Volume de la pyramide: Formules, Exemples

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Qu'est-ce qu'une pyramide ?

Les pyramides sont des objets tridimensionnels dont les côtés ou les surfaces sont triangulaires et qui se rejoignent au niveau d'une pointe appelée apex. Le nom "pyramide" évoque souvent les pyramides d'Égypte, qui sont l'une des sept merveilles du monde.

En géométrie, une pyramide est un polyèdre obtenu reliant une base polygonale à un point, appelé sommet.

Types de pyramides

Les pyramides sont de différents types en fonction de la forme de leur base. Une pyramide à base triangulaire est appelée pyramide triangulaire, et une pyramide à base rectangulaire est appelée pyramide rectangulaire. Les côtés d'une pyramide sont triangulaires et ils émergent de sa base. Ils se rejoignent tous en un point appelé sommet.

Volume des pyramides Une image montrant les différents types de pyramides StudySmarter Une image montrant les différents types de pyramides, Njoku - StudySmarter Originals

Quel est le volume d'une pyramide ?

Tu te demandes peut-être combien de blocs de sable peuvent constituer les pyramides égyptiennes. Le volume d'une pyramide est l'espace délimité par ses faces. En général, le volume d'une pyramide est le tiers de celui de son prisme correspondant. Son prisme correspondant a la même forme de base, les mêmes dimensions de base et la même hauteur. Ainsi, la formule générale pour calculer le volume d'une pyramide est la suivante ,

$V = \frac{1}{3} \times b h$

où ,

V est le volume de la pyramide

b est la surface de la base de la pyramide

h est la hauteur de la pyramide

Note qu'il s'agit de la formule générale pour le volume de toutes les pyramides. Les différences dans les formules sont basées sur la forme de la base de la pyramide.

Volume des pyramides rectangulaires

Le volume des pyramides rectangulaires peut être trouvé en multipliant un tiers de la surface de la base rectangulaire par la hauteur de la pyramide. Par conséquent :

$V o l u m e o f r e c \tan g u l a r p y r a m i d = \frac{1}{3} \times b a s e A r e a \times h e i g h t B a s e a r e a = l e n g t h \times b r e a d t h V o l u m e = \frac{1}{3} \times l \times b \times h$

où ;

l est la longueur de la base

b est la largeur de la base

h est la hauteur de la pyramide

Volume des pyramides Illustration des côtés d'une pyramide rectangulaire StudySmarter Illustration des faces d'une pyramide rectangulaire, Njoku - StudySmarter Originals

Cela signifie que le volume d'une pyramide rectangulaire est un tiers de celui du prisme rectangulaire correspondant.

Volume des pyramides à base carrée

Une pyramide à base carrée est une pyramide dont la base est un carré. Le volume des pyramides à base carrée peut être obtenu en multipliant un tiers de l'aire de la base carrée par la hauteur de la pyramide. Par conséquent :

$V o l u m e o f s q u a r e b a s e p y r a m i d = \frac{1}{3} \times b a s e A r e a \times h e i g h t B a s e a r e a = l e n g t h^{2} V o l u m e = \frac{1}{3} \times l^{2} \times h$

où ;

l est la longueur de la base carrée

h est la hauteur de la pyramide

Volume des pyramides Illustration des faces d'une pyramide à base carrée StudySmarter Illustration des faces d'une pyramide à base carrée, Njoku - StudySmarter Originals

Volume des pyramides à base triangulaire

Le volume des pyramides à base triangulaire peut être obtenu en multipliant un tiers de la surface de la base triangulaire par la hauteur de la pyramide. Par conséquent :

$V o l u m e o f t r i a n g u l a r b a s e p y r a m i d = \frac{1}{3} \times b a s e A r e a \times h e i g h t B a s e a r e a = \frac{1}{2} \times b a s e l e n g t h \times h e i g h t o f t r i a n g l e V o l u m e = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times b \times h_{t r i a n g l e} \times h_{p y r a m i d} V = \frac{1}{6} \times b \times h_{t r i a n g l e} \times h_{p y r a m i d}$

où ;

l est la longueur de la base

b est la longueur de la base triangulaire

_htriangle est la hauteur de la base triangulaire

_hpyramide est la hauteur de la pyramide

Volume des pyramides Illustration des côtés d'une pyramide triangulaire StudySmarter Illustration des faces d'une pyramide triangulaire, Njoku - StudySmarter Originals

Volume des pyramides hexagonales

Le volume des pyramides à base hexagonale peut être obtenu en multipliant un tiers de la surface de la base hexagonale par la hauteur de la pyramide. Par conséquent :

$V o l u m e o f t r i a n g u l a r b a s e p y r a m i d = \frac{1}{3} \times b a s e A r e a \times h e i g h t B a s e a r e a = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \times l e n g t h^{2} V o l u m e = \frac{1}{3} \times \frac{3 \sqrt{3}}{2} \times l^{2} \times h V o l u m e = \frac{\sqrt{3}}{2} \times l^{2} \times h$

Volume des pyramides Illustration des faces d'une pyramide hexagonale StudySmarter Illustration des faces d'une pyramide hexagonale, Njoku - StudySmarter Originals

Une pyramide de 15 pieds de haut a une base carrée de 12 pieds. Détermine le volume de la pyramide.

