Quand tu regardes une montagne volcanique, à quoi ressemble-t-elle ? Les cornets de glace sont peut-être plus attrayants et tu te demandes peut-être quelle quantité de glace ils peuvent contenir.
Un cône est un solide tridimensionnel composé d'une base circulaire et d'une surface courbe continue qui se rétrécit jusqu'à une pointe appelée apex, ou sommet.
Quelques exemples d'objets de forme conique sont le cône de signalisation, les chapeaux de cônes d'anniversaire, les cônes de crème glacée, les carottes, etc.
Une image decônes routiers -StudySmarter Original
Image d'un cône de crème glacée - StudySmarter Original
Types de cônes
Il existe deux types fondamentaux de cônes :
Les cônes circulaires droits qui ont leur sommet perpendiculaire ou juste au-dessus du centre de leur base.
Illustration d'un cône circulaire droit - StudySmarter Original
Les cônes circulaires obliques - n'ont pas leur sommet au-dessus du centre de la base circulaire et ne sont donc pas perpendiculaires au centre.
Illustration d'un cône circulaire oblique - StudySmarter Original
Dérivation du volume des cônes à partir du volume des cylindres
Le volume ou la capacité d'un cône est le tiers de son cylindre correspondant. Cela signifie que lorsqu'un cône et un cylindre ont la même dimension de base et la même hauteur, le volume du cône est un tiers du volume du cylindre. On peut donc obtenir un cône en divisant un cylindre en trois parties. Afin de visualiser cela, nous allons faire une petite expérience.
Expérience sur la dérivation des cônes à partir des cylindres
Tout d'abord, comprenons ce qui suit : Le volume d'un solide peut également être compris comme sa capacité. La capacité d' un solide est la quantité de liquide - nous pensons généralement à l'eau - qu'il peut contenir.
Passons maintenant à l'expérience. Elle peut être réalisée en suivant les étapes suivantes.
Étape 1. Procure-toi un cylindre ordinaire vide dont la hauteur et le rayon de la base circulaire sont connus.
Étape 2. Procure-toi un cône ordinaire vide dont la hauteur et le rayon sont identiques à ceux du cylindre.
Étape 3. Remplis le cône d'eau jusqu'au bord.
Étape 4. Verse toute l'eau du cône dans le cylindre vide et observe le niveau de l'eau dans le cylindre.
Note que le cylindre n'est pas encore rempli.
Étape 5. Répète les étapes 3 et 4 pour la deuxième fois sur le même cylindre qui contient déjà de l'eau. Remarque que le niveau de l'eau augmente mais que le cylindre n'est pas encore rempli à ras bord.
Étape 6. Répète les étapes 3 et 4 pour la troisième fois sur la même bouteille. Remarque que le cylindre est maintenant rempli à ras bord.
Cette expérience explique que tu as besoin de trois cônes pour faire un cylindre.
Illustration de la relation entre un cône et un cylindre - StudySmarter Original
Comment calculer le volume d'un cône ?
Le volume d'un cône est l'espace 3D qu'il occupe. C'est le nombre de cubes unitaires qu'il peut contenir.
Comme nous savons qu'un cône représente un tiers du cylindre correspondant, il est plus facile de calculer le volume d'un cône.
Nous rappelons que le volume d'un cylindre est le produit de la surface de sa base circulaire et de sa hauteur et qu'il est donné par ,
.
Ainsi, le volume d'un cône est le tiers du produit de l'aire de sa base circulaire et de sa hauteur.
Note que le volume d'un cône oblique se calcule avec la même formule que celui d'un cône droit régulier. Ceci est dû au principe de Cavalieri qui explique que le volume d'une forme solide est égal au volume de son objet oblique correspondant.
Le chapeau conique a un rayon de base de 7 cm et une hauteur de 8 cm. Trouve le volume du cône. Prends .
Solution
Nous commençons par écrire les valeurs données
Le volume du cône peut être calculé à l'aide de la formule,
Comment calculer le volume d'un cône sans hauteur connue ?
Il arrive que l'on nous demande de trouver le volume de cônes dont la hauteur n'est pas connue. Dans ce cas, nous devons rechercher soit une hauteur oblique connue, soit un angle connu. Si la hauteur oblique est connue, tu peux utiliser le théorème de Pythagore pour la calculer. Soit donc l la hauteur oblique,
.
Le théorème de Pythagore ne s'applique que lorsque le rayon r et la hauteur oblique l sont donnés, mais que la hauteur n'est pas donnée.
Illustration d'un cône avec un angle soustendu au sommet - StudySmarter Original
Lorsqu'un angle est donné, on applique la méthode SOHCAHTOA pour obtenir la valeur de la hauteur. Si l'angle au sommet est donné, alors la moitié de cet angle est utilisée pour trouver la hauteur. Ainsi ;
où ;
θ est l'angle au sommet,
l est la hauteur oblique du cône,
h est la hauteur du cône,
r est le rayon de base du cône.
Volume du tronc de cône
Le fruste d'un cône ou d'un tronc de cô ne a la pointe (sommet) coupée. C'est la forme de la plupart des seaux.
Illustration de la formation d'un tronc de cône - StudySmarter Original
Pour calculer le volume d'un tronc d'arbre, on utilise la proportion. Un tronc a deux rayons - un rayon pour la plus grande surface circulaire et un autre rayon pour la plus petite surface circulaire.
Image montrant le calcul du volume d'un tronc d'arbre - StudySmarter Original
Soit R le rayon de la plus grande surface circulaire et r le rayon de la plus petite surface circulaire. Soit hfla hauteur du tronc, et H la hauteur du cône une fois terminé. Enfin, hcest la hauteur du petit cône qui a été coupé pour former le tronc.
Par conséquent, tout en utilisant la proportion, nous avons ,
Le volume du tronc est égal à la différence entre le volume du grand cône et le volume du petit cône coupé.
Mais,
Ainsi, le volume du tronc est de
Calcule le volume du tronc d'arbre ci-dessous
Solution
Nous écrivons les valeurs données,
Nous devons trouver la hauteur du cône plein et la hauteur du petit cône ;
en utilisant les proportions ;
Rappelle-toi que ;
Et ainsi de suite,
Utilise les proportions ;
Rappelle-toi que ;
Un cylindre a un rayon et une hauteur . Si un entonnoir conique ayant le même sommet circulaire et la même hauteur était placé dans le cylindre, trouve le volume de l'entonnoir.
Solution
On nous dit que le cône a la même hauteur et le même sommet circulaire que ceux du cylindre. Cela signifie que le volume du cône est un tiers du volume du cylindre.
Volume d'un cône - Points clés
Un cône est un solide tridimensionnel composé d'une base circulaire et d'une surface courbe continue qui se rétrécit jusqu'à une pointe appelée sommet.
Les deux types de cônes sont le cône circulaire droit et le cône circulaire oblique.
Un cône est le tiers d'un cylindre.
Le volume d'un cône est égal au tiers de la surface de la base circulaire multipliée par sa hauteur.
Le tronc de cône ou le cône tronqué a la pointe coupée.
How we ensure our content is accurate and trustworthy?
At StudySmarter, we have created a learning platform that serves millions of students. Meet
the people who work hard to deliver fact based content as well as making sure it is verified.
Content Creation Process:
Lily Hulatt
Digital Content Specialist
Lily Hulatt is a Digital Content Specialist with over three years of experience in content strategy and curriculum design. She gained her PhD in English Literature from Durham University in 2022, taught in Durham University’s English Studies Department, and has contributed to a number of publications. Lily specialises in English Literature, English Language, History, and Philosophy.
Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models’ (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.