Bases des fonctions: Graphes, Domaines

Sauter à un chapitre clé

Dans cet article, nous allons en apprendre davantage sur les fonctions et leurs principes de base.

Définition de base des fonctions

Une fonction est une relation qui associe chaque valeur de l'ensemble de départ, appelée entrée, à une seule valeur, appelée sortie, de l'ensemble d'arrivée.

Notation d'une fonction

Une fonction est généralement désignée par $f (x)$ , où l'entrée est $x$ et la sortie est $f (x)$ .

Attributs de base des fonctions

Il existe plusieurs attributs clés qui permettent de déterminer si une relation mathématique est une fonction. Ces attributs jouent un rôle important dans la définition complète d'une fonction.

Entrée

L'entrée est la valeur indépendante qui est introduite dans une fonction pour produire une sortie.

L'entrée d'une fonction est un espace réservé qui peut prendre n'importe quelle valeur de l'ensemble de départ pour produire une sortie.

Sortie

Lasortie est la valeur de la fonction résultant d'une certaine entrée. La sortie est appelée variable dépendante car sa valeur dépend de la valeur de l'entrée.

Une fonction décrivant la croissance prévue d'une population de lapins dans un champ au fil du temps pourrait avoir une sortie représentative du nombre de lapins dans le champ à un moment donné.

Le diagramme fonctionnel est un moyen simple de visualiser cette relation entre les entrées et les sorties dans les fonctions.

Le diagramme ci-dessous représente les entrées et les sorties de la fonction, $f (x) = 2 x .$

Notions de base sur les fonctions entrées et sorties studysmarter Les entrées sont liées aux sorties par l'intermédiaire des fonctions - StudySmarter Originals

La fonction ci-dessous est écrite en fonction d'une variable, x. Remarque la notation de la fonction, le x entre les crochets indique qu'il s'agit d'une fonction avec x comme entrée.

f (x) = 3 x + 8

Maintenant, comment utiliser cette fonction ? Eh bien, nous voulons trouver la sortie de cette fonction pour une entrée donnée, il suffit donc de remplacer n'importe quel x de la fonction par l'entrée en question.

Essayons ceci pour une entrée de 10. Tout ce que nous avons à faire est de remplacer chaque xpar 10.

$f (10) = 3 \times 10 + 8 = 30 + 8 = 38 .$

Ainsi, pour une entrée de 10, nous avons une entrée de 38.

Essayons une autre valeur d'entrée, par exemple $x = 0 .$ Dans ce cas, la valeur de sortie serait $f (0) = 3 \times 0 + 8 = 0 + 8 = 8 .$

Fonction	Pas une fonction
$f (x) = 2 x + 3$	$f (b) = \frac{\pm \sqrt{b^{2} + 4}}{2}$
$f (t) = t^{3} + t + 1$	$x^{2} = y^{2} + 1$

Nous considérons le tableau ci-dessus où nous distinguons les fonctions et les non fonctions pour les raisons suivantes :

Pour $f (x) = 2 x + 3$ , pour chaque entrée x, nous avons une seule sortie f(x).
Il en va de même pour $f (t) = t^{3} + t + 1$ Pour , pour chaque entrée t, nous avons une seule sortie f(t).

Cependant, pour $f (b) = \frac{\pm \sqrt{b^{2} + 4}}{2}$ , chaque entrée b, a 2 sorties différentes f(b), à savoir le positif et le négatif de la fraction en question.

Il en va de même pour $x^{2} = y^{2} + 1$ Pour , en réarrangeant pour avoir y comme sujet, nous obtenons , $y = \pm \sqrt{x^{2} - 1}$ et donc pour chaque entrée x, nous avons deux sorties différentes, à savoir la racine positive et la racine négative de $x^{2} - 1$ .

Domaine

Ledomaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les entrées possibles d'une fonction.

Le domaine est un attribut important de la fonction car il décrit quelles valeurs d'entrée sont acceptables pour la fonction. Il est utilisé pour éviter toute sortie indéfinie ou indésirable.

Prenons par exemple la fonction suivante

$f (x) = \frac{15}{x - 7}$

La variable d'entrée de cette fonction est x, alors pour quelles valeurs de x n'existe-t-il pas de sortie ?

Eh bien, nous savons que la moitié inférieure de la fraction ne peut pas être nulle car la division par zéro est impossible. Il ne nous reste plus qu'à trouver la valeur de x pour laquelle la partie inférieure de la fonction est égale à zéro et nous pouvons l'inclure dans notre domaine.

