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Vecteurs tridimensionnels

Lorsque tu regardes une feuille de papier ordinaire, tu ne fais attention qu'à ses deux dimensions, c'est-à-dire que tu ne regardes que la longueur et la largeur, peut-être parce qu'elle est si plate. Mais que se passe-t-il lorsqu'une boîte est placée devant toi ? Ta vision semble être passée à trois dimensions parce que tu ne considères pas seulement la longueur et la largeur, mais aussi la hauteur ou peut-être l'épaisseur de la boîte. Cet article explore les vecteurs tridimensionnels.

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Last Updated: 01.01.1970
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Qu'est-ce qu'un vecteur tridimensionnel ?

Les vecteurs tridimensionnels ou 3D sont des vecteurs qui sont représentés sur un plan ou un espace tridimensionnel et qui ont trois coordonnées telles que x, y et z.

Si nous imaginons un plan 3D avec les axes i, j et k (qui représentent respectivement les axes x, y et z), nous pouvons écrire un vecteur 3D comme la somme de ses composantes i, j et k.

Imagine un vecteur $\vec{A}$ qui part de l'origine (0,0,0) et va jusqu'aux coordonnées (3,2,5). Nous pourrions écrire ce vecteur comme suit

$\vec{A} = (3 i + 2 j + 5 k)$

Pour ce vecteur, la composante i serait 3, la composante j serait 2 et la composante k serait 5.

Quelles sont les coordonnées d'un vecteur 3D ?

Le vecteur tridimensionnel a trois coordonnées qui sont représentées sur les axes x, y et z. Rappelle que dans un plan à deux dimensions, tu as des coordonnées uniquement sur les axes x et y. Ainsi, dans un vecteur 2D, les coordonnées sont données sous la forme (x, y). Cependant, les coordonnées des vecteurs 3D sont données sous la forme (x, y, z)

Comment tracer un vecteur 3D ?

Commence par dessiner un ensemble d'axes. Tout d'abord, dessine l'axe vertical z. Perpendiculairement à celui-ci, dessine l'axe des y. Entre les axes z et y, dessine l'axe x. Note que les 3 axes sont perpendiculaires les uns aux autres.

Vecteurs tridimensionnels, axe tridimensionnel, StudySmarter

Axe tridimensionnel (math.brown.edu)

Après cela, place une échelle sur chaque axe et marque le point où arrive la tête du vecteur. Dessine ensuite une flèche entre l'origine et la tête du vecteur. Enfin, marque les coordonnées de la tête de la flèche.

Vecteurs tridimensionnels, vecteur 3D, StudySmarter Vecteur 3D

Matrice vectorielle 3D

Le vecteur peut également être écrit sous forme de matrice. Sous cette forme, nous pouvons écrire le vecteur sous la forme d'une matrice de trois lignes par une colonne. La première ligne est la composante i, la deuxième ligne est la composante j et la troisième ligne est la composante k.

Nous n'écrivons pas les termes x, y et z sous forme de matrice.

Si nous utilisons le vecteur $\vec{A}$ ci-dessus comme exemple, nous obtenons :

$\vec{A} = [\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 5 \end{matrix}]$

Nous pouvons combiner deux vecteurs pour trouver le produit en points de ces vecteurs.

Supposons que nous ayons un vecteur $\vec{A} = [\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix}]$ et un vecteur $\vec{B} = [\begin{matrix} d \\ e \\ f \end{matrix}]$ le produit point $\vec{A} \cdot \vec{B}$ peut être trouvé en suivant la méthode ci-dessous :

Étape 1 : Transposer le vecteur $\vec{A}$ c'est-à-dire le convertir d'un vecteur de 3 lignes par 1 colonne en un vecteur de 1 ligne par 3 colonnes.

Pour le vecteur $\vec{A} = [\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix}]$ , vecteur $\overset{\to t}{A} = [\begin{matrix} a & b & c \end{matrix}]$

Étape 2 : Écris le produit en points des deux vecteurs comme la multiplication des deux matrices.

