trace un arc à partir de chaque extrémité A et B. Assure-toi que ce marquage forme une courbe (comme indiqué ci-dessous) bien visible.
Étape 3 : Trace plusieurs arcs (comme indiqué ci-dessous) à partir de n'importe quel point du segment de ligne avec cette mesure de lieu donnée. Tu dois faire cela pour les parties supérieure et inférieure du segment de ligne.
Étape 4 : Utilise ta règle pour joindre le point le plus haut de chacun de tes arcs.
Étape 5 : En mettant de l'ordre dans ton locus, tu verras qu'il forme une structure en forme de saucisse.
Voyons un exemple qui fait appel à cette technique.
Trace une ligne AB de 6 cm de long. Construis le lieu de tous les points situés à 3 cm de AB.
Solution
Nous allons commencer par former la ligne AB de 6 cm. En suivant lesétapes ci-dessus, nous constatons que le lieu des points qui se trouvent exactement à 3 cm de AB devrait ressembler au croquis ci-dessous. N'oublie pas de garder ton compas ouvert à 3 cm à tout moment lorsque tu construis ce lieu.
Exemple 3, Aishah Amri - StudySmarter Originals
La bissectrice perpendiculaire
La bissectrice perpendic ulaire est un lieu de points qui sont équidistants de deux points fixes. Une bissectrice perpendiculaire divise le segment de droite formé par ces deux points fixes en deux segments de droite égaux plus petits, comme le suggère le mot bissectrice.
Le diagramme ci-dessous illustre une bissectrice perpendiculaire.
Représentation graphique d'une bissectrice perpendiculaire, Aishah Amri - StudySmarter Originals
Les deux points fixes sont représentés par X et Y. La ligne OM est la bissectrice perpendiculaire du segment de ligne XY. Les points A, B, C et M se trouvent sur la bissectrice perpendiculaire et sont équidistants de X et Y. Ainsi, XM = YM, XA = YA, XB = YB et XC = YC. De plus, OM est perpendiculaire à XY.
Construction
Pour construire une bissectrice perpendiculaire, tu auras également besoin d'un compas, d'un crayon et d'une règle.
Étape 1 : Étant donné deux points A et B, trace un segment de droite qui relie ces points.
Étape 2 : Ouvre ton compas à plus de la moitié du segment de ligne AB. En prenant A comme centre, trace des arcs au-dessus et au-dessous du segment de droite.
Étape 3 : Répète l'étape 2, en prenant cette fois B comme centre. Les points d'intersection sont X et Y. Ici, AX = BX et AY = BY.
Étape 4 : Relie les points X et Y. La ligne XY est la bissectrice perpendiculaire de AB.
Voici un exemple qui fait appel à cette technique.
Étant donné le rectangle ABCD ci-dessous, trace une ligne qui coupe le côté CD en deux moitiés égales.
Exemple 4 (1), Aishah Amri - StudySmarter Originals
Solution
On nous demande de couper le côté CD en deux moitiés égales. Cela signifie que nous devons trouver la bissectrice perpendiculaire de la ligne CD. En suivant les étapes ci-dessus, nous constatons que la bissectrice perpendiculaire de CD divise ce côté (mesurant 7 cm) en deux longueurs égales de 3,5 cm chacune.
Exemple 4 (2), Aishah Amri - StudySmarter Originals
La bissectrice d'un angle
La bissectrice d' un angle est le lieu des points qui sont équidistants des côtés de l'angle. Comme précédemment, le terme bissectrice signifie diviser un objet en deux parties égales. Ainsi, la bissectrice d'un angle se traduit par une ligne qui divise un angle en deux parties égales.
L'illustration ci-dessous nous permet de mieux comprendre la bissectrice d'un angle.
Représentation graphique d'une bissectrice d'angle, Aishah Amri - StudySmarter Originals
Les deux lignes fixes sont représentées par les segments de droite AC et BC. La ligne CD est la bissectrice de l'angle. La bissectrice de l'angle divise l'angle C en deux mesures égales, à savoir l'angle ACD et l'angle BCD. Le point D est équidistant des deux lignes AC et BC. Par conséquent, AD = BD. De plus, AD est perpendiculaire à AC et BD est perpendiculaire à BC.
