Les solides sont des formes tridimensionnelles (3D). On les trouve partout dans la vie de tous les jours et parfois, tu auras besoin de trouver le volume de ces formes. Il existe de nombreux types de solides différents et chacun est reconnaissable en fonction de son apparence. Voici quelques exemples :
Volume d'un solide en maths
Il peut être utile de trouver le volume de ces solides. Lorsque tu mesures le volume d'un solide, tu calcules la quantité d'espace qu'il occupe. Par exemple, si une cruche peut contenir 500 ml lorsqu'elle est pleine, le volume de cette cruche sera de 500 ml.
Pour trouver le volume d'un solide, tu dois penser à la forme elle-même. Pour trouver la surface d'un solide, tu utiliseras la longueur et la largeur, ce qui te donnera les unités carrées. Pour trouver le volume d'un solide, tu dois également prendre en compte la hauteur du solide, ce qui te donnera les unités cubiques.
Pour en savoir plus sur la surface d'un solide, visite Surface des solides.
Il existe différentes formules qui peuvent être utilisées pour trouver le volume d'un solide. Ces formules sont liées aux formules qui peuvent être utilisées pour trouver la surface d'un solide.
Prenons comme exemple la formule pour trouver la surface d'un cercle,\N[A=\pi r^2.\N].
En faisant ce calcul, tu obtiendras la surface d'une forme bidimensionnelle (2D).
Faisons maintenant le lien avec la formule pour un cylindre, une forme en 3D qui implique deux cercles reliés par une face incurvée.
Puisqu'il s'agit maintenant d'une forme en 3D, pour trouver son volume, tu peux prendre ta formule de surface et la multiplier par la hauteur \(h\) de la face incurvée du cylindre, ce qui te donne la formule \[V=\pi r^2h.\N- V=\pi r^2h.\N].
Formules pour le volume d'un solide
Comme chaque solide différent a une formule différente pour t'aider à trouver le volume, il est important que tu puisses identifier chaque forme et reconnaître la formule nécessaire.
Volume d'un prisme solide
Un prisme est un type de solide dont les deux bases sont parallèles l'une à l'autre. Il existe différents types de prisme et ils sont nommés d'après la forme de la base ;
Prisme rectangulaire
Prisme triangulaire
Prisme pentagonal
Prisme hexagonal
Les prismes peuvent être des prismes droits ou des prismes obliques.
Un prisme droit est un prisme dont les arêtes et les faces de jonction sont perpendiculaires aux faces de base.
Les prismes de l'image ci-dessous sont tous des prismes droits.
Il est utile d'avoir des étiquettes pour les parties d'un prisme. Ainsi, appelle :
\N( B\N) la surface de la base du prisme ;
\(h\) la hauteur du prisme ; et
\(V\) le volume du prisme,
La formule du volume d'un prisme droit est donc la suivante
\[ V = B\cdot h.\]
Voyons comment utiliser cette formule.
Trouve le volume du solide suivant.
Réponse:
Remarque qu'il s'agit d'un prisme droit, tu peux donc utiliser la formule pour trouver le volume.
Tout d'abord, tu peux commencer par regarder la formule et écrire ce que tu sais grâce au diagramme ci-dessus. Tu sais que la hauteur du prisme est de \(9\, cm\). Cela signifie que dans la formule du volume d'un prisme droit, \(h = 9\).
Tu dois calculer l'aire de la base. Tu peux voir que le triangle qui constitue la base a un côté de longueur \(4\, cm\) et un autre de longueur \( 5\, cm\).
Pour cela, tu peux utiliser la formule pour trouver l'aire d'un triangle ;
\[\begin{align} B&=\frac{h\cdot b}{2}\N- \N- B&=\frac{5\cdot 4}{2}\N- \N- B&=10 \N- end{align}\N]
Maintenant que tu peux trouver la surface de la base du prisme, tu peux l'introduire dans la formule pour trouver le volume du prisme ;
\[\N- V&=(10)(9)\N- V&=90\N,cm^3 \Nend{align}\N]
Qu'en est-il d'un prisme oblique ?
Dans un prisme oblique, une base n'est pas directement au-dessus de l'autre, ou les arêtes de jonction ne sont pas perpendiculaires à la base.
