Jusqu'à présent, nous avons appris les méthodes de factorisation telles que le regroupement et l'identification du plus grand facteur commun. Dans cet article, nous allons nous familiariser avec un nouveau concept appelé compléter le carré. Nous verrons les étapes à suivre pour résoudre des équations quadratiques en complétant le carré et des exemples de son application.
Qu'est-ce que la "complétion du carré" ?
Si une équation quadratique donnée peut être factorisée en un carré parfait d'un binôme linéaire, elle peut être résolue facilement en mettant le binôme résultant à 0 et en le résolvant. Par exemple, si nous factorisons une équation quadratique pour obtenir
\[(ax + b)^2 = 0\]
alors nous pouvons procéder à la solution finale comme suit :
\N[ax + b = 0 \NFlèche droite ax = -b \NFlèche droite x = -\Nfrac{b}{a}\N].
Cependant, il est difficile de réduire directement de nombreuses équations quadratiques à un carré parfait. Pour ces équations quadratiques, nous utilisons une méthode appelée compléter le carré.
En utilisant la méthode de la complétion du carré, nous essayons d'obtenir un trinôme carré parfait dans le côté gauche de l'équation. Nous procédons ensuite à la résolution de l'équation en utilisant les racines carrées.
En utilisant la méthode du carré complet, nous ajoutons ou soustrayons des termes aux deux côtés de l'équation jusqu'à ce que nous obtenions un trinôme carré parfait d'un côté de l'équation.
En d'autres termes, les carrés complétés sont des expressions de la forme \((x+a)^2\) et \((x-a)^2\).
Compléter la formule du carré
Dans cet article, nous allons passer en revue les étapes plus formelles de la méthode du carré complet. Mais d'abord, dans cette section, nous examinerons une sorte d'aide-mémoire pour résoudre les équations quadratiques en complétant le carré.
Étant donné une équation quadratique de la forme,
\(ax^2 + bx+c = 0)
nous la convertissons en
\((x+d)^2 = e \text{, où } d = \frac{b}{2a} \text{ et } e = \frac{b^2}{4a^2}- \frac{c}{a}\). Cette forme est connue sous le nom de forme de sommet d'une quadratique.
L'application directe de cette formule te donnera également la réponse.
Compléter la méthode du carré
Bien que tu puisses utiliser directement la formule énoncée ci-dessus, il existe une méthode plus délibérée, étape par étape, pour résoudre les équations quadratiques en utilisant la méthode de la complétion du carré.
Note qu'aux examens, tu devras résoudre les équations en utilisant la méthode étape par étape, c'est donc une bonne idée de te familiariser avec le processus.
Si l'on te donne une équation quadratique de la forme \(ax^2 + bx + c = 0\), suis les étapes ci-dessous pour la résoudre en utilisant la méthode du carré complet :
Si a (coefficient de x2) n'est pas 1, divise chaque terme par a.
On obtient une équation de la forme \(x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0\).
Déplace le terme constant (\(\frac{c}{a}\)) vers le côté droit.
Cela donne une équation de la forme \(x^2 + \frac{b}{a} x = -\frac{c}{a}\).
Ajoute le terme approprié pour compléter le carré du côté gauche de l'équation. Fais la même addition sur le côté droit pour que l'équation reste équilibrée.
Conseil : le terme approprié doit être égal à \((\frac{b}{2a})^2\).
L'équation doit maintenant se présenter sous la forme \N((x+d)^2 = e\N).
Maintenant que tu as un carré parfait du côté gauche, tu peux trouver les racines de l'équation en prenant les racines carrées.
Voyons quelques exemples pour illustrer cela.
Représentation géométrique de la complétion du carré
Que signifie donc compléter le carré ? Avant d'aborder quelques exemples impliquant des équations quadratiques, il peut être utile de comprendre la géométrie qui se cache derrière cette méthode. Observons le diagramme ci-dessous.
Fig. 1. Représentation graphique de la complétion du carré.
Dans la première image, nous avons le carré rouge et le rectangle vert. En additionnant ces deux formes, nous obtenons l'expression :
\[x^2 + bx].