Construction
Pour construire une bissectrice d'angle, tu auras besoin d'un compas, d'un crayon et d'une règle.
Étape 1 : Étant donné deux lignes OA et OB, prends O comme centre et trace deux arcs tels qu'ils coupent OA et OB aux points X et Y respectivement. L'envergure du compas doit être inférieure à la distance entre OA et OB. Ici, OX = OY.
Étape 2 : Sans ajuster la distance entre les branches du compas, construis deux arcs dont les centres sont X et Y de façon à ce que ces deux arcs se croisent en un point P. Ici, XP = YP.
Étape 3 : Relie les points OP. La ligne OP est la bissectrice de l'angle O. Ici, AP = BP et l'angle O est divisé en deux mesures égales : Angle AOP et Angle BOP.
Tu trouveras ci-dessous un exemple qui applique cette technique.
Étant donné le triangle équilatéral ABC ci-dessous, construis la bissectrice de chaque sommet et identifie le point d'intersection des trois bissectrices.
Exemple 5 (1), Aishah Amri - StudySmarter Originals
Solution
Dans ce cas, nous devons construire la bissectrice de l'angle pour chaque sommet et prolonger la ligne de façon à pouvoir observer l'endroit où ces lignes se croisent à l'intérieur du triangle. En appliquant les étapes ci-dessus pour chaque coin de ce triangle, nous constatons que le point où les trois bissectrices se croisent à l'intérieur du triangle devrait ressembler au croquis ci-dessous. Ce point est désigné par P.
Exemple 5(2), Aishah Amri - StudySmarter Originals
Remarque: L'angle de chaque sommet d'un triangle équilatéral est de 60o. Ainsi, la construction d'une bissectrice divisera cet angle en deux angles égaux mesurant chacun 30o.
Exemple concret
Nous terminerons ce sujet par un problème du monde réel impliquant la construction de lieux.
Un bateau rame de façon à être toujours à la même distance d'un port P et d'un phare L. Le port et le phare sont distants de 4 km. Dessine un diagramme à l'échelle montrant la distance entre le port et le phare. Construis ensuite une trajectoire possible de ce bateau sur le schéma. Utilise l'échelle 1 km : 1 cm.
Nous allons d'abord tracer le segment de droite PL. Celui-ci représente la distance entre le port et le phare.
Exemple 6 (1), Aishah Amri - StudySmarter Originals
Pour construire un chemin possible pour le bateau, nous devons créer une bissectrice perpendiculaire entre le port et le phare. Cette bissectrice est illustrée ci-dessous.
Exemple 6 (2), Aishah Amri - StudySmarter Originals
Le point où les deux arcs se croisent est un point où le bateau est à égale distance du port et du phare. Nous l'appellerons le point R. Relie le point P au point R. Fais de même pour les points L et R. Le bateau suivra une trajectoire triangulaire du port à ce point et au phare. Cette trajectoire est indiquée par les flèches rouges. Ceci est esquissé dans le diagramme ci-dessous.
Remarque que n'importe quel point de la bissectrice perpendiculaire te donne une trajectoire possible pour le bateau puisque, par définition, tout point de cette bissectrice perpendiculaire est équidistant des points P et R.
Exemple 6 (3), Aishah Amri - StudySmarter Originals
Construction et locus - Points clés à retenir
Un locus est un ensemble de points qui suivent une règle distincte et qui est décrit par une courbe ou une ligne.
Pour construire un lieu, tu auras besoin d'un crayon, d'une règle et d'un compas.
- Types de lieux
Nom des locus Description Le cercle Lieu des points qui sont équidistants d'un point. La forme de saucisse Lieu des points qui sont équidistants d'un segment de ligne Bissectrice perpendiculaire Lieu des points qui sont équidistants de deux points Bissectrice d'angle Lieu où se trouvent les points qui sont équidistants de deux lignes
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