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Définition de la composition de fonctions
Lacomposition de fonctions est la méthode qui consiste à utiliser une fonction comme entrée d'une autre fonction, ce qui permet d'obtenir une nouvelle fonction unique.
Comment cela s'exprime-t-il mathématiquement ? Eh bien, si une fonction composite prend simplement une fonction comme entrée d'une autre, tu peux l'exprimer comme suit
\N[ h(x) = f(g(x)) \N]
où \(h(x)\) est la fonction composite, et \( f(x) \) et \(g(x)\) sont les fonctions qui la composent.
Nous pouvons également utiliser la notation circulaire pour désigner la composition des fonctions
\[ h(x) = (f \circ g)(x) \]
où \(h(x)\) est la fonction composite, et \( f(x) \) et \(g(x)\) sont ses fonctions constitutives.
Voyons comment tu peux utiliser cette méthode pour former des fonctions composées.
Former des fonctions composées
C 'est bien beau, mais comment former ces fonctions composées ? En fait, ce n'est pas très difficile !
Prenons les fonctions \( f(x) = 2x\) et \( g(x) = x + 2\). Pour trouver la fonction composée \N( h(x) = f(g(x)) \(h(x) = f(g(x)), il suffit de remplacer \N( g(x)) par \N( f(x)) partout où tu vois un \N( x)).
\N- [\N-] h(x) &= f(g(x))\N- &= 2g(x)\N- & = 2(x + 2)\N- & = 2x + 4.\N- [\N-] \N- [\N-] end{align} \]
Voici un graphique montrant les tracés des fonctions \Nf(x) \Net \Ng(x) \Net la fonction composite résultante \Nh(x) \N. Tu peux voir sur le graphique qu'en composant nos deux fonctions originales, tu obtiens une nouvelle et unique fonction.
Prenons un autre exemple pour nous assurer que tu as bien compris !
Considère les fonctions \Nf(x) = 3x + 2 \Net \Ng(x) = 5x + 4 \N. Trouve la fonction \N( h(x) = (f \circ g)(x) \N).
Solution :
Pour trouver le composite, remplace chaque \N( x \N) dans la fonction \N( f(x) \N) par la fonction \N( g(x) \N).
\N- \N[ \N- \N{align} h(x) &= (f \Ncirc g)(x) \N- \N- &= 3g(x) + 2 \N- &= 3(5x + 4) + 2 . \N- [\N-{align}\N]
Il suffit ensuite de simplifier en développant les parenthèses et en rassemblant les termes similaires.
\N-[ \N-{align} h(x) &= 3(5x + 4) + 2 \N-{align} &=15x + 12 + 2 \N-{align} h(x) &= 15x + 14 . \Nend{align} \]
Ce n'est pas trop difficile, n'est-ce pas ? N'oublie pas que les fonctions ne se limitent pas à l'expression elle-même. Lorsque tu formes des fonctions composées, tu dois souvent t'arrêter et prendre en compte le domaine de la fonction. Voyons comment cela fonctionne.
Domaines des fonctions composées
Pour qu'une fonction soit vraie, l'entrée de cette fonction doit se trouver dans le domaine de la fonction.
Le domaine d' une fonction est l'ensemble de toutes les entrées possibles de cette fonction.
Ceci est également vrai pour les fonctions composées. Tu peux donc en déduire que pour que la fonction composite soit vraie, la sortie de la fonction interne doit se trouver dans le domaine de la fonction externe.
Prenons un exemple pour que cela soit un peu plus clair.
Etant donné les fonctions
\N[ f(x) = \Nfrac{1}{x-2}, \Nquad \N{ x \Ndans \Nmathbb{R} | x \Nneq 2 \N} \N]]
et
\N- g(x) = x + 2, \Nquad \N{ x \Ndans \Nmathbb{R} \N, \N]
Quel est le domaine de la fonction composite \( f(g(x)) \) ?
Rappelle-toi que \(\{ x \N dans \Nmathbb{R} \N}\N signifie que \N(x\N) est un nombre réel, et que \N( \N{ x \N dans \Nmathbb{R} | x \Nneq 2 \N} \N signifie que \N(x\N) peut être n'importe quel nombre réel à l'exception de \N(2\N).
Solution :
Les sorties de la fonction \N( g(x) \N) doivent se trouver dans le domaine de \N( f(x) \N), elles doivent donc être une sous-section de l'ensemble de tous les nombres réels.
