Analyser les graphes de polynômes: Concepts, Méthodes

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Comportement final des fonctions polynomiales

Étant donné une fonction polynomiale, le comportement final est ce qui arrive au graphique lorsque x se rapproche des limites du domaine. Si nous traçons le graphique d'une fonction polynomiale, le comportement final est ce qui arrive au graphique lorsque nous nous approchons des "extrémités" de l'axe réel.

Exemple montrant le comportement final des polynômes, Jordan Madge- StudySmarter Originals

Ci-dessus se trouve le graphique de $f (x) = x^{2} - 3 x - 4$ . Nous pouvons voir ici qu'à mesure que x devient de plus en plus grand, le graphique augmente. Nous disons que lorsque x tend vers l'infini, la fonction tend vers l'infini. De même, nous disons que lorsque x s'approche de l'infini négatif, la fonction s'approche de l'infini positif puisque lorsque x devient de plus en plus petit, le graphique augmente également.

Comportement final des fonctions polynomiales, graphique montrant le comportement final, Geogebra Graphique montrant le comportement final d'un polynôme cubique, Jordan Madge- StudySmarter Originals

Ci-dessus se trouve le graphique de $f (x) = x^{3} - 3 x - 2$ . Ici, nous pouvons voir que lorsque x s'approche de l'infini positif, la fonction s'approche de l'infini positif, cependant lorsque x s'approche de l'infini négatif, le graphique s'approche de l'infini négatif.

Une version abrégée de l'écriture "x tend vers l'infini" est $x \to \infty$ . Ainsi, dans l'exemple ci-dessus, nous pourrions écrire : comme $x \to \infty$ , $f (x) \to \infty$ et comme $x \to - \infty$ , $f (x) \to - \infty$

Qu'est-ce qui détermine le comportement final d'une fonction polynomiale ?

Le degré d'un polynôme est la puissance la plus élevée qu'il possède. Par exemple, la fonction polynomiale est un polynôme de degré 5. Le coefficient directeur d'une fonction polynomiale est le terme dont le degré est le plus élevé dans le polynôme. Ainsi, pour le polynôme, le premier coefficient est 7 et le degré est 5.

Lorsque x devient vraiment grand ou vraiment petit (comme $x \to \infty$ ou $x \to - \infty$ ), le coefficient directeur devient significatif parce que ce terme prendra le dessus et croîtra beaucoup plus rapidement que les autres termes. Par conséquent, pour déterminer le comportement final d'un polynôme, il suffit de regarder le degré et le coefficient directeur pour tirer une conclusion. Il existe quatre scénarios possibles.

Cas	Degré	Coefficient directeur	Comportement final	Exemple
1	Pair	Positif	Comme $x \to \infty$ , $f (x) \to \infty$ Comme $x \to - \infty$ , $f (x) \to \infty$
2	Même	Négatif	Comme $x \to \infty$ , $f (x) \to - \infty$ Comme $x \to - \infty$ , $f (x) \to - \infty$	Comportement final d'une fonction paire, Jordan Madge- StudySmarter Originals.
3	Impair	Positif	Comme $x \to \infty$ , $f (x) \to \infty$ Comme $x \to - \infty$ , $f (x) \to - \infty$	End Behaviour of Odd Function, Jordan Madge- StudySmarter Originals.
4	Impair	Négatif	Comme $x \to \infty$ , $f (x) \to - \infty$ Comme $x \to - \infty$ , $f (x) \to \infty$	Comportement final de la fonction impaire, Jordan Madge- StudySmarter Originals.

$f (x) = x^{2} + 3 x + 2$ Détermine le comportement final de la fonction polynomiale .

Solution :

Ici, le degré est 2 qui est pair et le coefficient directeur est 1 qui est positif. Par conséquent, nous avons le cas 1 et donc comme $x \to \infty$ $f (x) \to \infty$ et comme $x \to - \infty$ , $f (x) \to \infty$ .

$f (x) = - x^{4} + 3 x^{3} + x - 2$ Détermine le comportement final du polynôme.

Solution :

Ici, le degré est 4 qui est pair et le coefficient directeur est -1 qui est négatif.

Par conséquent, nous avons le cas 2 et donc comme $x \to \infty$ , $f (x) \to - \infty$ et comme $x \to - \infty$ , $f (x) \to - \infty$ .

$f (x) = 2 x^{3} + 7 x^{2}$ Détermine le comportement final du polynôme .

Solution :

Ici, le degré est 3 qui est impair et le coefficient directeur est 2 qui est positif. Par conséquent, nous avons le cas 3 et donc comme $x \to \infty$ , $f (x) \to \infty$ et comme $x \to - \infty$ , $f (x) \to - \infty$ .

