Qu'est-ce que la modélisation mathématique ?
Lamodélisation math ématique sert à décrire un système à l'aide de concepts et d'un langage mathématiques. La description qui en résulte est appelée modèle. Un modèle est souvent une abstraction simplifiée de la réalité.
La mécanique traite du mouvement et de l'action des forces agissant sur les objets. En mécanique, il est courant de modéliser le mouvement ou l'impact des forces sur les objets. Prenons un exemple.
Considérons le mouvement d'une balle que l'on laisse tomber d'une certaine hauteur. En réalité, de multiples forces agissent sur la balle. Il s'agit notamment de la force de gravité qui tire la balle vers la surface de la Terre, de la résistance de l'air qui agit sur la balle et aussi de l'attraction gravitationnelle d'autres objets et pas seulement celle de la Terre. En mécanique, le mouvement de la balle est souvent modélisé de manière simplifiée en ne considérant que l'accélération de la balle due à la gravité.
Tu te demandes peut-être pourquoi cette simplification a du sens. La réponse est qu'elle est logique parce que l'impact de toutes les autres forces agissant sur la balle est probablement négligeable par rapport à la gravité de la Terre qui l'attire vers le bas.
Si nous simplifions le mouvement de la balle en ne considérant que l'effet de la résistance de l'air et en ignorant l'accélération due à la gravité, cela n'aurait pas de sens et ne nous aiderait pas vraiment à modéliser avec précision le mouvement de la balle.
Hypothèses de modélisation
Pour construire les modèles mathématiques utilisés en mécanique, il faut souvent faire des hypothèses. Par exemple, dans l'exemple précédent, l'effet de la résistance de l'air est négligeable.
Les hypothèses de modélisation nous permettent de simplifier les problèmes du monde réel et de les analyser à l'aide de techniques mathématiques connues.
Il est nécessaire de noter que les hypothèses de modélisation peuvent affecter la convivialité et la validité d'un modèle. Par exemple, si nous modélisons le mouvement d'une plume qui tombe au lieu d'une balle qui tombe, il ne serait pas approprié d'ignorer les effets du vent et de la résistance de l'air.
Hypothèses courantes en mécanique
Voici quelques modèles couramment utilisés et leurs hypothèses de modélisation en mécanique. Il est bon de se familiariser avec chacun d'entre eux.
Modèle | Hypothèses de modélisation |
Particule - Les dimensions de l'objet considéré sont négligeables. |
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Tige - Lesdimensions de l'objet sont négligeables. |
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Lamine - objet dont la surface est large mais l'épaisseur négligeable, comme une feuille de papier. |
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Corps uniforme - la masse du corps est répartie uniformément. |
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Objet léger - la masse de l'objet est faible par rapport à d'autres masses, comme une corde ou une poulie. |
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Corde inextensible - une corde qui ne s'étire pas sous l'effet d'une charge. |
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Surface lisse - surface sans rugosité, de sorte que le frottement est négligeable. |
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Surface rugueuse - si une surface n'est pas lisse, elle est considérée comme rugueuse. |
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Fil métallique - mince longueurrigide de métal. |
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Poulie lisse et légère - toutes les poulies que tu considères seront lisses et légères. |
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Perle - particule percée d'un trou permettant de l'enfiler dans un fil ou une ficelle. |
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Piquet - support auquel un corps peut être suspendu ou reposé. |
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Résistance à l'air - résistance subie par un objet lorsqu'il se déplace dans l'air. |
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Gravité - laforce d'attraction entre tous les objets. L'accélération due à la gravité est notée g, et g = 9,8 m/s², sauf indication contraire. |
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Hypothèses - Principaux enseignements
La modélisation mathématique permet de décrire un système à l'aide de concepts et d'un langage mathématiques. La description qui en résulte est appelée modèle. Un modèle est souvent une abstraction simplifiée de la réalité.
Pour construire les modèles mathématiques utilisés en mécanique, il faut souvent faire des hypothèses. Les hypothèses de modélisation nous permettent de simplifier les problèmes du monde réel et de les analyser à l'aide de techniques mathématiques connues.
Les hypothèses de modélisation peuvent affecter la facilité d'utilisation et la validité d'un modèle. Des hypothèses incorrectes ou fallacieuses peuvent rendre le modèle inefficace.
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