$x - 7 = 0$

$x = 7$

Ainsi, pour que notre fonction soit définie, notre variable indépendante x peut prendre n'importe quelle valeur dans l'ensemble des nombres réels, excepté. $x = 7 .$ Ainsi, nous désignons le domaine de notre fonction comme suit

$D o m a i n_{f} = D_{f} = \{x : x \in ℝ x \neq 7\}$ .

Cela signifie que le domaine de la fonction f(x) est simplement l'ensemble de tous les nombres réels, à l'exception de 7. En fait, pour tout nombre réel saisi à l'exception de 7, la fonction a une sortie unique et réelle.

Détermine le domaine de la fonction suivante,

$h (x) = \sqrt{x + 9}$

Solution

Comme la racine carrée d'une négative n'existe pas, la valeur de la fonction à l'intérieur de la racine carrée ne doit pas être négative. Nous devrions donc avoir

$x + 9 \geq 0$

On peut donc en déduire que

$x \geq - 9$

Et à partir de là, nous pouvons définir le domaine de cette fonction comme l'ensemble de tous les nombres réels supérieurs à -9,

$D_{h} = \{x : x \in ℝ x \geq - 9\}$

Domaine

La plage d' une fonction représente toutes les valeurs de sortie possibles d' une fonction.

Examinons la même fonction que précédemment, f(x).

$f (x) = \frac{15}{x - 7}$

Nous avons déjà trouvé son domaine,

$D_{f} = \{x : x \in ℝ x \neq 7\}$

Qu'est-ce que la sortie de f(x) ne peut pas être ? Eh bien, quelle que soit la valeur de x que nous prenons comme entrée de la fonction, il est impossible que f(x) soit égale à zéro. La valeur de f(x) peut se rapprocher infiniment de zéro pour des valeurs de plus en plus grandes de x, mais elle ne l'atteindra jamais.

Nous pouvons donc en déduire que l'intervalle de notre fonction est l'ensemble de tous les nombres réels à l'exception de zéro.

$R a n g e o f f = {z : z (x) \in ℝ z (x) \neq 0} = ℝ \ \{0\} .$

Détermine l'étendue de la fonction suivante,

$r (t) = \sqrt{2 t}$

Solution

Comme il est impossible que la racine carrée d'un nombre soit négative, la détermination de l'intervalle de cette fonction est relativement directe.

La sortie de r(t) doit être un nombre positif, et donc la plage de r(t) est l'ensemble de tous les nombres réels positifs et de zéro,

$R a n g e o f r (t) = {r (t) \geq 0} = ℝ^{+}$

Évaluation des fonctions

Évaluer une fonction signifie trouver la sortie qui correspond à une entrée donnée.

Cela se fait généralement par une substitution directe de la valeur d'entrée et une simplification du côté droit de l'expression. Voyons cela en pratique.

Évalue la fonction ci-dessous lorsque x=4.

$f (x) = x^{2} + 12$

Solution

Pour trouver la solution de la fonction lorsque x = 4, il suffit de substituer 4 à la place de chaque x.

$f (4) = 4^{2} + 12$

Maintenant, résoudre la fonction est aussi simple que de résoudre n'importe quelle autre équation,

$f (4) = 16 + 12 = 28$

Jetons un coup d'œil à une autre équation, juste pour nous assurer que nous l'avons bien comprise.

Considère la fonction h(t). Trouve la solution de la fonction h(t) lorsque t = 13.

$h (t) = \frac{18}{t + 15}$

Introduis la valeur de t que nous avons donnée,

$h (13) = \frac{18}{13 + 15}$

Et simplifions le côté droit de l'équation pour obtenir

$h (13) = \frac{18}{28} = \frac{9}{14}$

Représentation graphique des fonctions

Les graphiques constituent un moyen très efficace de représenter les fonctions. Les graphiques fournissent une excellente représentation visuelle, qui peut être utilisée pour interpréter les fonctions et discerner leurs propriétés.

Les graphiques des fonctions sont simplement composés des sorties de la fonction sur un axe (généralement l'axe vertical) et des entrées de la fonction sur l'autre axe (généralement l'axe horizontal). Tu trouveras ci-dessous quelques exemples de fonctions et de leurs graphiques.