\N[ \N{ x \Ndans \Nmathbb{R}\N}]]
Tu sais aussi que la sortie de la fonction \N( g(x) \N) ne doit pas être égale à \N( 2 \N).
\N- g(x) \Nneq 2 \N]
\N- \N[ \Nfrac{1}{x-2} \Nneq 2 \N]
\N- x \N- 2,5 \N]
Par conséquent, le domaine de la fonction \( f(g(x)) \) est tout sauf \N(2,5\N), ou en d'autres termes
\N{ x \Ndans \Nmathbb{R} | x \Nneq 2,5 \N}. \N]
Que se passe-t-il lorsque tu composes des fonctions avec des fractions ?
Composition de fonctions avec des fractions
Lorsque tu composes des fonctions et que l'une d'entre elles a une racine carrée ou une fraction (comme une fonction rationnelle), tu dois faire attention au domaine. Prenons un exemple.
Prenons les fonctions \( g(x) = \sqrt{x}\) et
\N[ f(x) = \Nfrac{1}{x-2}.\N]
Trouve \N( (f \circ g)(x) \N) et le domaine de la fonction composite.
Solution :
Remarque que la fonction \(g(x)\) est une racine carrée, donc son domaine est \([0, \infty)\). Tu sais donc déjà que le domaine de la fonction de composition n'est pas constitué de tous les nombres réels. Si tu fais la composition,
(f \circ g) (x) = \frac{1}{\sqrt{x}-2}.\nbsp;\nbsp;\nbsp;\nbsp;\nbsp;\nbsp;\nbsp;\n ;]
Tu sais que tu ne peux pas avoir de zéro au dénominateur, donc le domaine de \(f \circ g\) doit avoir
\N[ \sqrt{x} - 2 \Nnot= 0,\N]
ce qui signifie
\N[ \Nsqrt{x} \Nnot= 2,\N]
donc
\N- x \N-non= 4,\N]
En combinant les restrictions sur le domaine de \N(g(x)\N) avec la restriction selon laquelle \N(x \Nnot= 4\N), on obtient que la composition \N( (f \circ g)(x)\N) a un domaine de \N( [0, 4) \Ncup (4, \nfty)\N).
Composition de fonctions avec plusieurs variables
La composition de fonctions peut être effectuée dans des fonctions à plusieurs variables, tout comme avec une seule variable. Ces variables peuvent être partagées ou non par les fonctions individuelles, le processus reste en grande partie le même.
Il est toutefois important de noter que la fonction composite finale ne contiendra que les variables présentes dans la fonction interne.
Prenons un exemple pour voir comment cela fonctionne.
Tout d'abord, examinons deux fonctions avec des variables différentes. Considérons les fonctions
\[ f(x) = \sqrt{x + 2} \]
et
\N- g(y) = 10y. \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N]
Trouvons la composition de ces fonctions \( f(g(y)) \). Remarque que la fonction composée n'est qu'une fonction de \N( y \N), et non de \N( x \N).
Solution :
Comme précédemment, tu substitues la valeur de f(g(y)) à celle de f(x) dans f(x) pour trouver la fonction composite résultante.
\N[ f(g(y)) = \sqrt{10y + 2} \N]
Le domaine de cette fonction composite sera également en termes de \N( y \N). Comme tu ne peux pas prendre la racine carrée d'une valeur négative (en supposant que tu négliges les nombres imaginaires), le domaine est le suivant :
\[ \begin{align} 10y + 2 &> 0\\ 10y &> -2 \\ y &>-0.2 . \Nend{align}\N]
La fonction composite complète, y compris le domaine de la fonction, est donc la suivante
\[f(g(y)) = \sqrt{10y + 2}, \quad\{y \Ndans \Nmathbb{R}, y > -0.2 \N}. \N]
Évaluation des compositions de fonctions
Une fois qu'une fonction composée a été formée, il est facile de l'évaluer pour une entrée donnée. En fait, c'est la même chose que d'évaluer n'importe quelle autre fonction !
Il te suffit de substituer l'entrée dans la fonction composée et de résoudre le problème. Prenons un exemple pour nous assurer que tu as bien compris.
Étant donné les fonctions \N( f(x) = 5x \N) et \N( g(x) = x + 4 \N), évalue la fonction \N( h(x) = (f \Ncirc g)(x)) \N) à \N( x = 3 \N).
