Vecteurs : définition
D'un point de vue géométrique, un vecteur est une grandeur qui possède à la fois une magnitude (appelée norme) et une direction.
Nous pouvons contraster le concept de vecteur avec le concept de scalaire, qui a une magnitude, mais aucune direction spécifiée.
Comme un vecteur dispose d'une direction, nous représentons souvent un vecteur par une lettre avec une flèche au-dessus, par exemple \(\vec{u}\). Il est également possible de désigner un vecteur par son point de départ et son point d'arrivée. Par exemple, \(\overrightarrow{AB}\) est le vecteur qui représente le mouvement du point \(A\) au point \(B\).
Fig. 1 - Une représentation graphique du vecteur \(\vec{u}\)
Fig. 2 - Le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) représente le déplacement du point \(A\) au point \(B\)
Nous pouvons également représenter un vecteur grâce à ses coordonnées, aussi appelées ses composantes.
Le vecteur \(\vec{u}\) évoqué dans l'exemple précédent peut également s'écrire \(\begin{bmatrix} 4 \\ 2 \end{bmatrix}\) ou \( \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}\), car il représente un mouvement de \(4\) vers la droite et \(2\) vers le haut.
Il est également possible de définir un vecteur à l'aide d'une base de vecteurs. De façon informelle, une base de vecteurs est une collection des vecteurs qui nous permettent de définir d'autres vecteurs.
Considérons la base de vecteurs \((\hat{i}, \hat{j})\), où \(\hat{i} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) et \(\hat{j}= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\).
Autrement dit, \(\hat{i}\) et \(\hat{j}\) représentent des déplacements d'une unité vers la droite et vers le haut, respectivement.
Nous pouvons alors écrire \(\vec{u} = 4 \hat{i} + 2 \hat{j}\).
Le concept de base vient de l'algèbre linéaire. Il s'agit d'une famille de vecteurs libre et génératrice. Les vecteurs sont l'un des objets principaux de l'algèbre linéaire. Dans ce domaine de mathématiques, les vecteurs sont plutôt considérés en tant que grandeur multidimensionnelle, les dimensions étant ses composantes.
Vecteurs égaux
Deux vecteurs sont égaux :
- s'ils ont la même norme et la même direction ;
- ou si leurs composantes sont identiques.
Les vecteurs \(\vec{u} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} \) et \(\vec{v} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}\) sont des vecteurs égaux.
Nous pouvons également observer des vecteurs égaux graphiquement.
Dans l'image ci-dessous les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont des vecteurs égaux : \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\). En revanche, \(\overrightarrow{AB} \neq \overrightarrow{DC}\), car \(\overrightarrow{DC}\) représente le mouvement dans le sens opposé.
Fig. 3 - Les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont égauxCalcul vectoriel
Nous présentons ici quelques concepts de base du calcul vectoriel. Ces concepts permettent de comprendre les généralités sur les vecteurs. Pour aller plus loin, n'hésite pas à consulter notre résumé de cours au sujet du calcul vectoriel.
Nous pouvons faire la somme, la différence et le produit des vecteurs. Pour faire la somme (ou la différence) des vecteurs, nous faisons la somme (ou différence) composante par composante.
Peux-tu calculer la somme des vecteurs \(\vec{u} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} \) et \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 4 \\ - 2 \end{pmatrix}\) ?
\(\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ - 2 \end{pmatrix}\)
\(\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} -1 + 4 \\ 2 + (-2) \end{pmatrix}\)
\(\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}\)
Pour les vecteurs, la notion de produit est plus délicate. Il y a trois façons communes de multiplier des vecteurs :
Nous ne détaillerons que le premier dans ce résumé de cours. Pour en savoir plus sur les autres façons de multiplier des vecteurs, n'hésite pas à consulter les résumés de cours à ces sujets.
Pour multiplier un vecteur \(\vec{u}\) par un scalaire \(k\), nous multiplions chaque composante de \(\vec{u}\) par \(k\). Le résultat est alors noté \(k\vec{u}\).
Si \(k = 5\) est \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ - 2 \end{pmatrix}\), peux-tu donner le vecteur \(k\vec{u}\) ?
\(k\vec{u} = \begin{pmatrix} 5 \times 1 \\ 5 \times - 2 \end{pmatrix}\)
\(k\vec{u} = \begin{pmatrix} 5 \\ -10 \end{pmatrix}\)
La multiplication d'un vecteur par un scalaire nous permet de définir les vecteurs colinéaires.
Vecteurs colinéaires
Deux vecteurs sont colinéaires si l'un des vecteurs est un multiple de l'autre. Autrement dit, les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires s'il existe un réel non-nul \(k\) tel que \(\vec{u} = k \vec{v}\).
Les vecteurs \(\vec{u} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} \) et \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix}\), sont-ils colinéaires ?
Oui, car \(\vec{v} = -2\vec{u}\).
Géométriquement, cela signifie qu'un vecteur est un agrandissement ou une réduction de l'autre. Garde bien à l'esprit que les vecteurs colinéaires sont parallèles.
Les vecteurs ci-dessous sont colinéaires.
Fig. 4 - Des vecteurs colinéaires sont parallèles
Vecteurs coplanaires
Les vecteurs coplanaires sont des vecteurs appartenant à un même plan.
En deux dimensions, tous les vecteurs sont coplanaires. Ainsi, nous n'employons cette définition que lorsque nous travaillons en trois dimensions. Pour déterminer si trois vecteurs \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\) sont coplanaires, il faut déterminer s'il existe des réels \(a,b,c\) tels que \(a\vec{u} + b\vec{v} + c\vec{w} = \vec{0}\), où \(\vec{0}\) est le vecteur nul, dont toutes les composantes sont nulles.
Cette condition équivaut à trouver des réels \(a', b'\) tels que \(\vec{w} = a'\vec{u} + b'\vec{v}\).
Les vecteurs \(\vec{u} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \), \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 4 \\ - 2 \\ 1 \end{pmatrix}\) et \(\vec{w} = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}\), sont-ils coplanaires ?
Il s'agit bien de vecteurs coplanaires. En effet, nous avons :
\(\vec{u} + \vec{v} -\frac{1}{2}\vec{w} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ - 2 \\ 1 \end{pmatrix} - \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}\)
\(\vec{u} + \vec{v} -\frac{1}{2} \vec{w} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} -\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}\)
\(\vec{u} + \vec{v} -\frac{1}{2} \vec{w} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \)
Vecteurs - Points clés
- Un vecteur est une grandeur ayant une magnitude et une direction, qui peut être représentée avec une base de vecteurs ou des composantes, ou encore graphiquement.
- Nous pouvons dire que deux vecteurs sont égaux lorsqu'ils ont la même norme et la même direction, ou de façon équivalente, si leurs composantes sont identiques.
- Le calcul vectoriel fournit des règles pour la somme, la différence et le produit des vecteurs. Il y a trois types de multiplication, couramment utilisés pour les vecteurs.
- Deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires s'il existe un réel non-nul \(k\) tel que \(\vec{u} = k \vec{v}\).
- Les vecteurs coplanaires sont des vecteurs appartenant à un même plan.
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