Cette expression, appelée loi de la gravitation de Newton, est une loi universelle qui décrit la force gravitationnelle entre deux objets et qui, depuis sa découverte, est un élément essentiel des mathématiques et de la science. Dans cet article, nous allons approfondir le sujet de la loi de la gravitation de Newton, en abordant sa définition, sa formule et des exemples de son application.
La loi de la gravitation de Newton : définition
La loi de Newton sur la gravitation est définie comme suit :
La force d'attraction gravitationnelle qui existe entre deux particules quelconques de l'univers est directement proportionnelle au produit des masses des particules et inversement proportionnelle au carré de la distance entre leurs centres.
À partir de cette définition, tu peux constater deux choses :
Une augmentation de la masse de l'une ou l'autre des particules entraînera une augmentation de l'ampleur de la force gravitationnelle entre elles, car la force gravitationnelle entre deux particules est directement proportionnelle au produit de leurs masses. De même, une diminution de la masse de l'une ou l'autre des particules entraînera une diminution de l'ampleur de la force gravitationnelle entre elles.
Une augmentation de la distance entre les deux particules entraînera une diminution de l'ampleur de la force gravitationnelle entre elles. En effet, la force gravitationnelle est inversement proportionnelle à la distance qui les sépare. De même, une diminution de la distance entre les deux particules entraînera une augmentation de l'ampleur de la force gravitationnelle entre elles.
Il est important de noter que le terme "particule" n'est pas utilisé pour désigner un objet de la taille d'un atome, mais plutôt pour désigner tout objet ayant une masse. Une particule peut être une planète, il ne s'agit pas nécessairement d'un objet de petite taille.
La loi de Newton sur la gravitation est aussi souvent appelée loi de Newton sur la gravitation universelle. En effet, cette loi peut être appliquée n'importe où dans l'univers, et elle restera valable.
Loi de Newton sur la gravitation : équation
D'après la définition de la loi de la gravitation de Newton, l'équation est la suivante :
\[ F_g \propto m_1m_2 \qquad \text{ et } \qquad F \propto \frac{1}{r^2}.\].
En les combinant, on obtient ce qui suit :
\[F_g \propto \frac{m_1m_2}{r^2}.\]
Ce résultat est ensuite multiplié par la constante gravitationnelle universelle, \(G\), pour obtenir l'équation que nous utilisons pour représenter la loi de la gravitation de Newton :
\[ F_{g} = G\frac{m_1m_2}{r^{2}},\]
où :
\(F_g\) est la force d'attraction gravitationnelle entre deux particules.
\(G\) est la constante gravitationnelle universelleavec \(G = 6.674 \times 10^{-11} \text{N} \cdot \text{m}^{2} /\text{kg}^{2}\).
\(m_1\) et \(m_2\) sont les masses des particules.
\(r\) est la distance entre les centres des deux particules.
Cette équation est également connue sous le nom de loi de l'inverse du carré. Elle est appelée ainsi parce que la force d'attraction gravitationnelle est inversement proportionnelle au carré de la distance entre les centres des deux particules.
Une autre équation bien connue de la loi des carrés inversés est la suivante :
\[g = G\frac{M_E}{r^2},\]
où :
- \N(g\N) est la valeur de l'accélération gravitationnelle de la chute libre (qui est approximativement de \N(9,81\N, \Ntext{m/s}^2\N) pour la Terre).
- \N(G\N) est la constante gravitationnelle universelle.
- \(M_E\) est la masse de la Terre.
- \(r\) est la distance entre le centre de la Terre et un point situé au-dessus de sa surface.
Cette équation permet de calculer la valeur de \(g\) en tout point situé au-dessus de la surface de la Terre. Elle est dérivée de la loi de la gravitation de Newton.
Tout d'abord, mets les deux équations suivantes à égalité :
\[F_g = mg \qquad \text{and} \qquad F_g = G\frac{m_E}{r^2}.\N].
