Principe de conservation de l'énergie mécanique
Comprenons d'abord ce qu'est l'énergie mécanique.
L'énergie mécanique est la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle d'un système qui peut être utilisée pour effectuer un travail utile.
L'énergie existe sous de nombreuses formes ; cependant, toute énergie peut être classée comme énergie cinétique ou potentielle. La conservation de l'énergie mécanique repose sur le principe de la loi de conservation de l'énergie. Selon cette loi, l'énergie ne peut être ni créée ni détruite ; elle peut seulement être convertie d'une forme à une autre.
Prenons un exemple pour trouver l'énergie mécanique d'un système.
Le pilote d'un avion tire un coup de feu d'un poids de \(0,1\, \mathrm{kg}\) avec une vitesse de \(300\, \mathrm{m{\, s^{-2}}\). Calcule l'énergie mécanique de la grenaille lorsqu'elle se trouve à une hauteur de \(700 \N, \Nmathrm{m}\N) au-dessus du sol.
Solution :
D'après l'énoncé du problème, tu sais que : \(m=0,1\, \mathrm{kg}\) ; \(v=300\, \mathrm{m\,s^{-1}}\) ; \(h=700\, \mathrm{m}\) ; et \(g=9,8\, \mathrm{m\,s^{-2}}\).
Tu veux calculer l'énergie mécanique, qui est la somme des énergies cinétique et potentielle. Ainsi
\[\begin{align} \text{Énergie mécanique} &= \frac{1}{2}mv^2 + mgh \\\N- &= \frac{1}{2} (0.1\N,\mathrm{kg} )(300 \N,\mathrm{m\N,s^{-1}} )^2+(0.1,\mathrm{kg} ) (9,8\, \mathrm{m\, s^{-2}})(700\, \mathrm{m} )\N &=4500\, \mathrm{J} +686\N- \N- \N- \NMathrm{J} \N- &=5186\N, \Nmathrm{J}. \N-END{align} \]
Loi de conservation de l'énergie mécanique
Revenons à l'exemple du début, où tu as lâché la balle depuis la terrasse de ton immeuble.
Avant que tu ne lâches la balle, celle-ci n'est pas en mouvement. L'énergie cinétique de la balle est donc nulle. Elle ne possède que l'énergie potentielle gravitationnelle due à la hauteur.
Lorsque tu lâches la balle, elle commence à se déplacer vers le bas et acquiert de la vitesse. Puisque la balle a de la vitesse, elle a aussi de l'énergie cinétique.
Au fur et à mesure que la balle se rapproche du sol, sa hauteur par rapport au sol diminue, de même que son énergie potentielle. La vitesse de la balle continue d'augmenter à mesure qu'elle descend, tout comme son énergie cinétique.
Lorsque la balle touche finalement le sol, elle n'a plus que de l'énergie cinétique et son énergie potentielle devient nulle.
Qu'observes-tu dans ce cas ? Tu vois que l'énergie potentielle est convertie en énergie cinétique. Dans cette perspective, définissons la loi de conservation de l'énergie mécanique.
Dans un système isolé et sans frottement, l'énergie mécanique totale est toujours conservée. Si l'énergie disparaît sous une forme, elle réapparaît sous une autre forme en quantité équivalente.
Remarque que dans notre exemple de la balle qui tombe, tu as négligé la résistance de l'air au mouvement de la balle sous l'effet de la force gravitationnelle. Si l'on tient compte de la force de frottement, une partie de l'énergie mécanique est convertie en énergie thermique.
Formule de conservation de l'énergie mécanique
Tu sais déjà que l'énergie totale du système se conserve et qu'elle est constante, disons \(C\N). Soit \(\text{KE}_\text{initial}\) et \(\text{PE}_\text{initial}\) les énergies cinétique et potentielle initiales du système, et \(\text{KE}_\text{final}\) et \(\text{PE}_\text{final}\) les énergies cinétique et potentielle finales du système. Selon la loi de conservation de l'énergie mécanique
\[\text{KE}_\text{initial} + \text{PE}_\text{initial} = \text{KE}_\text{final} + \text{PE}_\text{final} = C.\N]
Tu comprendras comment l'énergie totale en tout point est constante dans la prochaine section de cet article.
Équation de conservation de l'énergie mécanique
Voyons pourquoi la balle qui tombe de la terrasse a une énergie constante en tout point de son mouvement. Considère une balle qui tombe librement sous l'effet de la gravité, comme le montre la figure ci-dessous.
