Définition de l'élasticité
L'élasticité est une propriété physique particulière que l'on retrouve partout. Les élastiques sont élastiques (évidemment), les ressorts sont élastiques, le manche d'un arc est élastique, le manche d'un club de golf... la liste est longue. Mais qu'est-ce que toutes ces choses ont en commun ? Qu'est-ce que l ' élasticité ?
L'élasticité est la capacité d'un objet à résister aux forces de déformation et à reprendre sa forme initiale.
Prends l'exemple d'une règle en plastique, en fait, si tu en as une sous les yeux, c'est encore mieux ! Il est facile de plier un peu la règle, mais plus tu la plies, plus il devient difficile de la plier davantage. C'est la résistance de la règle à la déformation. Maintenant, si tu lâches la règle, elle redevient droite - c'est son retour à sa forme d'origine.
Pensons maintenant à un biscuit de ton placard. Il résiste un peu à la déformation, mais il se casse en deux - il ne reprend pas sa forme initiale et n'est pas du tout élastique.
C'est assez simple, non ? N'hésite pas à faire la même chose avec d'autres objets que tu trouveras dans la maison (en faisant attention à ne rien casser) pour voir lesquels ont des propriétés élastiques et lesquels n'en ont pas !
Tu as maintenant une bonne idée de ce qu'est l'élasticité, mais quel est son rapport avec l'énergie potentielle ?
Énergie potentielle élastique et travail effectué sur des cordes et des ressorts élastiques
Considérons un élastique, qui est une sorte de corde élastique. Encore une fois, si tu en as un sous les yeux, c'est encore mieux ! Si tu prends un élastique et que tu l'étires doucement, puis que tu le relâches, que se passe-t-il ? Bien sûr, il se remet en place. Tout le monde a vu cela quand il jouait avec des élastiques quand il était enfant (ou adulte). L'élastique a bougé quand on l'a lâché, en fait, il a bougé assez vite, alors d'où vient l'énergie cinétique ?
Lorsque tu soulèves un rocher du sol, tu lui appliques une force pour le soulever et il acquiert de l'énergie potentielle gravitationnelle. Il en va de même pour les objets élastiques. Lorsque tu les étires, tu leur appliques une force et, à mesure qu'ils sont étirés, ils emmagasinent de l'énergie potentielle élastique. Lorsque l'objet élastique est relâché, l'énergie potentielle élastique se transforme en énergie cinétique, ce qui entraîne un mouvement.
Pour plus d'informations, consulte l'article Énergie cinétique et potentielle.
Rappelle-toi que lorsqu'un objet est soumis à une force, \N(F), sur une distance, \N(d), un travail, \N(W), est effectué sur cet objet. Le travail n'est qu'un nom spécial pour désigner l'énergie qui est transférée à un objet par l'application d'une force.
Tu trouveras plus de détails dans la section Travail effectué par une force.
Ainsi, le transfert d'énergie lorsque tu étires et relâches un élastique ressemble à ceci :
\[\texte{Ton énergie }\xrightarrow{\texte{Travail effectué}} \text{Énergie potentielle élastique} \xrightarrow{\text{Bande lâchée}} \xrightarrowrow{text{Bande lâchée}} \xrightarrow{Kinetic Energy}\]
Tu as déposé un peu de ta propre énergie dans l'élastique pour qu'il émette un ping lorsque tu le lâches. C'est plutôt cool, non ?
Tu te souviens peut-être que l'équation du travail est la suivante
\N- [W = Fd,\N]
où \(W\) est en joules, \(F\) est en newtons, et \(d\) est en mètres. La quantité d'énergie obtenue par l'élastique dépend donc de deux facteurs : la distance à laquelle il est étiré et la force totale qui lui est appliquée.
Une chose importante à retenir à propos des objets élastiques est que plus ils acquièrent d'énergie potentielle élastique, plus ils veulent revenir à leur position initiale. Tu peux le sentir dans l'élastique, plus il est étiré, plus il devient difficile de l'étirer encore plus. C'est exactement la même chose avec les ressorts. Comment cela se fait-il ? Eh bien, c'est à cause d'une force spéciale appelée tension.
La tension dans les cordes et les ressorts élastiques
Qu'est-ce que la tension ? Non, ce n'est pas seulement la sensation que tu ressens lorsque tu as une conversation vraiment gênante. C'est en fait une propriété importante de la physique.
Latension est la force transmise par un objet tel qu'une corde ou une ficelle qui agit contre les forces qui l'éloignent.
