Aire et Périmètre d'un Triangle: Formules, Calculs

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Dans cet article, nous verrons la définition du périmètre d'un triangle, sa formule, et comment résoudre le périmètre d'un triangle lorsque des points sont donnés ou qu'une image est donnée, ou encore lorsqu'il manque des côtés.

Définition du périmètre d'un triangle

Le périmètre d'un triangle est la somme de ses trois côtés.

La définition est la même pour le périmètre de tous les autres polygones : la somme de tous les côtés. Le périmètre dépend explicitement des côtés du triangle et est indépendant des côtés. Ainsi, si l'on donne la mesure de tous les côtés du triangle, le périmètre est simplement la somme de tous ces côtés. Ce périmètre peut être divisé en trois types : le périmètre d'un triangle scalène, d'un triangle isocèle et d'un triangle équilatéral.

Formule du périmètre d'un triangle scalène

Rappelle qu'un triangle scalène est un triangle dont tous les côtés ont une longueur différente.

Si a, b et c sont les longueurs de tous les côtés d'un triangle scalène, alors d'après la définition, le périmètre est donné par :

$P = a + b + c$ ,

où P représente le périmètre.

Le périmètre d'un triangle scalène, StudySmarter Original

Trouve le périmètre d'un triangle dont les côtés ont pour longueur a = 4, b = 5 et c = 7 unités.

Solution :

Le périmètre est donné par la formule suivante :

$P = a + b + c = 4 + 5 + 7 = 16 u n i t s$

Formule du périmètre d'un triangle isocèle

Un triangle isocèle est un triangle dans lequel la longueur de deux côtés est la même et le troisième est différent.

Si a est la longueur de chacun des côtés égaux et que la longueur du troisième côté est b, alors le périmètre du triangle sera :

$P = 2 a + b$ .

Périmètre d'un triangle isocèle, StudySmarter Original

C'est juste un cas particulier de triangle scalène pour a = c.

Trouve le périmètre d'un triangle isocèle dont les deux côtés ont une longueur de 4 unités chacun et le troisième côté est de 5 unités.

Solution :

Le périmètre d'un triangle isocèle est donné par :

$P = 2 a + b$ .

où a = 4 et b = 5 sont donnés :

$P = 2 \times 4 + 5 = 8 + 5 = 13$

Le périmètre de ce triangle est donc de 13 unités.

Formule du périmètre d'un triangle équilatéral

Un triangle équilatéral est un triangle dont tous les côtés ont la même longueur.

Si a est la longueur de chacun des côtés, le périmètre est donné par :

$P = 3 a$

Par conséquent, le périmètre d'un triangle équilatéral est le triple de la longueur de chacun de ses côtés. Encore une fois, un triangle équilatéral n'est qu'un cas particulier de triangle scalène.

Le périmètre d'un triangle équilatéral, StudySmarter Original

Trouve le périmètre d'un triangle équilatéral dont la longueur de chaque côté est de 3 unités.

Solution :

Nous pouvons utiliser la formule pour trouver le périmètre d'un triangle équilatéral :

$P = 3 a = 3 \times 3 = 9$

Le périmètre du triangle est donc de 9 unités.

Périmètre lorsque les points sont donnés

Suppose que l'on ne nous donne pas directement les longueurs des côtés d'un triangle, mais plutôt les coordonnées de ses sommets. C'est notamment le cas lorsqu'un triangle est inscrit dans un plan cartésien. Les coordonnées permettent de localiser le triangle.

Pour trouver le périmètre lorsque les coordonnées des sommets sont données, nous devons trouver la longueur des côtés individuels d'une manière ou d'une autre. Pour ce faire, nous pouvons calculer la distance entre les sommets à l'aide de la formule de la distance, et les segments de droite formés lorsque nous relions les sommets sont les côtés du triangle lui-même.

Par conséquent, la longueur des segments de droite reliant les sommets sera la même que la longueur des côtés du triangle formé.

Un triangle cartésien, Périmètre d'un triangle, StudySmarter Un triangle avec ses coordonnées cartésiennes, StudySmarter Originals

Soit A, B et C les sommets du triangle et les coordonnées sont $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}) and (x_{3}, y_{3})$ où tous les points sont distincts. Les côtés du triangle ABC seront AB, BC et AC.

Utilise la formule de la distance :

$d = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Maintenant que nous connaissons la longueur des côtés du triangle en fonction des coordonnées des sommets, nous pouvons utiliser la formule du périmètre :

$P = \sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}} + \sqrt{{(x_{2} - x_{3})}^{2} + {(y_{2} - y_{3})}^{2}} + \sqrt{{(x_{3} - x_{1})}^{2} + {(y_{3} - y_{1})}^{2}}$

Ainsi, nous avons trouvé une formule pour calculer le périmètre du triangle dont les sommets sont donnés.

Trouve le périmètre du triangle dont les sommets sont situés en A(-3, 1), B(2, 1) et C(2, -1).

Solution :

Pour trouver la longueur du périmètre, nous devons trouver la longueur des côtés respectifs et nous pouvons le faire en utilisant la formule de la distance pour les trois sommets.