Par conséquent
\[ mg = G\frac{mM_E}{r^2}.\]
Annule les termes similaires
\[ \cancel{m}g = G\frac{\cancel{m}M_E}{r^2},\]
pour obtenir l'équation finale
\[ g = G \frac{M_E}{r^2}.\]
Lorsque tu travailles avec cette équation, il est important de noter que \(r\) est le rayon de la Terre plus la hauteur au-dessus de la surface de la Terre.
\N- r = R_E + h.\N]
Cette équation peut également être utilisée pour calculer la valeur de l'accélération gravitationnelle libre des autres planètes. Il suffit d'utiliser la masse et le rayon de l'autre planète à la place de ceux de la Terre.
Sache que la force gravitationnelle existe toujours entre les particules et qu'elle est indépendante du milieu qui sépare les deux particules. Cela signifie que les particules pourraient être immergées dans l'eau ou suspendues dans le vide et que la force d'attraction gravitationnelle entre elles ne changerait pas tant que la distance qui les sépare reste constante.
La loi de la gravitation de Newton sous forme de vecteur
La loi de la gravitation de Newton peut également être représentée sous forme de vecteur. Cette forme est essentiellement la même que l'équation de la section précédente, mais on lui donne une direction définie par un vecteur unitaire, \(\overrightarrow{r}_{12}\).
Fig. 1 - Diagramme vectoriel montrant la force \(\overrightarrow{F}_{12}\) exercée par \(m_1\) sur \(m_2\), dans la direction négative du vecteur unitaire \(\overrightarrow{r}_{12}\).
Le vecteur unitaire est calculé selon \(\overrightarrow{r}_{12} = \overrightarrow{r}_1-\overrightarrow{r}_2\) et il est dirigé de la particule \(1\N) vers la particule \N(2\N). La force gravitationnelle exercée sur la particule \N(2\N) par la particule \N(1\N) est donc :
\[ \N-overrightarrow {F_{12}} = - G\Nfrac{m_1 m_2}{r^2} \overrightarrow {r}_{12}.\]
Note le signe négatif. Dans ce cas, la direction positive s'éloignerait de la particule 1, mais comme la particule 2 est attirée par la particule 1, la force gravitationnelle exercée sur la particule 2 est dirigée vers la particule 1 et est donc dans la direction négative.
En appliquant la troisième loi de Newton, tu verras que \(\overrightarrow{F_{21}}\) (c'est-à-dire la force exercée par la particule 2 sur la particule 1) est égale en magnitude mais de direction opposée à \(\overrightarrow{F_{12}}\). Ceci est illustré ci-dessous :
\[\N-overrightarrow{F_{21}} = - G\frac{m_1m_2}{r^2} \overrightarrow {r}_{21} .\]
Tu sais que \(\overrightarrow{r}_{21} = \overrightarrow{r}_2 - \overrightarrow{r}_1\) et que \(\overrightarrow{r}_{12} = \overrightarrow{r}_1-\overrightarrow{r}_2\) donc on peut conclure que :
\[ \N-overrightarrow{r}_{21} = -\N-overrightarrow{r}_{12}\N].
et si l'on substitue \(-\Noverrightarrow{r}_{12}\N) à l'équation de \N(\Noverrightarrow{F}_{21}\N) et que l'on simplifie, on obtient ce qui suit :
\[ \begin{align}\overrightarrow{F_{21}} & = - G\frac{m_1m_2}{r^2}\left( -\overrightarrow {r}_{12}\right) \\COPY00 &= G\frac{m_1 m_2}{r^2} \N-overrightarrow {r}_{12}, \Nend{align}\N]
donc
\[ \N-overrightarrow{F_{21}} = -\N-overrightarrow{F_{12}} .\N]
Loi de Newton sur la force gravitationnelle
Les exemples suivants détaillent comment on peut calculer la force gravitationnelle à l'aide de la loi de la gravitation de Newton.