Prends une corde ordinaire, non élastique. Lorsque tu l'écartes avec tes mains, elle se tend, tu as presque l'impression qu'elle tire contre toi. Eh bien, c'est parce que c'est le cas. La troisième loi de Newton nous dit que toute action a une réaction égale et opposée. La tension est la réaction de la corde lorsque tu essaies de la séparer, elle agit contre toi, vers le centre de la corde.
Fig. 1 - Tension dans une corde
Finalement, si la tension dans la corde devient suffisamment forte, la corde se rompt. Si tu as déjà tiré sur un biscuit de Noël, tu as vu ce concept en action.
Alors, quel est le rapport avec les objets élastiques comme les cordes élastiques et les ressorts ? Les objets élastiques sont spéciaux car, contrairement à la corde, une fois qu'ils sont tendus, ils peuvent être écartés encore plus. Plus ils sont écartés (ou parfois, dans le cas d'un ressort, plus il est comprimé), plus la force de tension est importante.
C'est pourquoi, en résumé, plus tu étires un objet élastique, plus il devient difficile de l'étirer davantage. Alors, qu'est-ce qui se passe avec les cordes et les ressorts élastiques ? Voyons cela de plus près.
Relations et différences entre les cordes élastiques et les ressorts
Les notions d'élasticité abordées jusqu'à présent peuvent s'appliquer aussi bien aux cordes élastiques qu'aux ressorts, mais il existe des différences entre les deux qu'il est important de garder à l'esprit lorsque l'on aborde des problèmes.
Cordes élastiques
Une corde élastique est exactement ce qu'elle semble être. Comme une corde ordinaire, une corde élastique est complètement flasque jusqu'à ce qu'elle soit tendue, mais contrairement à une corde ordinaire, une corde élastique peut reprendre sa forme initiale après avoir été déformée et peut emmagasiner de l'énergie potentielle élastique.
Un élastique est essentiellement un ressort élastique en boucle. Ce qu'il faut retenir, c'est qu'une corde élastique ne peut emmagasiner de l'énergie élastique qu'en étant étirée, et non comprimée.
Tu te demandes peut-être alors quel type d'objet peut stocker de l'énergie potentielle élastique en étant comprimé. Eh bien, tu es sur le point de le découvrir.
Les ressorts
Les ressorts, tout comme les cordes élastiques, sont des objets capables de stocker de l'énergie potentielle élastique, mais ils diffèrent dans la façon dont cette énergie est stockée. Les ressorts sont généralement des bobines hélicoïdales de métal et peuvent être construits de manière à stocker l'énergie potentielle élastique lorsqu'ils sont étirés (ressorts de traction) ou lorsqu'ils sont comprimés (ressorts de compression).
Les ressorts de compression, comme tu peux l'imaginer, sont généralement utilisés pour éloigner les objets, et les ressorts de traction sont généralement utilisés pour rapprocher les objets. Les forces dans un ressort peuvent être un peu complexes à considérer, mais l'important est que, comme pour une corde élastique, la force axiale (le long de l'axe central) exercée par le ressort agit pour lui redonner sa forme initiale. C'est ce qu'on appelle la force de rappel.
Fig 2 - Forces dans les ressorts de traction et de compression
Mieux encore, il existe une jolie petite relation appelée loi de Hooke qui peut être utilisée pour trouver la valeur de cette force :
\[F = -kx,\]
où \(F\) est la force réparatrice totale exercée par le ressort en newtons, \(k\) est la constante du ressort en newtons par mètre, et \(x\) est le déplacement du ressort par rapport à sa forme originale en mètres.
La constante de ressort d'un ressort peut être considérée comme une mesure de la rigidité de ce ressort particulier - sa résistance à la déformation. Ce concept de rigidité du ressort peut également être appliqué aux problèmes des cordes élastiques.
La loi de Hooke est une relation très utile. Heureusement, nous lui avons consacré une explication complète - alors va jeter un coup d'œil si tu veux en savoir plus !
Cordes et ressorts élastiques verticaux
Maintenant que nous avons couvert les bases des cordes et des ressorts élastiques, examinons un scénario un peu plus spécifique.
Nous sommes au dix-huitième siècle et tu veux peser des objets. Tu regardes les options disponibles pour les appareils de pesage et tu te dis, hmmm, je peux faire mieux. Comment pourrais-tu mettre à profit tes connaissances sur les ressorts ?