Fig. 1 - Boule tombant librement sous l'effet de la gravité
Considérons la balle de masse \(m\) lâchée du point \(A\) à une hauteur \(h\) au-dessus du sol. Voyons l'énergie totale de la balle dans trois cas différents.
Cas 1 :
Au point \(A\), l'énergie potentielle de la balle est de
\[\text{PE}_\text{A}=mgh,\]
et l'énergie cinétique de la balle est
\[\text{KE}_\text{A}=0.\]
Par conséquent, l'énergie totale de la balle au point \(A\) est donnée par
\[\begin {align}\text{PE}_\text{A}+ \text{KE}_\text{A}& =mgh+0\\\N- &=0.\Nend{align} \]
Cas 2 :
Lorsque la balle tombe, son énergie potentielle diminue, mais son énergie cinétique augmente. Soit \(v\) la vitesse de la balle au point \(B\) à une distance \(x\) du point \(A\).
Au point \N(B\N), l'énergie potentielle de la balle est
\[\text{PE}_\text{B}=mg(h-x),\]
et l'énergie cinétique de la balle est
\[\text{KE}_\text{B}=\frac{1}{2}mv^2.\]
Par conséquent, l'énergie totale de la balle au point \(B\) est donnée par
\[\begin {align}\text{PE}_\text{B}+ \text{KE}_\text{B}& =mg(h-x)+\frac{1}{2}mv^2 \\N- &=mgh-mgx+\Nfrac{1}{2}m(2gx) \N- &=mgh-mgx+mgx\N&=mgh.\Nend{align} \]
Notez que lorsque la balle est en mouvement du point \N(A\N) au point \N(B\N), sa vitesse initiale \N(u=0\N, \Nmathrm{m\N,s^{-1}}\N) et le déplacement \N(s=x\N). En le substituant à l'une des équations du mouvement, \N(v^2+u^2=2gs\N), tu obtiens \N(v^2=2gx\N).
Cas 3 :
Lorsque la balle tombe au sol au point \N(C\N), \N(h=0\N). Soit \(v\) la vitesse de la balle lorsqu'elle atteint le sol. L'énergie potentielle de la balle est alors
\[\text{PE}_\text{C}=0,\]
et l'énergie cinétique de la balle est
\[\text{KE}_\text{C}=\frac{1}{2}mv^2.\]
Par conséquent, l'énergie totale de la balle au point \(C\) est donnée par
\[\begin {align}\text{PE}_\text{C}+ \text{KE}_\text{C}& =0+\frac{1}{2}mv^2\ &=\frac{1}{2}m(2gh)\\&=mgh.\Nend{align} \]
Notez que lorsque la balle est en mouvement du point \N(A\N) au point \N(C\N), sa vitesse initiale \N(u=0\N, \Nmathrm{m\N,s^{-1}}\N) et le déplacement \N(s=h\N), qui est la hauteur de l'immeuble. En le substituant à l'une des équations du mouvement, \N(v^2+u^2=2gs\N), tu obtiens \N(v^2=2gh\N).
Dans les trois cas, tu peux voir que l'énergie totale de la balle reste constante (c'est-à-dire qu'elle est toujours \(mgh\) dans ce cas).
Exemples de conservation de l'énergie mécanique
Voyons un exemple basé sur la conservation de l'énergie mécanique pour un corps en chute libre.
Un corps de masse \(2\, \mathrm{kg}\) tombant librement sous l'effet de la gravité met \(6\, \mathrm{s}\) pour atteindre le sol. Calcule les énergies cinétique et potentielle du corps lorsqu'il a parcouru \(3\, \mathrm{s}\).
Solution :
Laissons tomber le corps d'une hauteur \(h\) au-dessus du sol. La vitesse initiale est de \(u=0 \, \mathrm{m\N,s^{-1}}\N), et l'accélération fournie par la gravité est de \(a=g=9.8\N, \mathrm{m\N,s^{-2}}\N). En utilisant l'équation du mouvement
\[s=ut+\frac{1}{2}at^2 ,\]
où \(s\) est le déplacement, tu obtiens
\[\N- h&=(0 \N, \Nmathrm{m\N, s^{-1}})(6 \Nmathrm{s})+\Nfrac{1}{2}(9.8 \Nmathrm{m\N,s^{-2}})(6 \Nmathrm{s})^2\N &=176.4 \Nmathrm{m}.\Nend{align}\N].