Voici un exemple de ce à quoi peut ressembler un prisme oblique solide.
Lorsqu'on te donne un prisme oblique, tu peux utiliser la hauteur oblique du solide pour trouver le volume.
Pour en savoir plus sur les prismes, visite Volume des prismes.
Volume d'un cylindre solide
Un cylindre est un type de solide qui a deux bases et un bord incurvé. Ils ont tendance à ressembler à ceux de la figure 5.
Il est utile d'avoir des étiquettes pour les parties d'un cylindre. Appelle donc :
\N( B\N) la surface de la base du cylindre ;
\N(h) la hauteur du cylindre ; et
\N(r\N) le rayon du cylindre.
Un cylindre peut être considéré comme un prisme à base circulaire, mais une formule différente peut également être utilisée pour trouver le volume d'uncylindre;
\[V=Bh=\pi r^2h.\]
Pour en savoir plus sur les cylindres, visite Volume des cylindres.
Volume d'une pyramide solide
Une pyramide est un type de solide qui a une base. La forme de la base détermine le type de pyramide que tu as. Dans une pyramide, toutes les faces sont des triangles qui aboutissent à un sommet. Voici quelques types de pyramides :
Pyramide carrée
Pyramide rectangulaire
Pyramide hexagonale
Voici un exemple de pyramide carrée.
Les étiquettes des pyramides sont :
\N( B\N) la surface de la base de la pyramide ;
\(h\) la hauteur de la pyramide ; et
\(V\) le volume de la pyramide,
Il existe une formule qui peut être utilisée pour t'aider à trouver le volume d'une pyramide;
\[V=\frac{1}{3}Bh.\]
Tu peux observer qu'une pyramide et un cône sont deux formes très similaires, un cône étant un type de pyramide qui a une base circulaire. C'est pourquoi tu peux également constater des similitudes dans la formule qui peut être utilisée pour trouver le volume de ces formes.
Pour en savoir plus sur les pyramides, visite Volume des pyramides.
Volume d'un cône solide
Comme une pyramide, un cône solide n'a qu'une seule base: un cercle. Un cône n'a qu'une face et un sommet. Ils ressemblent à ceci ;
Les étiquettes d'un cône sont :
\(h\) la hauteur du cône ;
\(r\) le rayon ; et
\(V\) le volume du prisme,
Il existe une formule qui peut être utilisée pour t'aider à trouver le volume d'un cône;
\[V=\frac{1}{3}Bh=\frac{1}{3}\pi r^2h.\]
Pour en savoir plus sur les cônes, visite Volume des cônes.
Volume d'une sphère solide
Une sphère est un type de solide qui n'a pas de base. Elle ressemble à une balle en trois dimensions, par exemple un ballon de football. Une sphère a un point central ; la distance entre le point central et le bord extérieur donne le rayon de la sphère.
Il est utile d'avoir des étiquettes pour les parties ce solide. Ainsi, appelle :
\(r\) le rayon ; et
\(V\) le volume du prisme,
Il existe une formule qui peut être utilisée pour trouver le volume d'une sphère;
\[V=\frac{4}{3} \pi r^3.\]
Pour en savoir plus sur les sphères, visite le site Volume des sphères.
Volume d'un solide rectangulaire
Un solide rectang ulaire est un type de forme 3D dont toutes les bases et les faces sont des rectangles. Il peut être considéré comme un type particulier de prisme droit.
Pour trouver le volume d'un solide rectangulaire, tu peux multiplier la longueur par la largeur par la hauteur de la forme. Cela peut s'écrire dans la formule suivante :
\[V=L\cdot W\cdot H.\c]
Voyons un exemple utilisant cette formule.
Trouve le volume du solide suivant.
Réponds :
Pour commencer, identifie chacune des étiquettes de la forme afin de savoir où entrer la variable dans la formule.
\N- [L=5cm, \N espace \N espace W=7cm, \N espace \N espace H=10cm\N]
Tu peux maintenant entrer les variables dans la formule pour trouver le volume d'un solide rectangulaire.
\[\N- Début{align} V&=L\cdot W\cdot H\\c \c V&=5\cdot 7\cdot 10\c \c V&=350cm \c_end{align}\c]
Volume d'un solide composite
Un solide composite est un type de solide en 3D qui est composé de deux solides ou plus. Prenons l'exemple d'une maison, le bâtiment peut être considéré comme un solide composite, avec une base prismatique et un toit pyramidal.