$f (x) = 2 x + 5$

notions de base sur les fonctions graphique d'une ligne droite exemple de fonction studysmarter Graphique d'une fonction en ligne droite - StudySmarter Originals

h (t) = t^{2} - 3

les bases de la fonction le graphique quadratique exemple StudySmarter Graphique d'une fonction quadratique - StudySmarter Originals

Comment se fait-il que nous puissions tracer nous-mêmes le graphique d'une fonction comme celle-ci ? Eh bien, il suffit de tracer une série de points individuels sur un ensemble d'axes et de les relier par une ligne lisse.

Tu peux le faire en suivant les étapes suivantes.

Prends un grand ensemble de valeurs d'entrée dans le domaine de la fonction.
Calcule les sorties correspondantes.
Place le couple de points que nous avons déjà trouvé aux étapes 1 et 2 dans le graphique.
Relie les points par une courbe lisse.

Jetons un coup d'œil à un exemple rapide pour voir comment nous procédons.

Sur un ensemble d'axes, trace le graphique de la fonction $f (x) = x^{2} - 2$ .

Solution

La première étape du tracé de la fonction consiste à trouver le domaine de la fonction.

Puisque f est une fonction polynomiale, son domaine est l'ensemble de tous les nombres réels.

Prenons les entrées $x = {- 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3}$ . Nous pouvons trouver leurs sorties correspondantes en les substituant à travers la fonction.

Nous rappelons que $f (x) = x^{2} - 2$ , donc

x	f(x)
x=-3	$f (- 3) = {(- 3)}^{2} - 2 = 7$
x=-2	$f (- 2) = {(- 2)}^{2} - 2 = 2$
x=-1	$f (- 1) = {(- 1)}^{2} - 2 = - 1$
x=0	$f (0) = 0^{2} - 2 = - 2$
x=1	$f (1) = 1^{2} - 2 = - 1$
x=2	$f (2) = 2^{2} - 2 = 2$
x=3	$f (3) = 3^{2} - 2 = 7$

Nous obtenons ainsi les points suivants à reporter sur le graphique,

$(- 3, 7), (- 2, 2), (- 1, - 1), (0, - 2), (1, - 1), (2, 2), (3, 7)$

Ensuite, nous traçons ces points sur le graphique.

Notions de base sur les fonctions tracer le graphique d'une fonction studysmarterr Tracer les points de la fonction de l'exemple- StudySmarter Originals

La dernière étape consiste à relier les points à l'aide d'une ligne courbe lisse.

Notions de base sur les fonctions Représentation graphique d'une fonction Exemple StudySmarter Représentation graphique d'une fonction - StudySmarter Originals

Et si nous voulions trouver la valeur de l'une de ces fonctions pour une entrée donnée ? Essayons de trouver la sortie de h(t) lorsque t = 3.

Tout ce que nous avons à faire, c'est de trouver le point où la ligne t = 3 s'intercepte avec la fonction h(t).

$h (t) = t^{2} - 3$

bases des fonctions trouver la valeur de la sortie d'une fonction pour une certaine entrée studysmarter Trouver la sortie d'une fonction pour une entrée donnée - StudySmarter Originals

Ainsi, d'après le graphique, nous pouvons lire que la solution de la fonction h(t) lorsque t = 3 est 6.

Non seulement nous pouvons utiliser une ligne verticale pour trouver la sortie d'une fonction, mais elle peut aussi être utilisée pour tester si un graphique donné est bien celui d'une fonction. Voyons comment faire !

Test de la ligne verticale

Comme nous l'avons vu précédemment, pour une entrée donnée, une fonction ne peut avoir qu'une seule sortie. En raison de cet attribut, il existe un test simple qui permet de vérifier si un graphique correspond à une fonction.

En termes simples, si un graphique est celui d'une fonction, toute ligne verticale tracée ne le traversera qu'une seule fois. Si une ligne verticale peut être tracée et qu'elle traverse le graphique plus d'une fois, alors le graphique n'est pas une fonction.

Tu trouveras ci-dessous un exemple du test de la ligne verticale utilisé pour une fonction.

fonctions de base ligne verticale test studysmarter Exemple de test de la ligne verticale sur une fonction - StudySmarter Originals

Bien que le graphique ci-dessous puisse ressembler à une fonction à première vue, nous pouvons voir, grâce à l'inspection et au test de la ligne verticale, que chaque entrée a deux sorties, par conséquent le graphique ci-dessous n'est pas une fonction.

fonctions de base ligne verticale test studysmarter Test de la ligne verticale effectué sur un exemple de non-fonction - StudySmarter Originals

Types de fonctions de base

Il existe quelques types de fonctions de base qu'il est important de savoir reconnaître. Examinons quelques types de fonctions et leurs graphiques correspondants.

