Les différences peuvent être soit en magnitude, soit en direction, soit à la fois en magnitude et en direction. L'accélération variable se produit lorsque les changements de vitesse d'un objet ne sont pas les mêmes à intervalles de temps égaux. Elle dépend donc à la fois de la vitesse et du temps.
Tu peux aussi te renseigner sur l'accélération constante.
Exemples d'accélération variable
Imagine qu'un policier poursuive un criminel et tombe sur une foule. Le policier devrait réduire son allure et éventuellement l'augmenter à nouveau une fois qu'il arrive dans un endroit moins occupé. La même chose se produit lorsqu'une voiture accélère sur l'autoroute et rencontre de la circulation. La voiture accélérerait très peu dans la circulation, et lorsque la route devient libre, son accélération augmente.
Outils nécessaires à l'accélération variable
Pour résoudre les questions sur l'accélération variable, tu dois avoir des connaissances de base en calcul. C'est essentiel parce que pour dériver la vitesse lorsque le déplacement a été donné, on attend de toi que tu différencies le déplacement. Parallèlement, pour déterminer ton déplacement avec une vitesse donnée, on attend de toi que tu intègres la vitesse. Ce processus se répète entre la vitesse et l'accélération et vice versa.
La fonction du temps dans l'accélération variable
N'oublie pas que l'accélération variable dépend du temps parce qu'un changement d'accélération se produit dans des intervalles de temps. Cependant, nous commencerons par résoudre des exemples qui expriment la vitesse et le déplacement en tant que fonctions du temps.
Le déplacement s d'une particule en mouvement sur une ligne droite à partir d'un point O au temps t secondes est donné par : \(s = 4t^3 - 9t\) où 0 <t. Trouve :
a. Le déplacement lorsque t = 3
b. Le temps qu'il faut à la particule pour revenir au point O.
Solution :
a. Pour trouver le déplacement s, il suffit de substituer la valeur de t = 3 dans l'équation
\N(s = 4t^3 - 9t\N)
\(s = 4 (3^3) - 9(3) = 108 - 27 = 81 \space m\)
b. Pour trouver le temps nécessaire pour revenir au point O, cela signifie que le déplacement est nul, et serait mis dans l'équation.
Ainsi :
\N(0 = 4t^3 - 9t\N)
Factorise
\N(0 = t(4t^2 - 9)\N)
Factorisons \(4t^2 - 9\) séparément
\N(4t^2 - 9 = (2t -3)(2t+3)\N)
Ainsi :
\N(0 = t (2t - 3) (2t + 3)\N)
\N(t = 0, 2t - 3 = 0\N) ou \N(2t + 3 = 0\N)
\N(t = 0, \frac{3}{2} \text{ ou } \frac{-3}{2}\N)
Rappelons que 0 <t
Cela signifie que la réponse est \(\frac{3}{2}\) secondes.
Le mouvement d'une voiture jouet sur une piste droite a été modélisé pour suivre l'équation \(s = -t^3 + 4t^2\). Si ce jouet part à l'instant t = 0 et revient au début de la piste, prouve la restriction 0 ≤ t ≤ 4.
Solution :
À partir du début du mouvement,
s ≥ 0
Donc ,
\(-t^3 + 4t^2 \geq 0, \quad 4t^2 - t^3 \geq 0, \quad t^2(4-t) \geq 0, \qquad 4-t \geq 0\)
\N-(t^2 \N- 0\N) et \N-(4 \N- t\N)
Puisque le temps ne peut pas être en négatif. On ne peut considérer que t ≥ 0 dans ce cas.
donc ; t ≤ 4
t ≥ 0 et t ≤ 4
ce qui prouve la restriction 0 ≤ t ≤ 4.
La relation entre la vitesse et le temps d'un objet se déplaçant en ligne droite est donnée par l'expression : \(v = 2t^2 - 16t + 24\) pour t ≥ 0.
Trouve :
- La vitesse initiale.
- Le temps pendant lequel l'objet est instantanément au repos.
- Le temps pendant lequel la vitesse est de 64 m/s.
- La plus grande vitesse avec l'intervalle 0 ≤ t ≤ 5.
Solution
a. À la vitesse initiale, le temps est nul car le mouvement vient de commencer.
t = 0
substitue la valeur de t dans l'équation pour trouver la vitesse.
\N(v = 2t^2 - 16t + 24\)
v = 24 m / s.
b. À la vitesse instantanée au repos, v = 0
Substitue cette valeur dans l'équation pour trouver le temps.
\(0 = 2t^2 - 16t + 24 = 2(t^2-8t+12)\)
Divise les deux côtés par 2
\(0 = t^2 - 8t + 12\)
Factoriser
\N(0 = (t - 6) (t - 2)\N)
t = 6 ou 2
Ainsi, l'objet s'immobilise instantanément à 2 secondes et à 6 secondes.
c. À la vitesse = 64 m / s, le temps est de :
\(64 = 2t^2 - 16t+24 = 2 (t^2 - 8t + 12)\)
Divise les deux côtés par 2
\(32 = t^2 - 8t + 12)
\N- (0 = t^2-8t + 12 -32 = t^2 - 8t - 20)
Factoriser
\N(0 = (t - 10) (t + 2)\N)
t = 10 ou -2
Ainsi, l'objet se déplace à 64 m/s au bout de 10 secondes.
d. La plus grande vitesse entre 0 ≤ t ≤ 5 est la plus grande vitesse atteinte par l'objet entre t = 0 et t = 5.