Détermine le comportement final du polynôme. $f (x) = - 7 x^{5} + 3 x^{2} - 1$

Solution :

Ici, le degré est 5 qui est impair et le coefficient directeur est -7 qui est négatif. Par conséquent, nous avons le cas 4 et donc comme $x \to \infty$ , $f (x) \to - \infty$ et comme $x \to - \infty$ , $f (x) \to \infty$ .

Zéros des fonctions polynomiales

Les zéros d'un polynôme sont les valeurs x qui rendent le polynôme égal à zéro. Souvent, nous désignons une fonction polynomiale par la notation p(x). Par conséquent, les zéros peuvent être trouvés en égalant p(x) à zéro et en résolvant pour x. Les zéros sont également les intersections x de la fonction.

Trouve les zéros de la fonction polynomiale. $p (x) = (x - 1) (x - 2) (x - 3)$

Solution :

En ramenant p(x) à zéro, on obtient $(x - 1) (x - 2) (x - 3) = 0$ .

En résolvant x, on obtient $x = 1, x = 2, x = 3$ .

Trouve les zéros de la fonction polynomiale $p (x) = (x + 2) (x + 1)$ .

Solution :

En ramenant p(x) à zéro, on obtient $(x + 2) (x + 1) = 0$ .

Par conséquent , $x = - 2, - 1$

Localisation des zéros

Supposons que nous ayons la fonction polynomiale $p (x) = - x^{2} + 2 x + 1$ . Si nous calculons $p (2)$ nous obtenons $p (2) = {- (2)}^{2} + 2 (2) + 1 = 1$ qui est positif. Si nous calculons $p (3)$ , nous obtenons $p (3) = - {(3)}^{2} + 2 (3) + 1 = - 2$ ce qui est négatif.

Le principe de localisation stipule que pour la fonction polynomiale $p (x)$ si $p (a) < 0$ et $p (b) > 0$ , alors il doit y avoir un zéro entre a et b.

Localiser les zéros, exemple, Geogebra Exemple de localisation des zéros, Jordan Madge- StudySmarter Originals

Ci-dessus, le graphique de $f (x) = x^{2} + 3 x + 2$ . Si nous regardons $f (- 1.5),$ nous voyons qu'il est négatif. Si nous regardons f(0), nous voyons qu'il est positif. Il est évident qu'il doit y avoir un zéro entre $x = - 1.5$ et $x = 0$ car le graphique doit traverser l'axe des x à un moment donné pour passer de négatif à positif. C'est la théorie qui sous-tend le principe de localisation. Il est vraiment utile pour les graphiques où il peut être plus difficile de localiser les zéros en utilisant les méthodes conventionnelles de résolution, comme les quartiques (polynômes d'ordre 4), les quintiques (polynômes d'ordre 5) ou les polynômes d'ordre supérieur.

Utilise le principe de localisation pour montrer que pour la fonction $p (x) = x^{3} + 3 x + 1$ , il existe une racine entre $x = - 1$ et $x = 0 .$

Solution :

$p (- 1) = - 1 - 3 + 1 = - 3,$

$p (0) = 0 + 0 + 1 = 1$

Représentation graphique des fonctions polynomiales

Dans cette section, nous allons mettre en commun certains des sujets que nous avons déjà abordés pour représenter graphiquement les fonctions polynomiales. Pour représenter graphiquement une fonction polynomiale, il y a quatre étapes principales :

Étape 1 : Déterminer tous les zéros que le graphique peut avoir.

Étape 2 : Établir un tableau de valeurs.

Étape 3 : Détermine le comportement final de la fonction polynomiale.

Étape 4 : Utilise les informations ci-dessus pour tracer le graphique.

$f (x) = x^{3} - 1$ Esquisse le graphique de la fonction polynomiale .

Solution :

Étape 1 : Détermine les zéros éventuels.

$x^{3} - 1 = 0$ L'équation de la fonction à zéro nous permet d'obtenir . Nous pouvons factoriser cette fonction pour obtenir $(x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$ et nous obtenons donc $x = 1$ comme seul zéro réel.

Étape 2 : Etablis un tableau de valeurs.

x	-1	0	1	2	3
f(x)	-2	-1	0	7	26

Ci-dessus, j'ai choisi quelques valeurs de x et j'ai calculé les valeurs correspondantes de f(x).

Étape 3 : Détermine le comportement final de la fonction polynomiale.

