Accélération variable

Le déplacement s d'une particule en mouvement sur une ligne droite à partir d'un point O au temps t secondes est donné par : \(s = 4t^3 - 9t\) où 0 <t. Trouve :

a. Le déplacement lorsque t = 3

b. Le temps qu'il faut à la particule pour revenir au point O.

Solution :

a. Pour trouver le déplacement s, il suffit de substituer la valeur de t = 3 dans l'équation

\N(s = 4t^3 - 9t\N)

\(s = 4 (3^3) - 9(3) = 108 - 27 = 81 \space m\)

b. Pour trouver le temps nécessaire pour revenir au point O, cela signifie que le déplacement est nul, et serait mis dans l'équation.

Ainsi :

\N(0 = 4t^3 - 9t\N)

Factorise

\N(0 = t(4t^2 - 9)\N)

Factorisons \(4t^2 - 9\) séparément

\N(4t^2 - 9 = (2t -3)(2t+3)\N)

Ainsi :

\N(0 = t (2t - 3) (2t + 3)\N)

\N(t = 0, 2t - 3 = 0\N) ou \N(2t + 3 = 0\N)

\N(t = 0, \frac{3}{2} \text{ ou } \frac{-3}{2}\N)

Rappelons que 0 <t

Cela signifie que la réponse est \(\frac{3}{2}\) secondes.

Le mouvement d'une voiture jouet sur une piste droite a été modélisé pour suivre l'équation \(s = -t^3 + 4t^2\). Si ce jouet part à l'instant t = 0 et revient au début de la piste, prouve la restriction 0 ≤ t ≤ 4.

Solution :

À partir du début du mouvement,

s ≥ 0

Donc ,

\(-t^3 + 4t^2 \geq 0, \quad 4t^2 - t^3 \geq 0, \quad t^2(4-t) \geq 0, \qquad 4-t \geq 0\)

\N-(t^2 \N- 0\N) et \N-(4 \N- t\N)

Puisque le temps ne peut pas être en négatif. On ne peut considérer que t ≥ 0 dans ce cas.

donc ; t ≤ 4

t ≥ 0 et t ≤ 4

ce qui prouve la restriction 0 ≤ t ≤ 4.

La relation entre la vitesse et le temps d'un objet se déplaçant en ligne droite est donnée par l'expression : \(v = 2t^2 - 16t + 24\) pour t ≥ 0.

Trouve :

1. La vitesse initiale.
2. Le temps pendant lequel l'objet est instantanément au repos.
3. Le temps pendant lequel la vitesse est de 64 m/s.
4. La plus grande vitesse avec l'intervalle 0 ≤ t ≤ 5.

Solution

a. À la vitesse initiale, le temps est nul car le mouvement vient de commencer.

t = 0

substitue la valeur de t dans l'équation pour trouver la vitesse.

\N(v = 2t^2 - 16t + 24\)

v = 24 m / s.

b. À la vitesse instantanée au repos, v = 0

Substitue cette valeur dans l'équation pour trouver le temps.

\(0 = 2t^2 - 16t + 24 = 2(t^2-8t+12)\)

Divise les deux côtés par 2

\(0 = t^2 - 8t + 12\)

Factoriser

\N(0 = (t - 6) (t - 2)\N)

t = 6 ou 2

Ainsi, l'objet s'immobilise instantanément à 2 secondes et à 6 secondes.

c. À la vitesse = 64 m / s, le temps est de :

\(64 = 2t^2 - 16t+24 = 2 (t^2 - 8t + 12)\)

Divise les deux côtés par 2

\(32 = t^2 - 8t + 12)

\N- (0 = t^2-8t + 12 -32 = t^2 - 8t - 20)

Factoriser

\N(0 = (t - 10) (t + 2)\N)

t = 10 ou -2

Ainsi, l'objet se déplace à 64 m/s au bout de 10 secondes.

d. La plus grande vitesse entre 0 ≤ t ≤ 5 est la plus grande vitesse atteinte par l'objet entre t = 0 et t = 5.

Pour dériver cela, un graphique de l'équation pourrait être tracé avec les valeurs entre 0 et 5, avec v en ordonnée et t en abscisse.

Dans un premier temps, la valeur de t = 0 a été calculée dans la question a) comme étant 24 m / s. Utilise la même approche et remplis le tableau pour les valeurs 1 à 5.

Le graphique ci-dessous révèle la vitesse maximale. Le tableau et le graphique confirment que la vitesse la plus élevée est de 24 m / s. Elle est obtenue au moment t = 0.

Un tricycle se déplace horizontalement. Le déplacement q du point de repos O à l'instant t est donné par :

\(q = t^4-32t+12\)

a. Calcule la vitesse du tricycle lorsque t est égal à 4 secondes.

b. Trouve le moment où il atteint une vitesse instantanée.

c. Calcule l'accélération lorsque t est égal à 1,5 seconde.

Solution :

a. q est le déplacement donné par

\(q = t^4-32t+12\)

Rappelle-toi que tu différencies le déplacement pour obtenir la vitesse.

\(v = \frac{dq}{dt} = \frac{d(q = t^4 -32t+12)}{dt}\)

\N(v = 4t^3 -32\N)

Puisque la fonction t de la vitesse a été dérivée, substitue la valeur de t = 4 dans l'équation.