La distance entre un vaisseau spatial et un astéroïde est de \(1,8\, \text{km}\). Calcule la force gravitationnelle entre eux si le vaisseau spatial a une masse de \(14000\, \text{kg}\) et l'astéroïde a une masse de \(8000\, \text{kg}\). Soit la valeur de la constante de gravitation universelle \N(6.67\Nfois 10^{-11}\N, \Ntext{N} \cdot \Ntext{m}^2 \N{/km}^2 \N).
Fig. 2 - Schéma d'un vaisseau spatial et d'un astéroïde.
Solution :
ÉTAPE 1 : Convertis toutes les valeurs en unités SI.
\N- 1.8\N, \Nmathrm{km} = 1800\N, \Nmathrm{m}\N]
ÉTAPE 2 : Substitue les valeurs dans l'équation de la force gravitationnelle et simplifie pour obtenir la valeur de \(F_g\).
\[ \begin{align}F_g & = G \frac{m_1m_2}{r^2} \\N- & = (6.67 \N- fois 10^{-11} )\Nfrac{(14000)(8000)}{(1800)^2} \N-& = 2,31 \N- fois 10^{-9} \N, \Ntext{N}\Nend{align}\N]
La force gravitationnelle entre le vaisseau spatial et l'astéroïde est donc égale à \N(2,31 \Ntimes 10^{-9} \N ; \Ntext{N}\N).
Que se passe-t-il si l'on te demande de calculer l'effet net de deux particules sur une autre ? Dans ces scénarios, tu dois utiliser la forme vectorielle de la loi de la gravitation de Newton.
Trois balles de hockey sont placées aux coins d'un triangle rectangle, comme indiqué ci-dessous. Le triangle a des longueurs de côté \(m = 0,05\, \text{m, } n = 0,12\, \text{m,}\) et \(p = 0,13\, \text{m}\). Si chaque boule a une masse de \(450\, \mathrm{g}\), calcule la magnitude du vecteur de force gravitationnelle agissant sur la boule \(2\). Soit \N(G = 6,67 \Nfois 10^{-11}\N, \Ntext{N} \Ncdot \Ntext{m}^2 \N{/km}^2 \N).
Fig. 3. Diagramme montrant trois balles de hockey placées sur les coins d'un triangle rectangle.
Solution :
ÉTAPE 1 : Commence par convertir toutes les unités en unités SI.
\N[450\N, \Nmathrm{g} = 0,45\N, \Nmathrm{kg} \N]
ÉTAPE 2 : Calcule d'abord la force exercée par la bille \(1\) sur la bille \(2\).
\[ \begin{align}\overrightarrow {F_{12}} & = G\frac{m_1 \;m_2}{r^2} \hat{r}_{12} \N- & = (6,67 \Nfois 10^{-11}) \Nfrac{(0,450)(0,450)}{(0,05)^2} \\N- & = 5,4 \N- fois 10^{-9} \N-, \N-text{N} \N-END{align}\N]
ÉTAPE 3 : Calcule ensuite la force exercée par la bille \N(3\N) sur la bille \N(2\N).
\[ \begin{align}\overrightarrow {F_{32}} & = G\frac{m_2 \;m_2}{r^2} \hat{r}_{32} \N- & = (6,67 \Nfois 10^{-11}) \Nfrac{(0,450)(0,450)}{(0,12)^2} \\N- & =9.38 \N- fois 10^{-10} \N-, \N-text{N} \N-END{align}\N]
ÉTAPE 4 : Calcule la force nette sur la balle \(2\).
Étant donné que les forces \(\Noverrightarrow{F_{12}}\) et \Noverrightarrow{F_{32}}\) sont dirigées le long des arêtes d'un triangle rectangle, la force nette qu'elles exercent sur la bille 2 peut être calculée à l'aide du théorème de Pythagore.