Pour le premier côté AB :

$A B = \sqrt{{(- 3 - 2)}^{2} + {(1 - 1)}^{2}} = 5$

Pour le deuxième côté, BC :

$B C = \sqrt{{(2 - 2)}^{2} + {(1 + 1)}^{2}} = 2$

Et pour le troisième côté, AC :

$A C = \sqrt{{(- 3 - 2)}^{2} + {(1 + 1)}^{2}} = \sqrt{29}$

Et maintenant, le périmètre peut être calculé en additionnant tous ces côtés :

$P = A B + B C + A C P = 5 + 2 + \sqrt{29} = 7 + \sqrt{29}$

Le périmètre du triangle dont les sommets sont A(-3, 1), B(2, 1) et C(2, -1) est donc de $7 + \sqrt{29}$ unités.

Périmètre d'un triangle dont les côtés sont manquants

Parfois, tous les côtés ne sont pas indiqués. La plupart du temps, la longueur de deux des côtés et l'angle qui les sépare sont donnés. En utilisant uniquement ces informations, nous devons trouver le périmètre du triangle.

Encore une fois, en utilisant les informations données, nous devons trouver la longueur du côté manquant. Si l'on dispose de l'angle entre deux des côtés connus, la loi du cosinus est utilisée pour déterminer la longueur du côté manquant.

Soit A, B et C les trois angles d'un triangle et les côtés qui leur sont opposés ont respectivement une longueur.

Supposons que l'on nous donne la longueur de deux côtés comme a, b, et que l'angle entre eux soit donné comme C.

Triangle dont les deux côtés et un angle sont donnés, StudySmarter Originals

Par conséquent, nous devons trouver le troisième côté c à l'aide des informations données, ici nous utilisons la loi du cosinus pour déterminer le côté manquant. Rappelle que la loi du cosinus est donnée comme suit :

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos C c = \sqrt{a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos C}$

où la seule inconnue est c et où nous pouvons donc la calculer assez facilement. Un cas très spécifique serait celui d'un triangle rectangle où le terme cosC disparaîtrait puisque C = π/2 et la loi du cosinus donnerait simplement le théorème de Pythagore.

En utilisant maintenant la formule du périmètre d'un triangle, nous obtenons :

$P = a + b + c$

En remplaçant c , on obtient :

$P = a + b + \sqrt{a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos C}$

Trouve le périmètre d'un triangle dont les deux côtés ont une longueur de 4 et 5 unités, et dont l'angle entre ces côtés est de $\frac{π}{3}$ radians.

Solution :

Étiquetons les deux côtés respectivement a et b , de sorte que a = 4 et b = 5, et que l'angle soit C, nous devons trouver la longueur du côté restant afin de trouver le périmètre.

Nous utilisons ici la loi du cosinus :

$c = \sqrt{a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos C} c^{2} = 16 + 25 - 2.4.5 \cdot \frac{1}{2} c = \sqrt{41 - 20} c = \sqrt{21}$

Le périmètre est donc donné par :

$P = a + b + c P = 4 + 5 + \sqrt{21} P = 9 + \sqrt{21}$

Le périmètre du triangle donné est donc de $9 + \sqrt{21}$ unités.

Le périmètre d'un triangle sur un graphique

Par conséquent, la longueur des segments de droite reliant les sommets sera la même que la longueur des côtés du triangle formé.

Utilise la formule de la distance :

$d = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Maintenant que nous connaissons la longueur des côtés du triangle en fonction des coordonnées des sommets, nous pouvons utiliser la formule du périmètre :

$P = \sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}} + \sqrt{{(x_{2} - x_{3})}^{2} + {(y_{2} - y_{3})}^{2}} + \sqrt{{(x_{3} - x_{1})}^{2} + {(y_{3} - y_{1})}^{2}}$

Ainsi, nous avons trouvé une formule pour calculer le périmètre du triangle dont les sommets sont donnés.

Surface et périmètre d'un triangle - Principaux enseignements

Le périmètre d'un triangle est la somme de ses trois côtés.
La formule du périmètre d'un triangle dont les côtés sont $a, b and c$ est donnée par $P = a + b + c$ .
Le périmètre d'un triangle dont les sommets sont $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}) and (x_{3}, y_{3})$ est donné par $P = \sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}} + \sqrt{{(x_{2} - x_{3})}^{2} + {(y_{2} - y_{3})}^{2}} + \sqrt{{(x_{3} - x_{1})}^{2} + {(y_{3} - y_{1})}^{2}}$ .
Le périmètre d'un triangle dont les longueurs des deux côtés sont $a, b$ et l'angle entre eux est $C$ est donné par $P = a + b + \sqrt{a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos C}$ où le côté c est évalué à l'aide de la règle du cosinus : $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos C$ .

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Questions fréquemment posées en Aire et Périmètre d'un Triangle

Comment calculer l'aire d'un triangle ?

Pour calculer l'aire d'un triangle, multipliez la base par la hauteur et divisez par 2 : Aire = (base * hauteur) / 2.

Quelle est la formule du périmètre d'un triangle ?

La formule du périmètre d'un triangle est la somme des longueurs de ses trois côtés : Périmètre = côté1 + côté2 + côté3.

Comment trouve-t-on la hauteur d'un triangle ?

Pour trouver la hauteur d'un triangle, utilisez la formule de l'aire : hauteur = (2 * Aire) / base.

Quelles unités sont utilisées pour l'aire et le périmètre ?

L'aire est mesurée en unités carrées (m², cm²), et le périmètre en unités linéaires (m, cm).

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