Solution :
Effectue d'abord la composition :
\[ \begin{align} h(x) &= (f \circ g)(x)\\ &= 5(g(x))\\ & = 5(x + 4) \\ &= 5x + 20. \n-{align} \]
Insère ensuite \N(x = 3\N) pour obtenir
\[ \begin{align} h(3) & = 5\cdot 3 + 20 \\ &=15 + 20\\ & = 35. \Nend{align}\N]
Il existe un cas particulier de fonctions composées, très simples à évaluer, qui impliquent des inverses.
\N[ f(f^{-1}(x)) = f^{-1}(f(x)) = x .\N]
Essayons de travailler sur un exemple pour vérifier que c'est vrai.
Étant donné la fonction
\N[ f(x) = \Nfrac{x}{x+1},\N]
montre que \( f^{-1}(f(x)) = x \N).
Solution :
Tu trouves d'abord \N f^{-1}(x) \N en échangeant \N x\N et \N y \N :
\N[ f(x) = y = \Nfrac{x}{x+1}, \N]
donc
\[ x = \frac{y}{y + 1}. \]
Ensuite, tu réarranges \Ny en termes de \Nx pour obtenir :
\[ \begin{align} \frac{(y+1)}{y} &= \frac{1}{x} \\N- 1 + \Nfrac{1}{y} &= \Nfrac{1}{x} \\ \frac{1}{y} &= \frac{1}{x} - 1 \\ \frac{1}{y} &= \frac{1-x}{x} \NY &= \Nfrac{x}{1-x} . \N- [Fin{align}\N]
Maintenant, vérifions si tu as trouvé l'inverse correctement en évaluant \N( h(x) = f\Ngauche(f^{-1}(x)\Ndroite) \N) :
\N[ \N- Début{alignement} h(x) &= \Nfrac{x}{x+1}\N & = \Nfrac{\Nfrac}{1-x}}{\Nfrac{x}{1-x}+1}]. \N- &= \Nfrac{x}{x+1-x} \\ & = x. \n-{align} \]
Puisque \(f\left(f^{-1}(x)\right) = x\) tu sais que tu as trouvé l'inverse correctement.
Décomposition des compositions de fonctions
Il est possible de prendre une fonction et de la décomposer en fonctions constitutives. Cela revient essentiellement à effectuer la composition d'une fonction à l'envers. La décomposition des fonctions est très facile à réaliser et nécessite simplement que nous soyons capables d'identifier les fonctions constitutives au sein de l'ensemble.
Examinons la fonction \N( h(x) = 2x^2 + 4 \N). Tu peux maintenant décomposer cette fonction en la factorisant.
\[ h(x) = 2(x^2 + 2) \]
Maintenant, si la fonction était sous la forme \Nf(g(x)) \N- Quelles seraient ses parties ? Eh bien, tu peux dire qu'à l'intérieur des parenthèses se trouve une fonction, \N( g(x) \N), et qu'à l'extérieur des parenthèses se trouve \N( f(x) \N).
Essayons
\N[ f(x) = 2x \N]
et
\N- g(x) = x^2 + 2. \N]
En évaluant \Nf(g(x)) \N- tu obtiens
\[ \begin{align} f(g(x)) &= 2(x^2 + 2) \\ &= 2x^2 + 4 \\ &= h(x). \N- [end{align}\N-]
Tu as donc trouvé la bonne décomposition.
Exemples de composition de fonctions
Jetons un coup d'œil à quelques exemples de questions pour voir si tu peux utiliser tout ce que tu as appris.
Considérons une fusée se déplaçant dans l'espace avec une accélération uniforme, \N( a \N) et une masse, \N( m \N), à partir d'une vitesse initiale, \N( u \N). Étant donné que sa vitesse au temps \N( t \N) est décrite par \N( v = u + at \N), et que son énergie cinétique est décrite par
\N[ E_K = \frac{1}{2} mv^2 ,\N]
Trouve une expression pour l'énergie cinétique de la fusée au temps \N( t \N).
Solution :
Tu peux réécrire chacune de ces équations en notation fonctionnelle, en reconnaissant que \N( u \N), \N( a \N), et \N( m \N) sont toutes des constantes, \N( t \N) et \N( v \N) sont tes deux variables indépendantes, et \N( v \N) et \N( E_K \N) sont tes variables dépendantes. Donc, en notation fonctionnelle :
\[ \i1{align} &v(t) = u + at \i0 & E_K(v) = \frac{1}{2} mv^2 .\i0{align}\i0].
