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L'approximation du petit angle est une astuce qui permet d'estimer les valeurs des fonctions trigonométriques pour de petits angles mesurés en radians (petites valeurs de). L'approximation du petit angle est utilisée pour faciliter la résolution et l'utilisation des fonctions trigonométriquesa>.
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Équipe enseignants Approximation des petits angles
Il existe trois équations que nous pouvons utiliser pour l'approximation des petits angles : une pour \(\sin \theta\), une pour \(\cos \theta\), et une pour \(\tan \theta\).
\N- \N(\Nsin \Ntheta \Napprox \Ntheta\N)
\(\cos \theta \approx 1 - \frac{\theta^2}{2}\)
\(\tan \theta \approx \theta\)
L'hypothèse selon laquelle \(\sin \theta \approx \theta\) peut être mieux comprise lorsque nous examinons les graphiques de y = x et y = sin x.
Un graphique montrant les droites y=x (rouge) et y=sin x (bleu).
Maintenant, comme tu peux le voir autour de x = 0, les graphiques de y = x et y = sinx sont très proches l'un de l'autre.
C'est pourquoi, pour les très petits angles, on peut dire que \(\sin \theta \approx \theta\).
L'approximation du cosinus n'est pas aussi simple que celle du sin. L'approximation du petit angle pour le cosinus est obtenue en utilisant le résultat de l'approximation du petit angle que nous avons obtenu pour le sin, et une formule de double angle. Nous utilisons la formule de l'angle double :
\(\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x\)
Maintenant, si nous disons que \(\cos 2x = \cos \theta\) alors \(x = \frac{\theta}{2}\). Donc, \(\cos \theta = 1- 2 \sin^2\Big( \frac{\theta}{2} \Big)\)
Nous savons d'après notre calcul précédent que pour une petite valeur de \(\theta\) nous supposons que :
\(\cos \theta = 1 - 2 \Big(\frac{\theta}{2} \Big)^2\)
Ce qui, simplifié, nous donne l'approximation du petit angle pour cos :
\(\cos \theta \approx 1 - \frac{\theta^2}{2}\)
Pour l'approximation du petit angle de tan, nous utilisons la même logique que pour sin. Regarde les graphiques de y = tanx et y = x,
Un graphique montrant les droites y=x (rouge) et y=tan x (bleu).
Encore une fois, pour des valeurs proches de x = 0, on voit que les deux fonctions sont très proches l'une de l'autre :
Par conséquent, nous supposons que pour de petites valeurs de \(\theta, \space \tan \theta \approx \theta\).
Les formules dérivées précédemment peuvent être utilisées dans les questions et les problèmes pour faciliter et accélérer leur résolution. Nous allons voir quelques exemples de la façon de les appliquer.
Lorsque \(\theta\) est petit, montre que \(\frac{\cos \theta}{\sin \theta}\) peut être approximé par \(\frac{2 - \theta^2}{2 \theta}\).
Pour résoudre cette question, nous devrons utiliser les approximations des petits angles pour sin et cos : \(\sin \theta \approx \theta, \cos \theta \approx 1 -\frac{\theta^2}{2}\). Nous pouvons maintenant substituer ceci à \(\frac{\cos \theta}{\sin \theta}\), ce qui nous donne \(\frac{1-\frac{\theta^2}{2}}{\theta}\). Nous pouvons simplifier cette expression en multipliant le haut et le bas par 2 : \frac{2-\frac{2\theta^2}{2}}{ 2\theta}\) qui se simplifie en \frac{2-\theta^2}{2 \theta}\), comme l'exige la question.
a) Lorsque x est petit, montre que tan (3x) cos (2x) peut être approché par \(3x - 6x^3\)
b) D'où l'approximation de la valeur de tan (0,3) cos (0,2) à 3 sf.
La réponse à cette question se divise en deux parties : a et b. Commençons par examiner la façon de résoudre a). Nous devrons utiliser les faits que tan x≈ x et \(\cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2}\). En substituant cela à tan (3x) cos (2x), on obtient : \(3x \Big(1- \frac{(2x)^2}{2}) \Big)\Nou \N(3x(1-2x^2)\N). En multipliant la parenthèse par 3x : \N(3x-6x^3\N) comme demandé.
Pour la partie b, nous devons trouver la valeur tan pour 0,3 et cos pour 0,2. Nous connaissons les expressions pour tan 3x et cos 2x, donc : 3x = 0,3 et 2x = 0,2 nous donne x = 0,1. Nous pouvons maintenant ajouter 0,1 à l'expression que nous avons trouvée plus tôt : \(3 (0.1) - 6(0.1)^3 = 0.294\)
Si l'angle est donné en degrés, tu devras d'abord le convertir en radians pour utiliser l'approximation du petit angle. Tu peux utiliser la formule \(radian = degré \cdot \frac{\pi}{180}\)
L'approximation du petit angle peut être utilisée pour faciliter le travail avec les fonctions trigonométriques lorsqu'il s'agit d'angles proches de 0 rad.
L'approximation du petit angle doit être calculée en radians.
Les trois formules pour l'approximation du petit angle sont les suivantes :
\(\sin \theta \approx \theta, \tan \theta \approx \theta ,\cos \theta \approx 1 - \frac{\theta^2}{2}\)
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Lily Hulatt is a Digital Content Specialist with over three years of experience in content strategy and curriculum design. She gained her PhD in English Literature from Durham University in 2022, taught in Durham University’s English Studies Department, and has contributed to a number of publications. Lily specialises in English Literature, English Language, History, and Philosophy.
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Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models’ (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.
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