Eh bien, Richard Salter s'est dit pourquoi ne pas suspendre des objets à un ressort ? Il a suspendu des objets à un ressort de traction et, comme prévu, les objets les plus lourds ont coulé plus bas que les objets les plus légers. Il s'agit d'une extension naturelle de la loi de Hooke : le poids de l'objet agit vers le bas et ne change pas, et la tension du ressort agit vers le haut et augmente au fur et à mesure que l'objet s'enfonce. Une fois que la force de tension du ressort devient égale au poids de l'objet, le système est en équilibre et l'objet et le ressort restent suspendus.
Tout ce qu'il avait à faire, c'était de mesurer l'ampleur de la déformation du ressort, et hop, il pouvait calculer la masse de l'objet. Prenons un exemple pour voir comment il a procédé.
Un objet est suspendu à une balance à ressort dont la constante de ressort est de \(80\, \text{N}\,\text{m}^{-1}\). Le ressort est déformé de \(6\,\text{cm}\). Quelle est la masse de l'objet, en supposant que la masse du ressort est négligeable ?
Solution :
Tout d'abord, considère la loi de Hooke et substitue les valeurs connues pour trouver la force du ressort à l'équilibre. N'oublie pas que le déplacement doit être exprimé en mètres et non en centimètres. En remplaçant ensuite l'équation, tu obtiens
\[\N- Début{align} F &= -kx \N &= -80(-0.06) \N &= 4.8 \N, \Ntext{N}. \N-END{align}\N-]
Le déplacement du ressort est négatif puisqu'il est descendant.
Puisque la force du ressort est \(4,8 \N,\Ntext{N}\N) lorsque le ressort et l'objet sont en équilibre, le poids de l'objet doit être d'une magnitude égale (et de direction opposée), ou en termes de variables :
\[W = -4,8 \N, \Ntext{N}.\N].
Maintenant, en supposant que la mesure a été prise près de la surface de la Terre, l'accélération due à la gravité sera de \(-9,81 \, \text{m}\,\text{s}^{-2}\), de sorte que la masse peut être calculée en utilisant la deuxième loi de Newton :
\[\begin{align} F &= ma \NW &= mg \N4.8 &= m (-9.81), \Nend{align} \]
ce qui donne
\N- [m = 0,49 \N, \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N{kg} ,\N]
où la réponse a été arrondie à deux décimales.
C'est ainsi que tu peux considérer des cordes et des ressorts élastiques à la verticale ; en prenant en compte les effets de la gravité. Mais l'histoire ne s'arrête pas là. Ce scénario ne prend en compte que la position du ressort en équilibre, mais à quoi ressemble le mouvement d'un ressort ou d'une corde élastique lorsqu'il s'approche de ce point ? Dans certains scénarios, le ressort s'étire jusqu'à ce qu'il atteigne ce point et s'arrête, mais dans d'autres, il rebondit de haut en bas avant de se stabiliser. C'est ce que nous appelons l'oscillation. Voyons cela de plus près.
Période de temps des cordes et des ressorts élastiques
Sans entrer dans les détails, un ressort ou une corde élastique oscille lorsque la vitesse de son étirement (ou de sa compression, dans le cas des ressorts de compression) est trop importante. En effet, la force croissante du ressort ou de la corde ne parvient pas à ralentir l'étirement jusqu'à l'arrêter au moment où il atteint la position d'équilibre. Le ressort rebondit alors de haut en bas autour du point d'équilibre jusqu'à ce qu'il finisse par s'y arrêter.
Lorsque ce phénomène se produit, on dit que le système de ressort et de masse est sous-amortis.
La période d'oscillation d'un système à ressort est une propriété qui peut être importante à trouver dans les applications d'ingénierie. Heureusement, il existe une petite équation pratique qui peut être utilisée pour trouver cette propriété :
\[T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}},\]
où \(m\) est la masse à l'extrémité du ressort en kilogrammes, \(k\) est la constante du ressort en newtons par mètre, et \(T\) est la période de temps de l'oscillation en secondes.
De façon peut-être contre-intuitive, la gravité n' affecte pas la période d'oscillation, mais seulement la position d'équilibre - c'est parce qu'il s'agit d'une force constante vers le bas, qui ne change pas en fonction de la position du ressort.
Prenons un exemple pour nous entraîner un peu.
Une masse de \(5\, \text{kg}\) attachée par le haut à un ressort de tension avec une constante de ressort \(40\,\text{N}\,\text{m}^{-1}\) est lâchée verticalement vers le bas. Il oscille ensuite avant d'atteindre l'équilibre. Quelle est la période d'oscillation ?