Fonction linéaire.

Les fonctions linéaires peuvent toujours être exprimées sous la forme $y = a x + b$ par exemple, $y = 2 x + 3$ .

Le graphique d'une fonction linéaire est une ligne droite.

notions de base sur les fonctions graphique d'une fonction linéaire studysmarter Graphique d'une fonction linéaire- StudySmarter Originals

Fonctions quadratiques.

Les fonctions quadratiques sont de la forme $f (x) = a x^{2} + b x + c .$ Par exemple, $f (x) = 3 x^{2} + 2 x + 5$ .

Le graphique d'une fonction quadratique est une parabole, une courbe en forme de U s'ouvrant vers le haut ou vers le bas.

notions de base sur les fonctions graphique d'une fonction quadratique studysmarter Graphique d'une fonction quadratique - StudySmarter Originals

Fonctions trigonométriques.

Les fonctionstrigonométriques telles que f(x)=sin x, f(x)=cos x et f(x)=tan x. dont les graphiques sont représentés ci-dessous.

$f (x) = \sin (x)$
Graphique d'une fonction sinus - StudySmarter Originals

$f (x) = \cos (x)$

notions de base sur les fonctions graphique d'une fonction cosinus studysmarter Graphique d'une fonction cosinus - StudySmarter Originals

$f (x) = \tan (x)$

notions de base sur les fonctions graphique d'une fonction tangente studysmarter Graphique d'une fonction tangente - StudySmarter Originals

Il y a tellement d'autres types de fonctions que nous n'avons pas mentionnés. Il y a les fonctions logarithmiques, les fonctions exponentielles, les fonctions cubiques, les fonctions quartiques et bien d'autres encore ! Pourquoi ne pas consulter notre article sur les types de fonctions pour en savoir plus !

Exemples de fonctions

Nous terminons notre article avec quelques graphiques de fonctions simples mais incroyablement compliqués.

Voici un exemple de fonction linéaire très simple.

$f (x) = 3 x + 2$

Notions de base sur les fonctions exemple d'une fonction linéaire studysmarter Exemple de fonction linéaire - StudySmarter Originals

Nous pouvons obtenir des fonctions plus compliquées, comme cet exemple de fonction quadratique.

$f (x) = 4 {(x - 3)}^{2} + 2$

Notions de base sur les fonctions exemple d'une fonction quadratique studysmarter Exemple de fonction quadratique - StudySmarter Originals

Les fonctions peuvent même être aussi folles que celle ci-dessous. Les possibilités sont vraiment illimitées !

f (x) = \frac{2 x^{2} + 4 x^{3} - 3 x + 3^{x}}{2 x + 7} - \frac{4^{x} - 3^{x} + \ln (x)}{5}

Notions de base sur les fonctions exemple d'une fonction compliquée studysmarter Exemple de fonction compliquée - StudySmarter Originals

Alors voilà, ce sont les bases des fonctions ! Tout ceci n'est que la partie émergée de l'iceberg, pourquoi ne pas consulter nos autres explications sur les différents aspects des fonctions pour découvrir le reste !

Notions de base sur les fonctions - Points essentiels à retenir

Les fonctions sont des expressions mathématiques qui relient les entrées aux sorties.
Par définition, chaque entrée d'une fonction ne peut avoir qu'une seule sortie.
Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les entrées possibles d'une fonction.
Pour résoudre une fonction pour une entrée donnée, il suffit de remplacer la variable de la fonction par la valeur de cette entrée et de résoudre le côté droit de l'équation.

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Questions fréquemment posées en Bases des fonctions

Qu'est-ce qu'une fonction en mathématiques?

Une fonction en mathématiques est une relation qui associe chaque élément d'un ensemble de départ à un élément unique d'un ensemble d'arrivée.

Comment définir une fonction?

Pour définir une fonction, on utilise une expression qui décrit la relation entre les éléments de l'ensemble de départ et de l'ensemble d'arrivée.

Pourquoi les fonctions sont-elles importantes?

Les fonctions sont importantes car elles permettent de modéliser et d'analyser des relations entre des variables dans de nombreux domaines comme les sciences et l'ingénierie.

Quelles sont les propriétés d'une fonction?

Les propriétés d'une fonction incluent la continuité, la dérivabilité, l'injectivité, la surjectivité et la bijectivité.

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