Que sont les équations cinématiques ?
La cinématique est, d'une manière générale, l'étude du mouvement. Les équations cinématiques relient le déplacement, la vitesse et l'accélération d'un corps par le biais de dérivées et d'intégrales.
Équations cinématiques de déplacement
Le déplacement d'une particule indique simplement à quel point un point s'est déplacé dans l'espace par rapport à un point d'origine fixe. Cette quantité sera appelée x et est un vecteur plutôt qu'un scalaire puisqu'elle prend en compte la direction dans laquelle la particule se déplace, ainsi que l'ampleur (ou la taille) de ce changement de position.
Unnombre scalaire est une valeur unique qui représente une grandeur ou une quantité. Les nombres scalaires sont utilisés pour décrire les quantités qui n'ont qu'une magnitude et aucune direction, comme la température, la longueur et le temps. Les nombres scalaires sont généralement représentés par des nombres réels, et ils peuvent être ajoutés, soustraits, multipliés et divisés comme n'importe quel autre nombre réel.
Un vecteur est une représentation mathématique d'une quantité qui a à la fois une magnitude et une direction. Les vecteurs sont utilisés pour décrire des quantités physiques telles que la vitesse, la force et le déplacement. Les vecteurs sont représentés par des segments de droite orientés, et ils peuvent être ajoutés, soustraits et multipliés (multiplication scalaire) pour produire de nouveaux vecteurs. La magnitude d'un vecteur peut être représentée par sa longueur, et sa direction peut être représentée par son angle par rapport à un axe de référence.
Fig. 1. Représentation d'un vecteur. Note que la ligne représentant le vecteur (en bleu) a une direction.
Considère qu'une particule est en mouvement le long d'une ligne droite,
Si x > 0, la particule est à droite de l'origine.
Si x < 0, la particule est à gauche de l'origine.
Lorsqu'une particule change de direction au cours de son mouvement, un diagramme de mouvement le long d'une droite numérique peut être esquissé, afin de comprendre le point de départ, le(s) point(s) d'inflexion et le point d'arrivée de la particule dans l'espace.
La différence entre le déplacement et la distance est que la distance est indépendante de la direction (c'est une quantité scalaire), alors que le déplacement considère la position d'une particule par rapport au point d'origine du mouvement, donc en tenant compte de la direction (c'est une quantité vectorielle).
Un objet se déplace avec la fonction de déplacement \(x = 10t^2 -7t+1\) mètres, avec t > 0 secondes.
(a) Quel est le déplacement initial de l'objet ?
(b) Quand l'objet change-t-il de direction ?
(a) Le déplacement initial signifie que le temps est égal à 0. Par conséquent, nous remplaçons 0 par t dans l'équation du déplacement.
\[x = 10(0)^2 -7(0)+1 = 1\]
Le déplacement initial est de 1 mètre (à droite de l'origine).
(b) L'objet change de direction lorsque la valeur de x atteint son maximum, car tout autre point après cela est plus proche de l'origine, ce qui signifie un changement de direction.
Le déplacement maximal est atteint au sommet de l'équation quadratique.
Le sommet est atteint lorsque \(t = \frac{-b}{2a}\), donc lorsque \(t = \frac{7}{2(10)} = 0,35\).
L'objet change donc de direction à t = 0,35 seconde.
Equations cinématiques de la vitesse
La vélocité décrit la vitesse à laquelle un point se déplace dans une certaine direction. En d'autres termes ,
Lavitesse est la façon dont le déplacement de la particule change avec le temps ou le taux de changement du déplacement de la particule.
La vitesse sera désignée par v et \(v = \frac{dx}{dt}\), où t est le temps et x est le déplacement effectué par la particule dans ce laps de temps spécifique. Cela signifie que si nous avons une expression pour x en fonction de t, nous pouvons prendre la dérivée de cette expression pour trouver la vitesse.
L'unité de cette quantité est le déplacement/temps. Si le déplacement est en mètres et le temps en secondes, la vitesse sera en mètres par seconde, ou m/s.
Considère une particule :
Si v > 0, la particule se déplace vers la droite.
Si v < 0, la particule se déplace vers la gauche.
Si v = 0, la particule est immobile. S'il y a un changement de signe de v à cet endroit, la particule a changé de direction.
Si on te pose une question qui demande une valeur de la vitesse, au lieu de la vélocité, il est important de noter que la vitesse, contrairement à la vélocité, ne tient pas compte de la direction du mouvement. En d'autres termes, la vitesse est la variation de la distance dans le temps et la vélocité est la variation du déplacement dans le temps.
Par exemple, si tu marches le long des murs d'une pièce carrée d'un périmètre de 12 m en 36 s, et que tu finis par revenir au point de départ, la distance totale parcourue sera de 12 m mais le déplacement total sera de 0 m, car il n'y a pas de changement entre les positions de départ et d'arrivée. Par conséquent, ta vitesse serait de \(\frac {12}{36} = 0,333 \space m/s\) et ta vélocité serait de \(\frac{0}{36} = 0 \space m/s\).
Le déplacement en mètres d'une voiture se déplaçant entre deux points A et B est donné par \(x = 40t^2 - 15\). Trouve une expression pour la vitesse de la voiture à un moment donné.