D'après la conservation de l'énergie mécanique, tu sais que l'énergie totale du corps est égale à l'énergie potentielle à la hauteur \(176,4 \N, \Nmathrm{m}) (parce qu'initialement, l'énergie cinétique sera nulle). C'est-à-dire
\N- [\N- Début{align} \text{Total energy}&=mgh\\N&=(2\, \mathrm{kg})(9.8\, \mathrm{m\N,s^{-2}})(176.4\N, \mathrm{m})\N&=3457.44\N, \mathrm{J}. \N- [end{align}\N]
Soit \N(v\N) la vitesse du corps lorsqu'il tombe pendant \N(t=3\N, \Nmathrm{s}\N). En utilisant l'équation du mouvement, tu obtiens
\[\N- Début{align}v&=u+at\N- &=0\N, \Nmathrm{m\N,s^{-1}}+(9.8\N, \Nmathrm{m\N,s^{-2}})(3\N, \Nmathrm{s}) \N- &=29.4\N, \Nmathrm{m\N,s^{-1}}.\NFin{align}}\N-]
L'énergie cinétique du corps est \[\N- Début {align}\N-texte{KE}&=\frac{1}{2}mv^2\&=\frac{1}{2}(2\, \Nmathrm{kg})(29.4\Nmathrm{m\N,s^{-1}})^2\N &=864.36\N, \Nmathrm{J}.\NFin{align}\N].
L'énergie potentielle du corps est donc donnée par \N[\N- Début{align} \text{PE} &=\text{Énergie totale} - \text{KE}\ &=3457.44\, \mathrm{J} -864.36\, \mathrm{J} \\&=2593.08\,\mathrm{J}.\end{align}\]
Considérons maintenant un scénario très intéressant lorsque le corps glisse sur un plan incliné.
Un ballon de basket de masse \(0,2\, \mathrm{kg}\) roule sur un plan lisse incliné à l'angle \(30^\circ\) avec l'horizontale. Le ballon de basket part du repos au point \N(B), et atteint le point \N(A) avec une vitesse de \N(2, \Nmathrm{m\N,s^{-1}}). Trouve la distance entre \N(A\N) et \N(B\N).
Solution :
Fig. 2 - Un ballon de basket roulant sur une surface inclinée
Lorsque le ballon de basket descend de \(B\) à \(A\), il y a une diminution de l'énergie potentielle et une augmentation de l'énergie cinétique.
La diminution de l'énergie potentielle est donnée par
\[\begin{align}\text{Decrese in PE}&=mgh\\ &=mgx_m\sin30^\circ \\& =(0.2\, \mathrm{kg})(9.8\, \mathrm{m\,s^{-2}})(x_m\sin30^\circ)\\&=0.98x_m \, \mathrm{J}.\end{align}\]
D'après la figure 2, la distance entre \N(A\N) et \N(B\N) est notée \N(x_m\N) et la distance verticale parcourue par le ballon de basket est \N(x_m\Nsin30^\circ \N). Tu peux donc remplacer \(h=x_m\sin30^\circ \) par \(x_m\sin30^\circ \).
L'augmentation de l'énergie cinétique est donnée par \[\cbegin{align}\text{Augmentation de l'énergie cinétique}&=\frac{1}{2}mv^2-\frac{1}{2}mu^2\\ &=\frac{1}{2}(0.2\, \mathrm{kg})(2\,\mathrm{m\, s^{-1}})^2-\frac{1}{2}(0,2\,\mathrm{kg})(0)^2 \\& =0,4\mathrm{J}.\N- [end{align}\N].
En appliquant la loi de conservation de l'énergie mécanique, tu peux dire que la diminution de l'énergie potentielle est égale à une augmentation de l'énergie cinétique. C'est-à-dire \[\begin{align}\text{Diminution de PE}&=\text{Augmentation de KE}]. \N0,98x_m &=0,4\Nx_m& \Napprox 0,4\N, \Nmathrm{m}\Nend{align} \]
La distance entre \N(A\N) et \N(B\N) est d'environ \N(0,4\N,\Nmathrm{m}\N).
Conservation de l'énergie mécanique - Principaux enseignements
- L'énergie mécanique est la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle d'un système qui peut être utilisée pour effectuer un travail utile.
- Selon la loi de conservation de l'énergie, dans un système isolé et sans frottement, l'énergie mécanique totale est toujours conservée. Si l'énergie disparaît sous une forme, elle réapparaît sous une autre forme en quantité équivalente.
- Tu peux utiliser \[\text{KE}_\text{initial}]. + \text{PE}_\text{initial} = \text{KE}_\text{final} + \text{PE}_\text{final} = C\] formule pour trouver la conservation de l'énergie mécanique.
- L'énergie mécanique totale reste constante en tout point d'un objet en mouvement.
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