Il est plus probable que tu penses à la vitesse du ventilateur en termes de nombre de tours circulaires complets qu'il effectue pendant les quelques secondes où tu le regardes. Lorsque tu augmentes la vitesse du ventilateur, il fait beaucoup plus de tours dans le même laps de temps. Ce concept de vitesse - voyager en cercle plutôt qu'en ligne - est appelé vitesse angulaire.
Fig. 1 - Ventilateur de plafond utilisé pour démontrer la vitesse angulaire.
Vitesse angulaire et fréquence
Comme son nom l'indique, la vitesse angulaire est liée à la vitesse à laquelle l'angle change, car les angles s'ouvrent en forme de cercle.
La vitesseangulaire est la vitesse à laquelle un objet tourne autour d'un angle central par rapport au temps.
La vitesse angulaire est souvent aussi appelée vitesse angulaire, bien qu'il y ait une petite mais importante différence entre les deux. Voir la section ci-dessous intitulée"Différence entre la vitesse angulaire et la vélocité" pour plus d'explications.
En général, la fréquence est définie comme la fréquence à laquelle quelque chose se produit sur une période de temps particulière, généralement une seconde en physique. Elle se mesure en cycles par seconde, ou Hertz (Hz). Lorsqu'on parle de mouvement circulaire, la fréquence fait référence au nombre de révolutions ou de rotations par seconde. Cela diffère légèrement de la définition de la fréquence angulaire.
Lafréquence ang ulaire est le degré de rotation en radians qu'un objet effectue par seconde.
Cela signifie que la fréquence angulaire est liée à la fréquence par un facteur d'échelle de \(2\pi\) puisqu'une révolution est égale à \(2\pi\) radians.
Fonctionnellement, la définition de la vitesse angulaire et de la fréquence angulaire représentent la même chose et auront donc la même formule (illustrée ci-dessous dans la section suivante).
Pour plus d'explications sur le mouvement circulaire, consulte notre article intitulé "Mouvement circulaire et gravitation".
Formule de la vitesse angulaire
Toute vitesse, ou vélocité, est mesurée par le rapport entre la quantité de déplacement d'un objet et le temps que prend ce déplacement. Pour la vitesse linéaire, on obtient généralement ce rapport en divisant la distance par le temps. Mais pour la vitesse angulaire, ce n'est pas tant la distance parcourue par un objet qui compte, mais plutôt l'ampleur de la rotation qu'il effectue.
La formule pour trouver la vitesse angulaire ou la vélocité \(\omega\) est le rapport du déplacement angulaire \(\Theta\) au temps \(t\) en secondes : \[\omega=\frac{\Theta}{t}.\]
La mesure de l'angle se fait en radians (et non en degrés). Il est donc utile de se rappeler qu'une révolution complète (qui équivaut à 360 degrés) correspond à \(2\pi\) radians.
Fig. 2 - Cercle tournant autour d'un angle de \(\Theta\) radians.
Unité de vitesse angulaire
Comme toutes les vitesses sont définies par le rapport entre le déplacement d'un objet et le temps, l'unité de mesure de la vitesse est toujours la suivante
\[\text{speed}=\frac{\text{unité de déplacement}}{\text{unité de temps}}.\]
Ainsi, pour la vitesse angulaire ou la vélocité, les unités seront les radians par seconde ou rad/sec.
Différence entre la vitesse angulaire et la vélocité
La différence entre la vitesse angulaire et la vitesse angulaire est la même que la différence entre la vitesse linéaire et la vitesse linéaire. Dans les deux cas, la vitesse n'est pas considérée comme un vecteur. Il s'agit simplement d'une grandeur qui n'est pas associée à une direction. Mais la vitesse est un vecteur. Elle possède à la fois une magnitude et une direction.
Pour les mouvements circulaires, la direction qui te concerne est le sens des aiguilles d'une montre et le sens inverse des aiguilles d'une montre. Si l'on considère qu'il s'agit de directions, cela signifie aussi que les choses peuvent se déplacer dans un sens négatif. Pour la vitesse angulaire, il n'y a pas de valeur négative. Elle représente simplement la vitesse à laquelle un objet tourne sur le cercle dans n'importe quelle direction. Mais la vitesse angulaire est positive si l'objet se déplace le long de l'axe de rotation. La direction opposée à l'axe de rotation sera négative.
Souvent, l'axe de rotation est déterminé par la règle de la main droite. Pour en savoir plus sur la règle de la main droite, consulte notre article intitulé "Couple et accélération angulaire".
Différence entre la vitesse angulaire et la vitesse linéaire
Repense à l'exemple initial du ventilateur de plafond pour te faire une idée de la vitesse angulaire. Regarde une pale du ventilateur. Est-ce que toute la pale a la même vitesse angulaire ? Ou bien l'extrémité de la pale est-elle plus rapide ou plus lente que le support qui retient la pale au moteur ? L'ensemble de la pale effectue la même rotation angulaire chaque seconde parce que l'ensemble de la pale effectue chaque tour en tant qu'unité. La vitesse angulaire est donc la même sur toute la longueur de la pale du ventilateur.