\(v = 4(4^3)-32 = 256-32 = 224\)

La vitesse du tricycle est donc de 224 m/s.

b. Pour trouver le moment où le tricycle connaît une vitesse instantanée, rappelle-toi toujours que l'objet est momentanément au repos. Cela signifie que la vitesse est nulle à cet instant.

Entre la valeur de v = 0 dans l'équation \(v = 4t^3 - 32\) pour trouver le temps t.

\(0 = 4t^3 - 32\)

\(4t^3 = 32\)

Divise les deux côtés par 4

\(t^3= 8\)

Trouve la racine cubique des deux côtés : t = 2

Le tricycle a donc une vitesse instantanée au bout de 2 s.

c. N'oublie pas de différencier ta vitesse lorsque tu détermines ton accélération.

Puisque \(v = 4t^3 - 32\)

\(a = \frac{dv}{dt} = \frac{d(v=4t^3-32)}{dt}\)

\N(a = 12t^2\N)

On te demande maintenant de trouver l'accélération. Substitue simplement la valeur de t = 1,5 dans l'équation de l'accélération.

\N(a = 12(1,5^2) ; \Nquad a = 27 ms^{-2}\N)

Par conséquent, l'accélération au temps t = 1,5 s est de 27 ^ms-2

Une femme possède un ressort qui quitte sa main à l'instant t = 0 seconde, et se déplace verticalement en ligne droite avant de revenir dans sa main. La distance y entre le ressort et sa main après t secondes est donnée par :

\(y = -0,2t^3 + 0,4t^2 + 0,6 t\), 0 ≤ t ≤ 3.

a. Prouve la restriction 0 ≤ t ≤ 3.

b. Calcule la distance maximale entre la main de la femme et le ressort.

Solution :

a. \N(y = -0,2t^3 + 0,4t^2 + 0,6 t\N)

Factorise :

\N(y = -0,2t(t^2 - 2t - 3)\N)

Factorise davantage :

\(y = -0.2t (t - 3) (t + 1)\)

lorsque y = 0, alors

\(-0.2t = 0, \space t - 3 = 0 \text{ or } t + 1 = 0\)

t = 0, 3 ou -1

Il n'y a pas de valeurs négatives pour le temps, donc t = 0 ou 3. Cela justifie la restriction de t, 0 ≤ t ≤ 3.

b. Rappelle-toi que lorsqu'une particule atteint son déplacement maximal, elle devient momentanément au repos. On dit que sa vitesse est instantanément au repos et que v = 0.

Ainsi, pour trouver le déplacement max, nous devons connaître le moment où l'objet devient instantanément au repos. Pour ce faire, nous devons trouver la fonction t de v.

\N(y = -0,2t^3+0,4t^2+0,6t\N)

\(v = \frac{dy}{dt} = \frac{d(y = -0.2t^3 + 0.4 t^2 + 0.6t)}{dt}\)

\N(v = -0,6t^2 + 0,8t + 0,6\N)

Maintenant que nous avons la fonction t de notre vitesse dans l'équation, trouvons t lorsque v est instantanément au repos.

v = 0

\N(0 = -0,6t^2 + 0,8t + 0,6\N)

Factorise

\N(0 = -0,2(3t^2-4t-3)\N)

Divise les deux côtés par -0,2

\N(0 = 3t^2-4t-3\N)

En utilisant la formule pour les équations quadratiques \(\frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a}\)

Où a = 3, b = -4 et c = -3

Après avoir substitué les valeurs et résolu l'équation,

t = 1,8685 ou -0,5351.

N'oublie pas qu'aucune valeur négative de t n'est valide, donc t = 1,8685.

Cela signifie que la distance y est maximale après 1,8685 seconde.

Substitue la valeur de t pour trouver _ymax.

\N(y = -0,2t^3 + 0,4t^2 + 0,6t\N)

\(y_{max} = -0,2(1,8685)^3 + 0,4(1,8685)^2 + 0,6(1,8685) = 1,2129\)

La distance maximale entre la main de la femme et le ressort est de 1,21 mètre.

\((t-5)ms^{-2}\) est l'accélération d'un ballon de basket rebondi par un adolescent. Le ballon démarre avec une vitesse de 8 m/s. Détermine le temps (s) pendant lequel le ballon de basket est instantanément au repos.

Solution :

\N(a = t - 5\N)

\N(v = \Nint{a \space dt}\N)

\(v = \int{(t-5) dt} = \frac{t^2}{2} - 5t +c\) n'oublie pas d'ajouter la constante c après chaque intégration.

On nous a dit que la balle avait commencé avec une vitesse de 8 m / s, ce qui signifie qu'à l'instant t = 0, v = 8

Substitue donc la valeur de t et de v dans l'équation \(8 = \frac{0^2}{2} - 5(0) + c\)

c = 8

Cela signifie que la fonction t de la vitesse est :

\(v = \frac{t^2}{2} - 5t + 8\)

Maintenant que nous avons une équation complète pour la vitesse, nous pouvons déterminer le temps (s) pendant lequel la balle est instantanément au repos.

v = 0 car l'objet est momentanément au repos.

\(v = \frac{t^2}{2} - 5t + 8\)

\(0 = \frac{t^2}{2} - 5t +8\)

Multiplie l'équation par 2 pour éliminer la fraction

\(0 = t^2 - 10t + 16\)

Factorise

\N((t - 8) (t - 2) = 0\N)

t = 8 ou 2

Ainsi, le ballon de basket est instantanément au repos en 2 et 8 secondes.