Solution

$V o l u m e o f s q u a r e b a s e p y r a m i d = \frac{1}{3} \times l^{2} \times h l = 12 f t h = 15 f t V = \frac{1}{3} \times 12^{2} \times 15 V = 5 \times 144 V = 720 f t^{3}$

Calcule le volume de la figure ci-dessous :

Composition d'une pyramide et d'un cuboïde

Solution

$T h e v o l u m e o f t h e f i g u r e = v o l u m e o f r e c t a n g u l a r p y r a m i d + v o l u m e o f r e c t a n g u l a r p r i s m V o l u m e o f r e c t a n g l a r p y r a m i d = \frac{1}{3} \times l \times b \times h l = 45 c m b = 20 c m h = 50 c m V o l u m e o f r e c t a n g l a r p y r a m i d = \frac{1}{3} \times 45 \times 20 \times 50 V o l u m e o f r e c t a n g l a r p y r a m i d = 15000 c m^{3} V o l u m e o f r e c t a n g u l a r p r i s m = l \times b \times h l = 45 c m b = 20 c m h = 40 c m V o l u m e o f r e c t a n g u l a r p r i s m = 45 \times 20 \times 40 V o l u m e o f r e c t a n g u l a r p r i s m = 36000 c m^{3} T h e v o l u m e o f t h e f i g u r e = v o l u m e o f r e c t a n g u l a r p y r a m i d + v o l u m e o f r e c t a n g u l a r p r i s m T h e v o l u m e o f t h e f i g u r e = 15000 + 36000 T h e v o l u m e o f t h e f i g u r e = 51000 c m^{3}$

Une pyramide hexagonale et une pyramide triangulaire sont de même capacité. Si sa base triangulaire a une longueur de 6 cm et une hauteur de 10 cm, calcule la longueur de chaque côté de l'hexagone lorsque les deux pyramides ont la même hauteur.

Solution

La première étape consiste à exprimer la relation sous forme d'équation.

D'après le problème, le volume de la pyramide triangulaire est égal au volume de la pyramide hexagonale.

Soit _bt l'aire de la base triangulaire et _bh l'aire de la base hexagonale.

Ensuite :

$V o l u m e o f t r i a n g u l a r p y r a m i d = V o l u m e o f h e x a g o n a l p y r a m i d \frac{b_{t} h}{3} = \frac{b_{h} h}{3}$

Multiplie les deux côtés de l'équation par 3 et divise par h.

$\frac{b_{t} h}{3} = \frac{b_{h} h}{3} \frac{b_{t} h}{3} \times \frac{3}{h} = \frac{b_{h} h}{3} \times \frac{3}{h} b_{t} = b_{h}$

Cela signifie que la base triangulaire et la base hexagonale ont la même surface.

Rappelle-toi que nous devons trouver la longueur de chaque côté de l'hexagone.

$b_{t} = \frac{1}{2} \times b a s e l e n g t h \times h e i g h t b a s e l e n g t h o f t r i a n g l e = 6 c m h e i g h t o f t r i a n g l e = 10 c m b_{h} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \times l^{2}$

Où l est la longueur du côté d'un hexagone.

Rappelle que _bt = _bh, donc ;

$\frac{1}{2} \times 6 \times 10 = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \times l^{2} \frac{1}{2} \times 6 \times 10 \times \frac{2}{3 \sqrt{3}} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \times l^{2} \times \frac{2}{3 \sqrt{3}} \frac{20}{\sqrt{3}} = l^{2}$

Prends les racines des deux côtés de l'équation.

$\sqrt{l^{2}} = \sqrt{11.547} l = 3.398 c m$

Ainsi, chaque côté de la base hexagonale mesure environ 3,4 cm.

Volume d'une pyramide - Principaux enseignements

Une pyramide est un objet tridimensionnel dont les côtés ou les surfaces sont triangulaires et se rejoignent en une pointe appelée apex.
Les différents types de pyramides sont basés sur la forme de leur base.
Le volume d'une pyramide est égal à un tiers de la surface de la base × la hauteur

Fiches dans Volume de la pyramide 2

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Qu'est-ce qui détermine le type de pyramide ?

La forme de la base

Une pyramide représente un tiers de son prisme correspondant.

Oui

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Questions fréquemment posées en Volume de la pyramide

Comment calcule-t-on le volume d'une pyramide ?

Pour calculer le volume d'une pyramide, on utilise la formule : V = (1/3) × base × hauteur.

Quelle est la formule pour trouver le volume d'une pyramide à base carrée ?

Pour une pyramide à base carrée, la formule est : V = (1/3) × (côté de la base)^2 × hauteur.

Le volume d'une pyramide dépend-il de sa forme de base ?

Oui, le volume dépend de la forme de la base et se calcule avec la formule V = (1/3) × aire de la base × hauteur.

Quelle est la différence entre le volume d'une pyramide et celui d'un prisme ?

Le volume d'une pyramide est un tiers de celui d'un prisme ayant la même base et hauteur.

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