Pour dériver cela, un graphique de l'équation pourrait être tracé avec les valeurs entre 0 et 5, avec v en ordonnée et t en abscisse.
Dans un premier temps, la valeur de t = 0 a été calculée dans la question a) comme étant 24 m / s. Utilise la même approche et remplis le tableau pour les valeurs 1 à 5.
| \N(x = t\N) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| \N(y = v = 2t^2 - 16t+24\N) | 24 | 10 | 0 | -6 | -8 | -6 |
Le graphique ci-dessous révèle la vitesse maximale. Le tableau et le graphique confirment que la vitesse la plus élevée est de 24 m / s. Elle est obtenue au moment t = 0.
Applications de la différenciation en accélération variable
La vitesse est définie comme la variation du déplacement en fonction du temps. Nous avons expliqué la fonction du temps dans le déplacement et la vitesse, donc \(v = \frac{ds}{dt}\).
De la même façon, l'accélération est définie comme la variation de la vitesse en fonction du temps. Si la vitesse est surexprimée en fonction de t pour obtenir l'accélération, alors, \(a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2 s}{dt^2}\).
Cette connaissance du calcul différentiel serait nécessaire pour déterminer la vitesse si le déplacement est exprimé en fonction du temps. De la même façon, l'accélération peut être dérivée lorsque la vitesse est exprimée en fonction du temps. Prenons quelques exemples pour que les choses soient plus claires :
Un tricycle se déplace horizontalement. Le déplacement q du point de repos O à l'instant t est donné par :
\(q = t^4-32t+12\)
a. Calcule la vitesse du tricycle lorsque t est égal à 4 secondes.
b. Trouve le moment où il atteint une vitesse instantanée.
c. Calcule l'accélération lorsque t est égal à 1,5 seconde.
Solution :
a. q est le déplacement donné par
\(q = t^4-32t+12\)
Rappelle-toi que tu différencies le déplacement pour obtenir la vitesse.
\(v = \frac{dq}{dt} = \frac{d(q = t^4 -32t+12)}{dt}\)
\N(v = 4t^3 -32\N)
Puisque la fonction t de la vitesse a été dérivée, substitue la valeur de t = 4 dans l'équation.
\(v = 4(4^3)-32 = 256-32 = 224\)
La vitesse du tricycle est donc de 224 m/s.
b. Pour trouver le moment où le tricycle connaît une vitesse instantanée, rappelle-toi toujours que l'objet est momentanément au repos. Cela signifie que la vitesse est nulle à cet instant.
Entre la valeur de v = 0 dans l'équation \(v = 4t^3 - 32\) pour trouver le temps t.
\(0 = 4t^3 - 32\)
\(4t^3 = 32\)
Divise les deux côtés par 4
\(t^3= 8\)
Trouve la racine cubique des deux côtés : t = 2
Le tricycle a donc une vitesse instantanée au bout de 2 s.
c. N'oublie pas de différencier ta vitesse lorsque tu détermines ton accélération.
Puisque \(v = 4t^3 - 32\)
\(a = \frac{dv}{dt} = \frac{d(v=4t^3-32)}{dt}\)
\N(a = 12t^2\N)
On te demande maintenant de trouver l'accélération. Substitue simplement la valeur de t = 1,5 dans l'équation de l'accélération.
\N(a = 12(1,5^2) ; \Nquad a = 27 ms^{-2}\N)
Par conséquent, l'accélération au temps t = 1,5 s est de 27 ms-2
Utilisation de l'accélération variable dans les cas de minimum et de maximum
L'idée de l'accélération variable a également des applications profitables pour trouver les valeurs minimales et maximales du déplacement, de la vitesse et de l'accélération.
Une femme possède un ressort qui quitte sa main à l'instant t = 0 seconde, et se déplace verticalement en ligne droite avant de revenir dans sa main. La distance y entre le ressort et sa main après t secondes est donnée par :
\(y = -0,2t^3 + 0,4t^2 + 0,6 t\), 0 ≤ t ≤ 3.
a. Prouve la restriction 0 ≤ t ≤ 3.
b. Calcule la distance maximale entre la main de la femme et le ressort.
Solution :
a. \N(y = -0,2t^3 + 0,4t^2 + 0,6 t\N)
Factorise :
\N(y = -0,2t(t^2 - 2t - 3)\N)
Factorise davantage :
\(y = -0.2t (t - 3) (t + 1)\)
lorsque y = 0, alors
\(-0.2t = 0, \space t - 3 = 0 \text{ or } t + 1 = 0\)
t = 0, 3 ou -1
Il n'y a pas de valeurs négatives pour le temps, donc t = 0 ou 3. Cela justifie la restriction de t, 0 ≤ t ≤ 3.
b. Rappelle-toi que lorsqu'une particule atteint son déplacement maximal, elle devient momentanément au repos. On dit que sa vitesse est instantanément au repos et que v = 0.