Nous savons que \(v = \frac {dx}{dt}\) donc nous pouvons différencier l'expression ci-dessus par rapport à t pour trouver v. Cela donne : \N(v = 80t\N)
Pour passer du déplacement à la vitesse, nous devons donc différencier, mais comment passer de la vitesse au déplacement ? Tu te rappelles peut-être que l'intégration est le processus inverse de la différenciation, nous devrons donc intégrer notre expression de la vitesse par rapport au temps pour trouver le déplacement.
\[x = \int v\space dt\]
Un marathonien se déplace à une vitesse constante de 6 m/s. Quel est le déplacement du coureur en fonction de t ?
Soit x le déplacement du coureur.
Comme \(x = \int v\space dt\), nous devrons intégrer l'expression donnée en termes de t pour trouver x. Par conséquent, \(x = 6t + c\) où c est la constante d'intégration.
Parfois, la constante d'intégration c doit être trouvée. Dans ce cas, la question devra fournir une valeur pour le déplacement à un moment donné. Cette valeur est souvent le déplacement initial lorsque t = 0. Cette valeur peut alors être substituée dans l'équation pour résoudre l'inconnue c, la constante d'intégration.
Équations cinématiques de l'accélération
L'accélération décrit à quel point une particule devient plus rapide ou plus lente au fil du temps. En d'autres termes, l'accélération est la variation de la vitesse d'une particule en fonction du temps, ou le taux de variation de cette vitesse. L'accélération sera désignée par la lettre a.
\[a = \frac {dv}{dt}\]
Mais nous savons déjà que \(v = \frac {dx}{dt}\), nous pouvons donc placer une expression pour a en termes de x : \(a = \frac {d^2v}{dt^2}\). Cela signifie que pour trouver l'accélération, nous devrons différencier deux fois le déplacement par rapport à t.
L'unité de cette quantité, si le déplacement est en mètres et le temps en secondes, est le mètre par seconde carrée ou m/s².
Le déplacement d'un oiseau à l'instant t est donné par \N(x = 3t^2 + 12t+-5\) m. Quelles sont la vitesse et l'accélération de l'oiseau ?
Nous savons que \(v = \frac {dx}{dt}\) donc \(v = 6t + 12 \space m/s\). Nous pouvons maintenant trouver l'accélération en trouvant la dérivée de cette expression. Par conséquent : \N(a = 6 \space m/s^2\N).
Comme précédemment, nous pouvons trouver la vitesse d'une particule en intégrant son accélération par rapport au temps,
\[v = \int a \space dt\]
Pour trouver x, nous devrons intégrer deux fois a par rapport à t. Cela peut être représenté par une double intégrale.
\[x = \iint a \space dt \space dt\]
L'accélération d'une particule est donnée par \(a = 2t\). Trouve la vitesse et le déplacement de cette particule en fonction de t.
Pour la vitesse, nous devrons intégrer cette expression une fois et pour le déplacement, deux fois.
\(v = \Nint 2t \Nspace dt = t^2 + c\N)
\(x = \int t^2 + c \space dt = \frac {t^3}{3} + ct +d \), où c et d sont des constantes.
Pour déterminer si la vitesse d'une particule augmente ou diminue, il faut tenir compte des signes de la vitesse et de l'accélération.
Si la vitesse et l'accélération ont le même signe (toutes deux positives ou toutes deux négatives), la vitesse de la particule augmente.
Si la vitesse et l'accélération sont de signes opposés (l'une est positive et l'autre négative), la vitesse de la particule diminue.
Il est donc possible de faire la conversion entre le déplacement, la vitesse et l'accélération à l'aide du calcul.
Dérivation des équations cinématiques à l'aide du calcul
Comme nous l'avons vu tout au long de l'article, les équations cinématiques peuvent être obtenues par différenciation ou intégration. Le tableau suivant résume la différenciation ou l'intégration qui permettent d'obtenir chaque variable cinématique : déplacement, vitesse et accélération.
| Variable cinématique | Dérivée cinématique | Intégration cinématique |
| Déplacement | --- | \[x = \int v\space dt\]\[x = \iint a \space dt \space dt\] |
| Vitesse | \[v = \frac {dx}{dt}\] | \[v = \int a \space dt\] |
| Accélération | \[a = \frac {dv}{dt}\]\[a = \frac {d^2v}{dt^2}\] | --- |
Tableau 1. Différenciation et intégration des équations cinématiques.
Calcul cinématique - Principaux enseignements
- Le déplacement d'une particule est la position de cette particule par rapport à un point d'origine. Il est noté x et il s'agit d'une quantité vectorielle, ce qui indique que la direction est importante.
- La vitesse d'une particule est le taux de changement de son déplacement par rapport au temps. Elle est notée v et peut être obtenue en différenciant x par rapport au temps t. v peut être intégré pour calculer le déplacement x.
- L'accélération d'une particule est le taux de variation de sa vitesse par rapport au temps. Elle est notée a et peut être obtenue en différenciant x par rapport au temps t deux fois, ou en différenciant v par rapport au temps t une fois. De même, a peut être intégré une ou deux fois pour calculer la vitesse v et le déplacement t, respectivement.
- La vitesse d'une particule est la magnitude de sa vitesse et est une quantité scalaire. Elle est calculée soit en prenant le module de la vitesse, soit la dérivée de la distance (plutôt que le déplacement pour la vitesse).
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