Équations de l'approximation des petits angles
Il existe trois équations que nous pouvons utiliser pour l'approximation des petits angles : une pour \(\sin \theta\), une pour \(\cos \theta\), et une pour \(\tan \theta\).
\N- \N(\Nsin \Ntheta \Napprox \Ntheta\N)
\(\cos \theta \approx 1 - \frac{\theta^2}{2}\)
\(\tan \theta \approx \theta\)
Approche des petits angles pour sin
L'hypothèse selon laquelle \(\sin \theta \approx \theta\) peut être mieux comprise lorsque nous examinons les graphiques de y = x et y = sin x.
Un graphique montrant les droites y=x (rouge) et y=sin x (bleu).
Maintenant, comme tu peux le voir autour de x = 0, les graphiques de y = x et y = sinx sont très proches l'un de l'autre.
C'est pourquoi, pour les très petits angles, on peut dire que \(\sin \theta \approx \theta\).
Approximation des petits angles pour cos
L'approximation du cosinus n'est pas aussi simple que celle du sin. L'approximation du petit angle pour le cosinus est obtenue en utilisant le résultat de l'approximation du petit angle que nous avons obtenu pour le sin, et une formule de double angle. Nous utilisons la formule de l'angle double :
\(\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x\)
Maintenant, si nous disons que \(\cos 2x = \cos \theta\) alors \(x = \frac{\theta}{2}\). Donc, \(\cos \theta = 1- 2 \sin^2\Big( \frac{\theta}{2} \Big)\)
Nous savons d'après notre calcul précédent que pour une petite valeur de \(\theta\) nous supposons que :
\(\cos \theta = 1 - 2 \Big(\frac{\theta}{2} \Big)^2\)
Ce qui, simplifié, nous donne l'approximation du petit angle pour cos :
\(\cos \theta \approx 1 - \frac{\theta^2}{2}\)
Approximation du petit angle pour tan
Pour l'approximation du petit angle de tan, nous utilisons la même logique que pour sin. Regarde les graphiques de y = tanx et y = x,
Un graphique montrant les droites y=x (rouge) et y=tan x (bleu).
Encore une fois, pour des valeurs proches de x = 0, on voit que les deux fonctions sont très proches l'une de l'autre :
Par conséquent, nous supposons que pour de petites valeurs de \(\theta, \space \tan \theta \approx \theta\).
Comment résoudre les questions à l'aide de l'approximation des petits angles ?
Les formules dérivées précédemment peuvent être utilisées dans les questions et les problèmes pour faciliter et accélérer leur résolution. Nous allons voir quelques exemples de la façon de les appliquer.
Lorsque \(\theta\) est petit, montre que \(\frac{\cos \theta}{\sin \theta}\) peut être approximé par \(\frac{2 - \theta^2}{2 \theta}\).
Pour résoudre cette question, nous devrons utiliser les approximations des petits angles pour sin et cos : \(\sin \theta \approx \theta, \cos \theta \approx 1 -\frac{\theta^2}{2}\). Nous pouvons maintenant substituer ceci à \(\frac{\cos \theta}{\sin \theta}\), ce qui nous donne \(\frac{1-\frac{\theta^2}{2}}{\theta}\). Nous pouvons simplifier cette expression en multipliant le haut et le bas par 2 : \frac{2-\frac{2\theta^2}{2}}{ 2\theta}\) qui se simplifie en \frac{2-\theta^2}{2 \theta}\), comme l'exige la question.
a) Lorsque x est petit, montre que tan (3x) cos (2x) peut être approché par \(3x - 6x^3\)
b) D'où l'approximation de la valeur de tan (0,3) cos (0,2) à 3 sf.
La réponse à cette question se divise en deux parties : a et b. Commençons par examiner la façon de résoudre a). Nous devrons utiliser les faits que tan x≈ x et \(\cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2}\). En substituant cela à tan (3x) cos (2x), on obtient : \(3x \Big(1- \frac{(2x)^2}{2}) \Big)\Nou \N(3x(1-2x^2)\N). En multipliant la parenthèse par 3x : \N(3x-6x^3\N) comme demandé.
Pour la partie b, nous devons trouver la valeur tan pour 0,3 et cos pour 0,2. Nous connaissons les expressions pour tan 3x et cos 2x, donc : 3x = 0,3 et 2x = 0,2 nous donne x = 0,1. Nous pouvons maintenant ajouter 0,1 à l'expression que nous avons trouvée plus tôt : \(3 (0.1) - 6(0.1)^3 = 0.294\)
Si l'angle est donné en degrés, tu devras d'abord le convertir en radians pour utiliser l'approximation du petit angle. Tu peux utiliser la formule \(radian = degré \cdot \frac{\pi}{180}\)
Approximation du petit angle - Principaux enseignements
L'approximation du petit angle peut être utilisée pour faciliter le travail avec les fonctions trigonométriques lorsqu'il s'agit d'angles proches de 0 rad.
L'approximation du petit angle doit être calculée en radians.
Les trois formules pour l'approximation du petit angle sont les suivantes :
\(\sin \theta \approx \theta, \tan \theta \approx \theta ,\cos \theta \approx 1 - \frac{\theta^2}{2}\)
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Questions fréquemment posées en Approximation des petits angles
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