Ainsi, pour trouver le déplacement max, nous devons connaître le moment où l'objet devient instantanément au repos. Pour ce faire, nous devons trouver la fonction t de v.
\N(y = -0,2t^3+0,4t^2+0,6t\N)
\(v = \frac{dy}{dt} = \frac{d(y = -0.2t^3 + 0.4 t^2 + 0.6t)}{dt}\)
\N(v = -0,6t^2 + 0,8t + 0,6\N)
Maintenant que nous avons la fonction t de notre vitesse dans l'équation, trouvons t lorsque v est instantanément au repos.
v = 0
\N(0 = -0,6t^2 + 0,8t + 0,6\N)
Factorise
\N(0 = -0,2(3t^2-4t-3)\N)
Divise les deux côtés par -0,2
\N(0 = 3t^2-4t-3\N)
En utilisant la formule pour les équations quadratiques \(\frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a}\)
Où a = 3, b = -4 et c = -3
Après avoir substitué les valeurs et résolu l'équation,
t = 1,8685 ou -0,5351.
N'oublie pas qu'aucune valeur négative de t n'est valide, donc t = 1,8685.
Cela signifie que la distance y est maximale après 1,8685 seconde.
Substitue la valeur de t pour trouver ymax.
\N(y = -0,2t^3 + 0,4t^2 + 0,6t\N)
\(y_{max} = -0,2(1,8685)^3 + 0,4(1,8685)^2 + 0,6(1,8685) = 1,2129\)
La distance maximale entre la main de la femme et le ressort est de 1,21 mètre.
Utilisation de l'intégration dans les problèmes d'accélération variable
Dans un premier temps, nous avons vu comment la différenciation est utilisée pour trouver la vitesse à partir d'un déplacement donné en fonction du temps. Nous avons également vu comment ce processus est utilisé pour trouver l'accélération lorsque la vitesse est donnée en fonction du temps. Pour effectuer l'inverse de ces situations telles que de la vitesse au déplacement ainsi que de l'accélération à la vitesse, on utilise l'intégration.
Tu sais que :
\(v = \frac{ds}{dt}\) autre \(a = \frac{dv}{dt}\)
Alors :
\(s = \int{v \space dt}\) other \(v = \int{a \space dt}\)
\((t-5)ms^{-2}\) est l'accélération d'un ballon de basket rebondi par un adolescent. Le ballon démarre avec une vitesse de 8 m/s. Détermine le temps (s) pendant lequel le ballon de basket est instantanément au repos.
Solution :
\N(a = t - 5\N)
\N(v = \Nint{a \space dt}\N)
\(v = \int{(t-5) dt} = \frac{t^2}{2} - 5t +c\) n'oublie pas d'ajouter la constante c après chaque intégration.
On nous a dit que la balle avait commencé avec une vitesse de 8 m / s, ce qui signifie qu'à l'instant t = 0, v = 8
Substitue donc la valeur de t et de v dans l'équation \(8 = \frac{0^2}{2} - 5(0) + c\)
c = 8
Cela signifie que la fonction t de la vitesse est :
\(v = \frac{t^2}{2} - 5t + 8\)
Maintenant que nous avons une équation complète pour la vitesse, nous pouvons déterminer le temps (s) pendant lequel la balle est instantanément au repos.
v = 0 car l'objet est momentanément au repos.
\(v = \frac{t^2}{2} - 5t + 8\)
\(0 = \frac{t^2}{2} - 5t +8\)
Multiplie l'équation par 2 pour éliminer la fraction
\(0 = t^2 - 10t + 16\)
Factorise
\N((t - 8) (t - 2) = 0\N)
t = 8 ou 2
Ainsi, le ballon de basket est instantanément au repos en 2 et 8 secondes.
Accélération variable - Points clés à retenir
- On parle d'accélération variable lorsque les changements de vitesse ne sont pas égaux pour les mêmes intervalles de temps. L'accélération n'est donc pas constante.
- Le calcul différentiel et le calcul intégral sont des outils utilisés pour résoudre les problèmes d'accélération variable.
- Tu différencies pour trouver la vitesse lorsque le déplacement a été exprimé en fonction du temps. Il en va de même pour l'accélération lorsque la vitesse est donnée.
- Tu intègres pour trouver le déplacement lorsque la vitesse a été exprimée en fonction du temps. Il en va de même pour la vitesse lorsque l'accélération est donnée.
- La vitesse d'un objet instantanément au repos est 0.
- Tu peux trouver le déplacement maximal en différenciant le déplacement pour trouver la fonction t de la vitesse. Prends ensuite le temps auquel la vitesse est instantanément au repos et substitue-le dans l'équation du déplacement.
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