Nous voulons réarranger cette expression pour qu'elle ressemble à un carré. En divisant par deux la largeur du rectangle vert, nous obtenons \(\frac{b^2}{2}\).
En réarrangeant ces deux nouveaux rectangles verts plus petits, nous obtenons la deuxième image. Remarque qu'il manque un segment dans le coin de la deuxième image. Ainsi, pour compléter ce carré, nous devons ajouter la surface du carré bleu, \((\frac{b}{2})^2\). Le carré complet est représenté sur la troisième image. Nous pouvons le représenter algébriquement comme suit.
\[x^2+bx +(\frac{b}{2})^2 = (x+\frac{b}{2})^2\]
où le terme \((\frac{b}{2})^2\)complète le carré.
Exemples de carrés complets
Voici quelques exemples avec des solutions pour compléter le carré.
Solve pour x : \(2x^2 + 8x+3 = 0\)
Solution :
Étape 1 - Divise chaque terme par 2 :
\(x^2 + 4x + \frac{3}{2} = 0\)
Étape 2 - Déplace le terme constant vers le côté droit.
\(x^2 + 4x = -\frac{3}{2}\)
Étape 3 -Complète le carré en ajoutant 4 aux deux côtés.
\(x^2 + 4x + 4 = -\frac{3}{2}) + 4 \NFlèche droite (x+2)^2 = \frac{5}{2}\N)
Étape 4 - Trouveles racines en prenant les racines carrées.
\(x+2 = \pm\sqrt{\frac{5}{2}} \Rightarrow x = -2 \pm \sqrt{\frac{5}{2}}\)
Les racines de l'équation sont donc
\(x = -2 + \sqrt{\frac{5}{2}} \text{ et } x = -2 - \sqrt{\frac{5}{2}} \)
Solve pour x : \(x^2-6x-7 = 0\)
Solution :
Étape 1 - Le coefficient de x2 est 1. Nous pouvons donc passer à l'étape 2.
Étape 2 - Déplace le terme constant vers le côté droit.
\(x^2-6x = 7)
Étape 3 - Complète le carré en ajoutant 9 aux deux côtés.
\N(x^2 -6x +9 = 7 + 9 \NFlèche droite (x-3)^2 = 16\N)
Étape 4 - Trouve les racines en prenant les racines carrées.
\(x-3 = \sqrt{16} \Rightarrow x= 3 \pm 4\)
Les racines de l'équation sont donc
\(x = 3+4 = 7 \text{ and } x= 3-4 = -1\)
Rappelle-toi la formule dont nous avons parlé plus tôt dans l'article. Essayons maintenant de résoudre l'exemple ci-dessus directement à l'aide de la formule de complétion des carrés.
N'oublie pas que pendant ton examen, tu devras utiliser la méthode décrite ci-dessus au lieu d'insérer directement des valeurs dans la formule.
Résous la question de x : \(x^2-6x-7 = 0)
Solution :
Mettons directement l'équation sous la forme suivante .
\((x+d)^2 = e \text{, où } d = \frac{b}{2a} \text{ et } e = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}.
D'après l'équation : a = 1, b = -6, c = -7. Donc :
\(d = \frac{-6}{2 \cdot 1} = -3e = \frac{-6^2}{4 \cdot 1^2} - \frac{-7}{1} = 9+7 = 16\).
Ce qui nous donne
\((x+d)^2 = e \Flèche droite (x-3)^2 = 16\)
ce qui correspond exactement à ce que nous avons obtenu en utilisant la méthode de l'exemple précédent. À partir de là, tu peux suivre le processus de la même manière que dans l'exemple ci-dessus pour obtenir les racines, 7 et -1.
Bien que tu ne doives pas résoudre des questions de ce type lors d'un examen écrit, cette méthode peut être un raccourci très utile si tu as besoin de trouver rapidement les racines d'une équation quadratique ou si tu veux vérifier si la réponse que tu as trouvée à l'aide de la méthode précédente est exacte.
Identifier les valeurs maximales et minimales d'une équation quadratique
Compléter le carré nous aide également à déterminer les valeurs maximales et minimales d'une équation quadratique donnée. Ce faisant, nous pouvons localiser cette valeur et tracer le graphique d'une équation quadratique avec plus de précision.