\N-[\N-{align}F & = \sqrt{(F_{12})^2 + (F_{32})^2} \\N-& = \sqrt{(5.4 \N- fois 10^{-9})^2 + (9.38 \N- fois 10^{-10})^2} \N-& =5.48 \N- fois 10^{-9} \N, \Ntext{N}\Nend{align}\N]
L'ampleur de la force nette agissant sur la bille 2 en raison de la bille 1 et de la bille est égale à \N(5,48 \Nfois 10^{-9} \N, \Ntext{N}\N).
D'autres exemples pourraient impliquer la Terre ou le soleil et l'utilisation de leurs rayons et masses respectifs. Dans ces cas-là, tu obtiendras normalement une grande réponse.
Un satellite de masse \(680 \, \mathrm{ kg} \) orbite autour de la Terre à une hauteur de \(2700 \, \mathrm{ km} \) au-dessus de la surface de la Terre. Quelle est la force gravitationnelle entre la Terre et le satellite ? Prends la masse de la Terre comme étant \N(5.98\Nfois 10^{24}\N,\Ntext{ kg}\N) et le rayon comme étant \N(6.38\Nfois 10^{6}\N, \Nmathrm{ m}\N).
Fig. 4 - Diagramme représentant la Terre et le satellite.
Solution :
ÉTAPE 1 : Convertir toutes les unités en unités SI.
\N[ 2700\N, \Ntext{km} = 2700 \Nfois 10^3 \N, \Ntext{m}\N]
ÉTAPE 2 : Substitue les valeurs dans l'équation de la force gravitationnelle et calcule l'ampleur de la force.
\[ \begin{align}F_g & = G \frac{m_1m_2}{r^2} \\N- & = (6.67 \N- fois 10^{-11}) \N-{frac{(680)(5.98 \N- fois 10^{24})}{\N- gauche ((2700 \N- fois 10^3) + (6.38 \N- fois 10^{6}) \N- droite)^2} \\N-& = 3289.76 \N-, \N-text{N}\N-end{align}\N]
La force gravitationnelle entre la Terre et le satellite est donc égale à \(3289,76 \ ; \text{N}\).
Limites de la loi de Newton sur la gravitation universelle
Comme c'est le cas pour beaucoup de choses dans la vie, la loi de la gravitation universelle de Newton n'est pas parfaite.
La loi ne s'applique qu'aux corps rigides dans des cadres de référence inertiels, ce qui signifie qu'elle ne s'applique que lorsque les lois de Newton sont vraies. Elle ne peut également s'appliquer qu'à des corps ponctuels.
Dans les cas où la distance entre les particules atteint une magnitude de \(10^{-9} \,\text{m}\) et plus petite ou lorsque les particules se déplacent à des vitesses élevées, comparables à la vitesse de la lumière, la loi devient inefficace et la loi de la gravitation de Newton ne doit pas être appliquée.
La loi de la gravitation de Newton - Principaux enseignements à retenir
- La loi de la gravitation de Newton est la suivante : l'ampleur de la force gravitationnelle entre deux particules est directement proportionnelle au produit des masses des deux particules.
- L'ampleur de la force gravitationnelle entre deux particules est inversement proportionnelle au carré de la distance entre les deux particules.
- La formule de la loi de la gravitation de Newton est la suivante : \[F_g = G\frac{m_1m_2}{r^2}.\]
- La forme vectorielle de la loi de la gravitation de Newton est : \[\N-overrightarrow {F_{12}} = - G\Nfrac{m_1 \N;m_2}{r^2} \Nhat{r}_{12}.\N] où :
- \(\overrightarrow{F_{12}}\) est la force exercée par la particule \(1\) sur la particule \(2\).
- \(\hat{r}_{12}\) est le vecteur unitaire dans la direction de la particule \(1\) à la particule \(2\).
- La loi de Newton sur la gravitation devient inefficace lorsque la distance entre les particules est inférieure à \(10^{-9}\N, \text{m}\N).
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