Solution :
Utilise la formule de la période d'oscillation d'un ressort :
\[T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}.\]
Substitue les valeurs connues de \(m\) et \(k\) pour trouver la période de temps, \(T\), ce qui te donne
\N- [\N- Début{align} T &= 2\pi \sqrt{\frac{5}{40}} \N- &=2.22 \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- [\N-]
Ce n'est pas si difficile, n'est-ce pas ? Continuons et examinons d'autres exemples pour nous assurer que tu as tout compris.
Exemples de cordes et de ressorts élastiques
Commençons par une question sur la loi de Hooke.
Une voiture est attachée à un câble élastique, fixé à un mur. Le propriétaire de la voiture veut mesurer la force horizontale maximale que la voiture est capable de générer, il la fait donc tirer contre le câble élastique et mesure son déplacement.
Le câble élastique a une constante de ressort de \(300\, \text{N}\,\text{m}^{-1}\), et une longueur non étirée de \(5\,\text{m}\). La voiture parvient à s'éloigner de \N(16\N,\Ntext{m}\N) du mur. Quelle force horizontale la voiture peut-elle exercer ?
Solution :
Ce problème peut être résolu en utilisant la loi de Hooke, \(F = -kx\). Le déplacement du câble lorsque la voiture et le câble sont en équilibre, \(x\), est la différence entre la distance finale de la voiture par rapport au mur et sa longueur non étirée, donc
\[x = 16-5 = 11\, \text{m}.\]
Maintenant, utilise la loi de Hooke pour calculer la force exercée par le câble lorsque la voiture et le câble sont en équilibre :
\[\N- F &= -300(11) \N &= -3300 \N, \Ntext{N}. \Nend{align}\N]
La force exercée par la voiture est égale et opposée à celle de la corde à l'équilibre, donc la voiture peut exercer \(3300\N, \Ntext{N}\N).
Savais-tu que le saut à l'élastique fonctionne également selon les principes de l'élasticité ? Prenons un autre exemple pour voir comment.
Une personne de masse \(60\,\text{kg}\) attachée à une corde élastique saute d'une falaise. La corde a une constante de ressort de \(50\,\text{N}\,\text{m}^{-1}\), et une longueur non étirée de \(15\,\text{m}\).
Après avoir sauté, la personne oscille avant d'atteindre la position d'équilibre. Pendant l'oscillation, la corde ne se relâche jamais. Suppose que la masse de la corde est négligeable.
a) Quelle était la période d'oscillation de la personne ?
b) Quelle était la longueur de la corde à l'équilibre ?
Solution :
a) La période peut être calculée à l'aide de l'équation :
\[\N- \N- \N- \N{align}} T &= 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \\N- &= 2\pi \sqrt{\frac{60}{50}} \N- &= 6.28\N,\Ntext{s} .\Nend{align}\N]
b) En utilisant la loi de Hooke, \(F=-kx\), on peut trouver le déplacement de la corde à partir de sa position non étirée. La force de la corde à la position d'équilibre est égale et opposée au poids de la personne, ce qui te donne
\N- [\N- Début{align} W &= mg \N- 60(-9.81) \N- 588.6 \N,\Ntext{N}, \NF&= -W \N- 588.6 \N,\Ntext{N}. \N- [end{align}\N]
La force peut être substituée dans la formule de la loi de Hooke avec la constante du ressort pour trouver \(x\N) :
\[\N- 588.6 &= -50x \N- x &= -11.77,\N-text{m} .\N-end{align}\N]
La longueur de la corde à la position d'équilibre est la somme de la magnitude de ce déplacement et de la longueur non étirée de la corde :
\[\N- L &= 15 + 11.77 \N &= 26.77 \N,\Ntext{m}. \Nend{align}\N]
Voilà, une petite introduction aux cordes élastiques et aux ressorts ! Si tu veux vraiment entrer dans les détails de l'élasticité et de la loi de Hooke, pourquoi ne pas jeter un coup d'œil à nos autres explications ?
Cordes et ressorts élastiques - Principaux points à retenir
- Les ressorts et les cordes élastiques sont tous deux des objets élastiques.
- L'élasticité est la capacité d'un objet à résister aux forces de déformation et à reprendre sa forme initiale.
- La loi de Hooke stipule que la force exercée par une corde ou un ressort élastique est proportionnelle à sa déformation : \(F = -kx.\N-)
- La position de repos d'un objet suspendu à une corde élastique ou à un ressort dépend du poids de l'objet et de la rigidité de la corde ou du ressort.
- La période d'oscillation d'une corde ou d'un ressort élastique attaché à une masse peut être calculée à l'aide de la formule suivante : \[T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}. \]
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