Lesommet est un point où la courbe d'un graphique passe d'une valeur décroissante à une valeur croissante ou d'une valeur croissante à une valeur décroissante. On l'appelle aussi point d'inflexion.
Lavaleur maximale est le point le plus élevé de la courbe d'un graphique. On parle aussi de point d'inflexion maximum ou de maxima locaux.
Lavaleur minimale est le point le plus bas de la courbe dans un graphique. On l'appelle aussi le point d'inflexion minimum ou les minima locaux.
Pour la forme générale d'une équation quadratique, les valeurs maximales et minimales sur un graphique prennent les deux conditions suivantes.
Fig. 2. Graphique général des valeurs maximales et minimales d'une équation quadratique.
Essentiellement, si le coefficient de x2est positif, alors le graphique s'incurve vers le bas et si le coefficient de x2est négatif, alors le graphique s'incurve vers le haut. D'après la formule générale de la complétion du carré, lorsque le coefficient de x2 est égal à 1,
\N-(x-h)^2 + k = 0\N- (x-h)^2 + k = 0\N- (x-h)^2 + k = 0\N]
les coordonnées x et y du point d'inflexion, ou du sommet, peuvent être trouvées par le point (h, k). De même, lorsque le coefficient de x2 est différent de 1,
\[a(x-h)^2 + k = 0]
les coordonnées x et y du point d'inflexion, ou du sommet, peuvent être trouvées par le même point, (h, k). Note quela valeur de a n'affecte pas la position du sommet !
Cherchons les valeurs maximales et minimales pour les deux derniers exemples de la section précédente.
Détermine si l'équation quadratique \(10x^2 -2x +1\) a une valeur maximale ou minimale. Par conséquent, trouve les coordonnées de son point d'inflexion.
Solution
Le coefficient du terme x2 est positif, car a = 10. Nous avons donc une valeur minimale. Dans ce cas, la courbe s'ouvre. À partir de la dérivation de la forme carrée complétée de cette expression, on obtient
\(10(x-\frac{1}{10})^2 + \frac{9}{10} = 0\)
Ici, \(x = \frac{1}{10}\)
Rappelle-toi que la valeur de a ne fait pas varier la valeur x du sommet !
Ainsi, la valeur minimale est \ (\frac{9}{10}\) lorsque \(\frac{1}{10}\).
Les coordonnées du point d'inflexion minimum sont \N((\frac{1}{10}, \frac{9}{10})\N). Le graphique est illustré ci-dessous.
Fig. 3. Graphique du problème n° 1.
Détermine si l'équation quadratique \(-3x^2 - 4x + 8 = 0\) a une valeur maximale ou minimale. Trouve donc les coordonnées de son point d'inflexion.
Solution
Le coefficient du terme x2 est négatif, car a = -3. Nous avons donc une valeur maximale. Dans ce cas, la courbe s'ouvre vers le bas. À partir de la dérivation de la forme carrée complétée de cette expression, on obtient
\(-3(x+\frac{2}{3})^2 + \frac{28}{3} = 0\)
Ici, \(x = -\frac{2}{3}\).
La valeur maximale est donc \(\frac{28}{3}\) lorsque \(x = -\frac{2}{3}\).
Les coordonnées du point d'inflexion maximal sont \N((-\frac{2}{3}, \frac{28}{3})\N). Le graphique est illustré ci-dessous.
Fig. 4. Graphique du problème n°2.
Compléter le carré - Principaux enseignements
- De nombreuses équations quadratiques sont très difficiles à réduire directement à un carré parfait. Pour ces équations quadratiques, nous pouvons utiliser la méthode appelée compléter le carré.
- Cette méthode consiste à ajouter ou à soustraire des termes aux deux côtés de l'équation jusqu'à ce que nous obtenions un trinôme carré parfait d'un côté de l'équation.
- En utilisant la méthode du carré complet, nous transformons une équation quadratique de la forme (ax^2 + bx + c = 0) en \((x+d)^2 = e \text{,où } d= \frac{b}{2a}} \text{ et } e = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}\)
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