Mais chaque extrémité de la pale du ventilateur ne parcourt pas la mêmedistance au cours de chaque révolution. Le support qui relie la pale du ventilateur au moteur effectue un cercle assez petit, qui aura une petite circonférence ou une petite distance. L'extrémité de la pale du ventilateur forme un cercle assez grand. Sa circonférence sera plus grande et, par conséquent, l'extrémité de la pale du ventilateur parcourra une plus grande distance dans le même laps de temps. Ainsi, l'extrémité de la pale du ventilateur a une vitesse linéaire plus rapide que le support, bien qu'elle ait la même vitesse angulaire. Rappelle-toi que la vitesse linéaire est définie comme suit
\[\text{speed}=\frac{\text{distance}}{\text{time}}.\]
Mais il existe une relation entre la vitesse angulaire et la vitesse linéaire. Imagine que tu fasses du vélo. Pour voyager à une vitesse linéaire plus rapide, tu dois pédaler plus vite, ce qui augmente également ta vitesse angulaire. Le principal facteur qui détermine la vitesse linéaire d'un objet en rotation est la taille du cercle qu'il parcourt.
La formule pour trouver la vitesse linéaire \(v\) d'un objet tournant dans un cercle de rayon \(r\) et de vitesse angulaire \(\omega\) est la suivante
\[v=r\omega.\]
Voyons un exemple d'utilisation de cette formule et de la formule précédente pour la vitesse angulaire.
Tu roules sur ta bicyclette dont les roues ont un rayon de \(33\, \text{cm}\). Tes roues font \(50\) tours complets en 7 secondes. Trouve la vitesse angulaire des roues et la vitesse linéaire de ton vélo.
Solution
Tout d'abord, il y a quelques conversions à faire pour pouvoir utiliser les formules. Tout d'abord, le déplacement angulaire est censé être mesuré en radians plutôt qu'en tours. Le vélo fait \ (50\) tours, et il y a \(2\pi\) radians par tour. Donc, au total, le vélo a un déplacement angulaire de
\[50(2\pi)=100\pi \N, \text{radians}.\N]
Ensuite, la vitesse se mesure généralement en mètres par seconde, du moins dans la plupart des problèmes de physique. C'est donc l'unité de mesure que tu utiliseras ici. Cela signifie que le rayon des roues de la bicyclette doit être converti de centimètres en mètres. Le rayon de chaque roue est de \(33\, \text{cm}\), soit \(0,33\) mètre.
Passons maintenant à la recherche des vitesses. Il est plus logique de commencer par la vitesse angulaire puisque tu auras besoin de cette valeur dans la formule pour la vitesse linéaire. Rappelle-toi que la formule de la vitesse angulaire est la suivante
\[\omega=\frac{\Theta}{t}.\]
Tu sais que \(\Theta=100\pi\) radians et \(t=7\) secondes. La vitesse angulaire de la bicyclette est donc de
\[\begin{align}\omega &=\frac{100\pi \text{ rad}}{7 \text{ sec}}\ &\approx44.88 \\N,\Ntext{rad/sec}.\Nend{align}\N]
Ensuite, tu dois utiliser cette vitesse pour trouver la vitesse linéaire. La formule dont tu as besoin est la suivante
\N[v=r\omega.\N]
Par souci de précision, tu devrais probablement utiliser la forme exacte de la vitesse angulaire que tu viens de trouver. Ainsi, la vitesse linéaire de la roue de bicyclette est de
\[\begin{align}v&=(0.33\,\text{m})\left(\frac{100}{7}\pi\,\text{rad/sec}\right)\\ &\approx 14.81 \,\text{m/s}.\end{align}\]
Vitesse angulaire - Points clés
- La vitesseangulaire est la vitesse à laquelle un objet tourne autour d'un angle central par rapport au temps.
- La formule pour trouver la vitesse angulaire ou la vélocité \(\omega\) est le rapport du déplacement angulaire \(\Theta\) au temps \(t\) en secondes : \[\omega=\frac{\Theta}{t}.\]
- L'unité de mesure de la vitesse angulaire sera le radians par seconde ou rad/sec.
- La vitesse angulaire n'est pas un vecteur et n'a donc pas de direction. La vitesse angulaire est un vecteur et possède à la fois une magnitude et une direction.
- La vitesse linéaire est liée à la vitesse angulaire par la formule suivante : [v=r\omega\] où la vitesse linéaire est \(v\), le rayon de révolution de l'objet est \(r\), et la vitesse angulaire de l'objet est \(\omega\).
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