Maintenant, tu veux trouver \N( E_K(v) \N) termes de \N( t \N), donc tu crées une fonction composite \N( E_K(v(t)) \) pour y parvenir. Remplaçons donc la valeur de la fonction \N( v(t) \N) partout où il y a une \N( v \N) dans \N( E_K(v) \N). Cela te donne
\N- E_K(v(t)) = \Nfrac{1}{2} m(u + at) .\N- E_K(v(t)) = \Nfrac{1}{2} m(u + at) .\N]
Étant donné les fonctions
\[ f(x) = \frac{1}{x^2 + 6x + 9}, \quad \{ x \in \mathbb{N} | x \neq 3 \} \]
et
\N- g(x) = \Nsqrt{x}, \Nquad \N{ x \Ndans \Nmathbb{R}, \Nquad x\Nge 0 \N} ,\Nquel est le domaine de la fonction composite \N( f(g(x))) ? \) ?
Solution :
La sortie de \N( g(x) \N) doit se trouver dans le domaine de \N( f(x) \N). Par conséquent, les sorties de \N( g(x)) doivent appartenir à l'ensemble \N( \Nmathbb{N}\setminus \N{3 \N} \N).
Cela signifie que la sortie de \N( g(x) \N) ne peut pas être \N( 3 \N), puisque la sortie de \N(g(x)\N doit être dans le domaine de \N(f(x)\N) et que le domaine de \N(f(x)\N) n'inclut pas \N(3 \N). Par conséquent
\N- [g(x) \Nneq 3, \N]
donc
\N- 3 \Nneq \Nsqrt{x} ,\N]
ce qui signifie
\N[ x \Nneq 9. \N]
La sortie de \( g(x) \N) doit être un nombre naturel, donc la sortie doit également être supérieure à zéro. Par conséquent
\[ \begin{align} & g(x) > 0 \\ & \sqrt{x} > 0\\ & x > 0. \end{align} \]
En fait, cela ne te donne pas beaucoup d'informations nouvelles puisque tu savais déjà que le résultat devait être un nombre naturel !
En mettant tout cela ensemble, ton domaine final pour \( f(g(x) \) est donc
\[ \N{ x \Ndans \Nmathbb{N} | x \Nneq 9 \N}. \N]
Qu'en est-il des fonctions multivariables ?
Examinons deux fonctions avec plusieurs variables partagées. Considérons les fonctions
\N[ f(x,y) = 2x + 9y \N]
et
\[ g(x,y) = \frac{15x}{y - 10} .\]
Trouvons la fonction composite \( f(g(x,y),y) \).
Solution :
Dans ce cas, le \N(y\N) dans le deuxième point de \N ( f(g(x,y),y) \N) t'indique que deux choses doivent se produire :
- la valeur de \Ng(x,y) \Nest substituée à \Nf(x,y) \Nlorsque \Nf(x,y) est présent ; et
- \(y\) remains where any \( y \) is present.
En effectuant ces deux étapes, tu obtiens
\N[ f(g(x,y),y) = 2 \Nà gauche( \Nfrac{15x}{y-10} \Nà droite) + 9y. \N]
Maintenant, simplifie en développant les parenthèses et en rassemblant les termes similaires :
\[ \begin{align} f(g(x,y), y) &= \frac{30x}{y-10} + 9y \\N- &= \frac{30x}{y-10} + \frac{9y(y-10)}{y-10}\N- & = \frac{30x + 9y^2 -90y}{y-10} . \N- [Fin{align}\N]
Décompose la fonction
\[ f(g(x)) = 4 \left( \frac{3x}{4x + 5} \right)^2 \]
en fonctions constitutives.
Solution :
Tu peux voir par observation que la fonction intérieure est
\[ g(x) = \frac{3x}{4x + 5}, \]
Et la fonction extérieure est donc
\[ f(x) = 4x^2. \]
Composition des fonctions - Principaux enseignements
- Une nouvelle fonction peut être formée en utilisant une fonction comme entrée dans une autre, c'est ce qu'on appelle une fonction composite.
- Lorsque l'on considère le domaine d'une composition de deux fonctions, il est important de considérer le domaine de la fonction globale, et non pas simplement celui des fonctions qui la composent.
- Il est possible de décomposer les fonctions en deux ou plusieurs fonctions constitutives.
- La limite d'une fonction composite en un point est la fonction extérieure évaluée à la limite de la fonction intérieure approchant ce point.
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