Pour trouver le volume d'un solide composite, tu dois décomposer la forme en ses solides distincts et trouver le volume de chacun d'entre eux.
Pour reprendre l'exemple de la maison, tu pourrais d'abord trouver le volume du prisme, puis celui de la pyramide. Pour trouver le volume de la maison entière, tu dois ensuite additionner les deux volumes séparés.
Volume des exemples de solides
Jetons un coup d'œil à d'autres exemples.
Calcule le volume d'une pyramide à base carrée, dont les côtés mesurent \(6,cm\) et la hauteur \(10,cm\).
Réponse :
Pour commencer, tu dois trouver la formule correcte à utiliser, puisqu'il s'agit d'une pyramide, tu auras besoin de cette formule spécifique :
\[V=\frac{1}{3}Bh\]
Tu dois maintenant trouver chaque partie de la formule pour calculer le volume. Puisque la base de la pyramide est un carré dont la longueur du côté est de 6 cm, pour trouver la surface de la base, tu peux multiplier 6 cm par 6 cm :
\N- [B=6\cdot 6=36\N].
Tu connais maintenant la surface de la base et tu connais la hauteur de la pyramide grâce à la question, ce qui signifie que tu peux maintenant utiliser la formule :
\[\N- Début{align} V&=\frac{1}{3}(36)(10) \\\N- V&=120\,cm^3 \Nend{align}\N]
Voici un autre exemple.
Calcule le volume d'une sphère dont le rayon est de \(2,7cm\).
Réponse :
Pour commencer, tu dois trouver la formule correcte à utiliser, puisqu'il s'agit d'une sphère, tu auras besoin de cette formule spécifique :
\[V=\frac{4}{3}\pi r^3\]
On t'a donné le rayon, il te suffit donc d'entrer cette valeur dans la formule :
\[\N- Début de l'alignement V&=\frac{4}{3}\pi (2,7)^3 \\N- V&\Napprox82,45\N,cm^3 \Nend{align}\N]
Examinons un autre type d'exemple.
Dessine un cône d'une hauteur de 10 cm et d'un rayon de 9 cm.
Réponds :
Pour répondre à ce type de question, tu devras dessiner le solide en fonction des mesures données.
Dans cette question, on t'a demandé de dessiner un cône d'une hauteur de 10 cm et d'un rayon de 9 cm. Cela signifie qu'il aura une hauteur de 10 cm et que sa base circulaire aura un rayon de 9 cm, ce qui signifie qu'il aura une largeur de 18 cm.
Lorsque tu dessines ton propre diagramme, n'oublie pas d'indiquer les mesures !
Voyons un autre exemple.
Calcule le volume d'un cône qui a un rayon de \(9\,m\) et une hauteur de \(11\,m\).
Réponse :
Pour commencer, tu dois trouver la formule correcte à utiliser, puisqu'il s'agit d'un cône, tu auras besoin de cette formule spécifique :
\[V=\frac{1}{3}\pi r^2h\]
On t'a donné le rayon et la hauteur du cône, ce qui signifie que tu peux mettre les valeurs directement dans la formule :
\[\N- Début de l'alignement V&=\frac{1}{3}\pi (9)^2(11) \\N- V&\Napprox933\N,m^3 \Nend{align}\N]
Volume d'un solide - Points clés
- Un solide est une forme en 3D, il existe de nombreux types de solides différents et chaque solide a sa propre formule pour trouver le volume ;
- Prismes - \(V=Bh\)
- Cylindres - \(V=\pi r^2h\)
- Pyramides - \(V=\frac{1}{3}Bh\)
- Cônes - \(V=\frac{1}{3}\pi r^2h\)
- Sphères - \(V=\frac {4}{3}\pi r^3\)
- Un solide rectangulaire est une forme 3D dont toutes les faces et les bases sont des rectangles. Tu peux trouver le volume du solide en utilisant la formule \(V=L\cdot W\cdot H\).
- Un solide composite est une forme en 3D composée de deux solides ou plus. Pour trouver le volume, tu peux décomposer la forme en ses solides séparés et trouver leurs volumes individuellement avant de les additionner.
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