$\vec{A} \cdot \vec{B} = [\begin{matrix} a & b & c \end{matrix}] [\begin{matrix} d \\ e \\ f \end{matrix}]$

Étape 3 : Effectue la multiplication de la matrice :

$\vec{A} \cdot \vec{B} = [\begin{matrix} a d + b e + c f \end{matrix}]$

Étape 4 : Simplifie la matrice. Tu devrais obtenir une matrice 1 par 1.

Soit le vecteur $\vec{A} = 3 i + 2 j + 2 k$ et le vecteur $\vec{B} = i + 2 j + k$ . Trouve le produit en points des vecteurs $\vec{A}$ et $\vec{B}$ .

Solution :

En écrivant les deux vecteurs sous forme de matrice, on obtient :

$\vec{A} = [\begin{matrix} 3 & 2 & 2 \end{matrix}]$ et $\vec{B} = [\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \end{matrix}]$

Étape 1 :

$\overset{\to t}{A} = [\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}]$

Étape 2 :

$\vec{A} \cdot \vec{B} = [\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \end{matrix}]$

Étape 3 :

$\vec{A} \cdot \vec{B} = [\begin{matrix} 3 + 4 + 2 \end{matrix}]$

Étape 4 :

$\vec{A} \cdot \vec{B} = 9$

Quelles sont les équations vectorielles 3D ?

Il existe essentiellement deux équations 3D principales. Cependant, une troisième équation, qui est l'angle entre les vecteurs 3D, est dérivée de ces deux équations principales. Les deux principales équations sont le produit de points et la magnitude d'une équation vectorielle 3D.

Produit de points des vecteurs 3D

Pour deux vecteurs 3D déterminés A (_x1, _y1, _z1) et B (_x2, _y2, _z2) représentés sous forme de vecteur

$x_{1} i + y_{1} j + z_{1} k$

$x_{2} i + y_{2} j + z_{2} k$

Le produit en points est

$\vec{A} \cdot \vec{B} = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} + z_{1} z_{2}$

Trouve le produit des vecteurs G et K situés à (-1, 2, 3) et (0, 5, 1) d'un plan.

Solution :

En appliquant la formule du produit de points

$\vec{A} \cdot \vec{B} = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} + z_{1} z_{2}$

Alors ,

$\vec{G} \cdot \vec{K} = (- 1 \times 0) + (2 \times 5) + (3 \times 1) \vec{G} \cdot \vec{K} = 0 + 10 + 3 \vec{G} \cdot \vec{K} = 13$

Magnitude d'un vecteur 3D

La magnitude d'un vecteur tridimensionnel se calcule à l'aide du théorème de Pythagore étendu. Rappelle que le théorème de Pythagore s'applique sachant que les axes x et y sont perpendiculaires, note que l'axe z supplémentaire en 3D est perpendiculaire à la fois à l'axe x et à l'axe y. Par conséquent, pour calculer la magnitude d'un certain vecteur 3D A (_x1, _y1, _z1) qui est représenté sous la forme d'un vecteur.

$x_{1} i + y_{1} j + z_{1} k$

appliquer

$|A| = \sqrt{{x_{1}}^{2} + {y_{1}}^{2} + {z_{1}}^{2}}$

Trouve la magnitude du vecteur C donné par $3 i - 2 j + k$

Solution :

Puisque la magnitude d'un vecteur $x_{1} i + y_{1} j + z_{1} k$ est calculée comme suit

$|A| = \sqrt{{x_{1}}^{2} + {y_{1}}^{2} + {z_{1}}^{2}}$

Alors la magnitude du vecteur C est

$|C| = \sqrt{3^{2} + {(- 2)}^{2} + 1^{2}} |C| = \sqrt{9 + 4 + 1} |C| = \sqrt{14}$

Comment calcule-t-on l'angle entre des vecteurs 3D ?

Pour trouver l'angle entre deux vecteurs 3D correspondants, utilise la formule ci-dessous :

$θ = \cos^{- 1} (\frac{a \cdot b}{|a| |b|})$

Vecteurs en 3 dimensions Illustration de l'angle entre deux vecteurs en 3D StudySmarter Originals Une illustration de l'angle entre deux vecteurs en 3D, StudySmarter Originals.

