Addition et Soustraction des Expressions Rationnelles: Techniques, Propriétés

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$\frac{2 x^{2} - 1}{3 x + 4}$

Dans cet article, nous allons voir comment additionner et soustraire des expressions rationnelles.

Addition et soustraction d'expressions rationnelles

Rappelle-toi comment additionner ou soustraire des fractions ensemble. Comme les expressions rationnelles sont essentiellement des fractions dont le numérateur et le dénominateur sont tous deux des polynômes, nous pouvons utiliser le même concept de base ici.

La règle d'or de l'addition et de la soustraction des fractions

La règle d'or pour additionner et soustraire des fractions est la suivante :

Si les fractions à ajouter ou à soustraire ont les mêmes dénominateurs, les numérateurs correspondants peuvent simplement être ajoutés ou soustraits en gardant le dénominateur constant.

Cela conduit essentiellement à deux types de cas d'utilisation :

Les expressions rationnelles avec des dénominateurs communs
Les expressions rationnelles avec des dénominateurs différents

Somme d'expressions rationnelles avec des dénominateurs communs

Pour additionner ou soustraire des expressions ayant des dénominateurs communs, il suffit d'ajouter ou de soustraire (selon le signe) les numérateurs en gardant le dénominateur commun constant.

Évaluer

$\frac{2 x^{3}}{5} + \frac{9 x^{3}}{5}$

Solution

Étant donné que les dénominateurs sont communs, nous pouvons additionner les numérateurs en gardant le dénominateur constant.

$\frac{2 x^{3}}{5} + \frac{9 x^{3}}{5} = \frac{2 x^{3} + 9 x^{3}}{5} = \frac{11 x^{3}}{5}$

Évaluer

$\frac{x^{2}}{x - 1} - \frac{2 x - 1}{x - 1}$

Solution

$\frac{x^{2}}{x - 1} - \frac{2 x - 1}{x - 1} = \frac{x^{2} - (2 x - 1)}{x - 1} = \frac{x^{2} - 2 x + 1}{x - 1}$

Puisque ^x2-2x+1 est divisible par (x-1), nous pouvons encore simplifier l'expression.

$\frac{x^{2} - 2 x + 1}{x - 1} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{x - 1} = x - 1$

Fais attention à ce que le signe négatif soit réparti sur l'ensemble du polynôme. Donc -(2x-1) = -2x+1. Tous les termes du polynôme doivent être annulés.

Somme d'expressions rationnelles avec différents dénominateurs

Si nous devons effectuer une addition ou une soustraction sur des expressions ayant des dénominateurs différents, nous manipulons d'abord les expressions pour qu'elles finissent par avoir les mêmes dénominateurs.

Tu peux suivre la procédure suivante pour additionner et soustraire des fractions ayant des dénominateurs différents :

Étape 1 : Remplace le dénominateur de chaque terme par le plus petit commun multiple (LCM) de tous les dénominateurs.

Étape 2 : Remplace le numérateur de chaque terme par $(o r i g i n a l n u m e r a t o r) \times \frac{L C M o f d e n o m i n a t o r s}{O r i g i n a l d e n o m i n a t o r}$ .

Étape 3 : Maintenant que tous les dénominateurs sont identiques, additionne ou soustrait les numérateurs ensemble pour obtenir le numérateur résultant sur le dénominateur commun.

Étape 4 : Simplifie l'expression si nécessaire.

Étant donné que l'addition et la soustraction de polynômes avec des dénominateurs différents impliquent le calcul du LCM des dénominateurs, qui sont des polynômes, il est nécessaire d'être à l'aise avec le calcul du LCM de polynômes donnés.

Trouver le plus petit commun multiple de deux polynômes

Le processus de recherche du LCM de polynômes algébriques n'est pas différent de la recherche du LCM d'un ensemble donné d'entiers. Avant de passer aux exemples d'addition et de soustraction de polynômes ayant des dénominateurs différents, voyons d'abord un exemple d'évaluation du LCM de deux polynômes.

Trouve le LCM de 15mn et de 21np².

Solution :

Décomposons les termes en leurs facteurs premiers et leurs plus petits facteurs variables.

15mn = 3×5×m×n

21np² = 3×7×n×p×p

Multiplie chaque facteur par le plus grand nombre de fois qu'il apparaît dans l'une des factorisations.

LCM = 3×5×7×m×n×p×p

=105mnp²

Voyons maintenant quelques exemples d'addition et de soustraction d'expressions rationnelles avec des dénominateurs différents.

Evaluate

$\frac{m + n}{2} + \frac{2 n + 1}{5}$

Solution

$\frac{m + n}{2} + \frac{2 n + 1}{5} = \frac{2 (m + n) + 5 (2 n + 1)}{10} (L C M o f t h e d e n o m i n a t o r s i s 10) = \frac{2 m + 2 n + 10 n + 5}{10} = \frac{2 m + 12 n + 5}{10}$

Évaluer

$\frac{25}{a} + \frac{11}{2 a} - \frac{35}{a^{2}}$

Solution

\frac{25}{a} + \frac{11}{2 a} - \frac{35}{a^{2}} = \frac{2 a \times 25 + a \times 11 - 35}{2 a^{2}} (L C M o f d e n o m i n a t o r s i s 2 a^{2}) = \frac{50 a + 11 a - 35}{2 a^{2}} = \frac{61 a - 35}{2 a^{2}}

Évaluer

$\frac{8}{4 x^{2} - y^{2}} - \frac{3}{2 x + y}$

Solution

Dans cet exemple, nous avons les polynômes suivants au dénominateur :

4x²-y² et 2x+y.

Or ,

4x²-y²=(2x+y)(2x-y)

Donc le LCM des dénominateurs est (2x+y)(2x-y) [ou 4x²-y²].

$\frac{8}{4 x^{2} - y^{2}} - \frac{3}{2 x + y} = \frac{8 - (2 x - y) 3}{(2 x + y) (2 x - y)} = \frac{8 - 6 x + 3 y}{(2 x + y) (2 x - y)}$

Addition et soustraction d'expressions rationnelles - Principaux enseignements

Une expression rationnelle est une fraction algébrique dont le numérateur et le dénominateur sont tous deux des polynômes.
Pour additionner ou soustraire des expressions ayant des dénominateurs semblables, il suffit d'ajouter ou de soustraire (selon le signe) les numérateurs, en gardant constant le dénominateur commun.
Si nous devons effectuer une addition ou une soustraction sur des expressions ayant des dénominateurs différents, nous manipulons d'abord les expressions pour qu'elles aient finalement les mêmes dénominateurs.

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Questions fréquemment posées en Addition et Soustraction des Expressions Rationnelles

Comment additionner des expressions rationnelles ?

Pour additionner des expressions rationnelles, on trouve un dénominateur commun, puis on additionne les numérateurs tout en conservant ce dénominateur.

Comment soustraire des expressions rationnelles ?

Pour soustraire des expressions rationnelles, on trouve un dénominateur commun, puis on soustrait les numérateurs tout en conservant ce dénominateur.

Que faire si les dénominateurs sont différents ?

Si les dénominateurs sont différents, il faut trouver le plus petit commun multiple (PPCM) des dénominateurs pour les rendre identiques avant d'effectuer l'opération.

Quel est le rôle du PPCM dans l'addition et la soustraction ?

Le PPCM facilite l'addition et la soustraction des expressions rationnelles en rendant les dénominateurs identiques, simplifiant ainsi les calculs.

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