Ce polynôme a un degré impair et le polynôme de tête est 1 qui est positif. Par conséquent, nous avons comme $x \to \infty$ , $f (x) \to \infty$ et comme $x \to - \infty$ , $f (x) \to - \infty$ .

Étape 4 : Utilise les informations ci-dessus pour tracer le graphique.

Représentation graphique des polynômes, exemple, Geogebra

Exemple de graphique de polynômes, Jordan Madge- StudySmarter Originals

Fonctions paires et impaires

Une fois que nous avons dessiné le graphique de notre fonction polynomiale, nous pouvons souhaiter déterminer s'il s'agit d'une fonction paire ou impaire. Une fonction est paire lorsqu'elle est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. En d'autres termes, une fonction est paire lorsque $f (x) = f (- x)$ pour toutes les valeurs de x. Une fonction impaire se produit lorsque $- f (x) = f (- x)$ .

Funcitons paires et impaires, exemple, Geogebra Exemple de fonctions paires et impaires, Jordan Madge- StudySmarter Originals

Ci-dessus se trouve le graphique de $y = x^{4} - 3$ . Nous pouvons voir qu'il s'agit d'une fonction paire parce qu'il y a une symétrie par rapport à l'axe des ordonnées. Chaque fois que nous avons une symétrie par rapport à l'axe des y, nous avons que $f (x) = f (- x)$ .

Fonctions paires et impaires, exemple, Geogebra

Exemple de fonctions paires et impaires, Jordan Madge- StudySmarter Originals

Ci-dessus se trouve le graphique de $y = \frac{1}{2} x^{5}$ . Nous pouvons voir qu'il s'agit d'une fonction impaire car $- f (x) = f (x)$ pour toutes les valeurs de x.

Points d'inflexion des fonctions polynomiales

Un point d'inflexion sur un graphique est un point où le graphique passe d'une augmentation à une diminution. En d'autres termes, le graphique passe d'une tendance "ascendante" à une tendance "descendante" ou vice versa. Les maxima locaux correspondent spécifiquement au moment où le graphique passe de l'augmentation à la diminution. Les minima locaux correspondent spécifiquement au moment où le graphique passe de décroissant à croissant.

Le pluriel pour maximum est maxima et le pluriel pour minimum est minima. Le terme générique pour ces deux mots est extrema.

Turning Points, Exemple, Geogebra

Exemple de points de retournement, Jordan Madge- StudySmarter Originals

Sur le graphique ci-dessus, nous pouvons voir un point d'inflexion qui se produit à $(0, 0) .$ À ce point, le graphique passe de l'augmentation à la diminution et il s'agit donc d'un maximum local.

Analyse des graphiques de polynômes - Principaux points à retenir

Le comportement final d'une fonction polynomiale est ce qui arrive au graphique lorsque x s'approche de l'infini positif ou négatif.
Nous pouvons déterminer le comportement final de n'importe quel polynôme en examinant le coefficient principal et le degré du polynôme.
Le zéro d'une fonction polynomiale est le point où elle croise l'axe des x. On peut le déterminer en mettant la fonction polynomiale en équation avec zéro et en résolvant pour x.
Nous pouvons utiliser le principe de localisation pour déterminer les valeurs entre lesquelles se trouvent les zéros.
Les fonctions paires sont des fonctions qui ont une symétrie par rapport à l'axe des x et les fonctions impaires sont des fonctions qui ont une symétrie par rapport à l'axe des x. $f (x) = f (- x)$
Les fonctions impaires sont des fonctions où $f (- x) = - f (x)$
Un point d'inflexion est un point où une fonction passe d'une augmentation à une diminution ou vice versa.
Un minimum local se produit lorsqu'une fonction passe d'une diminution à une augmentation.
Un maximum local se produit lorsqu'une fonction passe d'une valeur croissante à une valeur décroissante.

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Questions fréquemment posées en Analyser les graphes de polynômes

Qu'est-ce qu'un graphe de polynôme ?

Un graphe de polynôme est la représentation visuelle d'une fonction polynomiale, montrant comment les valeurs de la fonction changent en fonction de la variable.

Comment tracer un graphe de polynôme ?

Pour tracer un graphe de polynôme, vous devez calculer plusieurs points en substituant des valeurs de la variable dans le polynôme puis les tracer sur un graphique.

Quels sont les points critiques sur un graphe de polynôme ?

Les points critiques sur un graphe de polynôme incluent les zéros (racines), les maxima, les minima et les points d'inflexion.

Comment déterminer les zéros d'un polynôme ?

Pour déterminer les zéros d'un polynôme, vous devez résoudre l'équation polynomiale en l'égalant à zéro.

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