Où $θ$ est l'angle entre les vecteurs a et b, $a \cdot b$ est le produit en points des vecteurs a et b, et où $|a|$ et $|b|$ sont les magnitudes respectives du vecteur a et du vecteur b.

Trouve la magnitude du vecteur voyageant de l'origine aux coordonnées (2,1,2).

Solution :

Le vecteur peut être écrit comme suit

$\vec{A} = 2 i + j + 2 k$

En utilisant l'équation ci-dessus :

$|a| = \sqrt{2^{2} + 1^{2} + 2^{2}}$

$|a| = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9}$

Par conséquent :

$|a| = 3$

La magnitude du vecteur est de 3 unités.

Nous pouvons maintenant combiner tout ce que nous avons appris pour trouver l'angle entre deux vecteurs !

Trouve l'angle entre les vecteurs $\vec{A} = 2 i + 3 j + k$ et le vecteur $\vec{B} = i + 4 j + 5 k$ .

Solution :

Ecris la forme matricielle de ces vecteurs :

$\vec{A} = [\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}]$

$\vec{B} = [\begin{matrix} 1 \\ 4 \\ 5 \end{matrix}]$

Ecris le vecteur $\vec{A}$ sous forme de transcription :

$\overset{\to t}{A} = [\begin{matrix} 2 & 3 & 1 \end{matrix}]$

Par conséquent :

$\vec{A} \cdot \vec{B} = [\begin{matrix} 2 & 3 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 \\ 4 \\ 5 \end{matrix}]$

$\vec{A} \cdot \vec{B} = [\begin{matrix} 2 + 12 + 5 \end{matrix}] = 19$

La magnitude du vecteur $\vec{A}$ est :

$|A| = \sqrt{2^{2} + 3^{2} + 1^{2}} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}$

La magnitude du vecteur $\vec{B}$ est :

$|B| = \sqrt{1^{2} + 4^{2} + 5^{2}} = \sqrt{42}$

Puisque :

$θ = \cos^{- 1} \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|A| |B|}$

D'où :

$θ = \cos^{- 1} (\frac{19}{\sqrt{14} \sqrt{42}}) = 38.41 ° (2 d . p .)$

Vecteurs à 3 dimensions - Principaux enseignements

Les vecteurs 3D ont des valeurs i, j et k pour leurs axes x, y et z respectivement.
Les vecteurs 3D peuvent être écrits sous forme de matrice.
Sous cette forme, nous pouvons trouver le produit en points de deux vecteurs en effectuant une multiplication matricielle.
En trouvant également la magnitude de ces vecteurs grâce à une version étendue du théorème de Pythagore, nous pouvons trouver l'angle entre ces vecteurs.
La représentation graphique des vecteurs consiste à dessiner les axes, les coordonnées où le vecteur se termine et commence, et à tracer une ligne reliant les deux points.

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Questions fréquemment posées en Vecteurs tridimensionnels

Qu'est-ce qu'un vecteur tridimensionnel?

Un vecteur tridimensionnel est un objet mathématique représentant une quantité ayant à la fois une direction et une magnitude dans un espace à trois dimensions.

Comment additionner des vecteurs tridimensionnels?

Pour additionner des vecteurs tridimensionnels, additionnez leurs composantes correspondantes. Si A = (a1, a2, a3) et B = (b1, b2, b3), alors A + B = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3).

Comment calculer le produit scalaire de deux vecteurs tridimensionnels?

Le produit scalaire de deux vecteurs A = (a1, a2, a3) et B = (b1, b2, b3) se calcule en utilisant a1*b1 + a2*b2 + a3*b3.

Comment trouver l'angle entre deux vecteurs tridimensionnels?

Pour trouver l'angle entre deux vecteurs, utilisez la formule: cos(θ) = (A · B) / (|A| |B|) où (A · B) est le produit scalaire et |A|, |B| sont les normes des vecteurs.

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