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Sais-tu qu'en physique la vitesse est appelée une grandeur vectorielle ? Cela veut dire que nous devons prendre en compte la magnitude et la direction de la vitesse. Les vecteurs peuvent représenter plusieurs quantités réelles, mais sont également nécessaires pour l'étude approfondie des mathématiques fondamentales. Dans ce résumé de cours, tu trouveras d'abord une définition des vecteurs. Par la suite, nous expliquerons le concept de l'égalité pour des vecteurs, ainsi que certains aspects du calcul vectoriel. Enfin, nous détaillerons d'autres concepts associés aux vecteurs : la colinéarité et la coplanarité.
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Le vecteur \(\begin{bmatrix} -5 \\ 1 \end{bmatrix}\) peut représenter un déplacement de \(5\) vers la droite et \(1\) vers le haut.
Des vecteurs colinéaires sont forcément parallèles.
Pour faire la somme de deux vecteurs, nous faisons la somme des composantes correspondantes.
Pour faire le produit de deux vecteurs, nous faisons le produit des composantes correspondantes.
Nous pouvons spécifier un vecteur à l'aide d'une base de vecteurs.
Nous pouvons diviser un vecteur par un autre vecteur.
Le vecteur \(\begin{bmatrix} -5 \\ 1 \end{bmatrix}\) peut représenter un déplacement de \(5\) vers la droite et \(1\) vers le haut.
Des vecteurs colinéaires sont forcément parallèles.
Pour faire la somme de deux vecteurs, nous faisons la somme des composantes correspondantes.
Pour faire le produit de deux vecteurs, nous faisons le produit des composantes correspondantes.
Nous pouvons spécifier un vecteur à l'aide d'une base de vecteurs.
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Équipe enseignants Vecteurs
D'un point de vue géométrique, un vecteur est une grandeur qui possède à la fois une magnitude (appelée norme) et une direction.
Nous pouvons contraster le concept de vecteur avec le concept de scalaire, qui a une magnitude, mais aucune direction spécifiée.
Comme un vecteur dispose d'une direction, nous représentons souvent un vecteur par une lettre avec une flèche au-dessus, par exemple \(\vec{u}\). Il est également possible de désigner un vecteur par son point de départ et son point d'arrivée. Par exemple, \(\overrightarrow{AB}\) est le vecteur qui représente le mouvement du point \(A\) au point \(B\).
Fig. 1 - Une représentation graphique du vecteur \(\vec{u}\)
Fig. 2 - Le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) représente le déplacement du point \(A\) au point \(B\)
Nous pouvons également représenter un vecteur grâce à ses coordonnées, aussi appelées ses composantes.
Le vecteur \(\vec{u}\) évoqué dans l'exemple précédent peut également s'écrire \(\begin{bmatrix} 4 \\ 2 \end{bmatrix}\) ou \( \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}\), car il représente un mouvement de \(4\) vers la droite et \(2\) vers le haut.
Il est également possible de définir un vecteur à l'aide d'une base de vecteurs. De façon informelle, une base de vecteurs est une collection des vecteurs qui nous permettent de définir d'autres vecteurs.
Considérons la base de vecteurs \((\hat{i}, \hat{j})\), où \(\hat{i} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) et \(\hat{j}= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\).
Autrement dit, \(\hat{i}\) et \(\hat{j}\) représentent des déplacements d'une unité vers la droite et vers le haut, respectivement.
Nous pouvons alors écrire \(\vec{u} = 4 \hat{i} + 2 \hat{j}\).
Le concept de base vient de l'algèbre linéaire. Il s'agit d'une famille de vecteurs libre et génératrice. Les vecteurs sont l'un des objets principaux de l'algèbre linéaire. Dans ce domaine de mathématiques, les vecteurs sont plutôt considérés en tant que grandeur multidimensionnelle, les dimensions étant ses composantes.
Deux vecteurs sont égaux :
Les vecteurs \(\vec{u} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} \) et \(\vec{v} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}\) sont des vecteurs égaux.
Nous pouvons également observer des vecteurs égaux graphiquement.
Dans l'image ci-dessous les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont des vecteurs égaux : \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\). En revanche, \(\overrightarrow{AB} \neq \overrightarrow{DC}\), car \(\overrightarrow{DC}\) représente le mouvement dans le sens opposé.
Fig. 3 - Les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont égauxNous présentons ici quelques concepts de base du calcul vectoriel. Ces concepts permettent de comprendre les généralités sur les vecteurs. Pour aller plus loin, n'hésite pas à consulter notre résumé de cours au sujet du calcul vectoriel.
Nous pouvons faire la somme, la différence et le produit des vecteurs. Pour faire la somme (ou la différence) des vecteurs, nous faisons la somme (ou différence) composante par composante.
Peux-tu calculer la somme des vecteurs \(\vec{u} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} \) et \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 4 \\ - 2 \end{pmatrix}\) ?
\(\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ - 2 \end{pmatrix}\)
\(\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} -1 + 4 \\ 2 + (-2) \end{pmatrix}\)
\(\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}\)
Pour les vecteurs, la notion de produit est plus délicate. Il y a trois façons communes de multiplier des vecteurs :
la multiplication par un scalaire ;
le produit scalaire ;
et le produit vectoriel.
Nous ne détaillerons que le premier dans ce résumé de cours. Pour en savoir plus sur les autres façons de multiplier des vecteurs, n'hésite pas à consulter les résumés de cours à ces sujets.
Pour multiplier un vecteur \(\vec{u}\) par un scalaire \(k\), nous multiplions chaque composante de \(\vec{u}\) par \(k\). Le résultat est alors noté \(k\vec{u}\).
Si \(k = 5\) est \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ - 2 \end{pmatrix}\), peux-tu donner le vecteur \(k\vec{u}\) ?
\(k\vec{u} = \begin{pmatrix} 5 \times 1 \\ 5 \times - 2 \end{pmatrix}\)
\(k\vec{u} = \begin{pmatrix} 5 \\ -10 \end{pmatrix}\)
La multiplication d'un vecteur par un scalaire nous permet de définir les vecteurs colinéaires.
Deux vecteurs sont colinéaires si l'un des vecteurs est un multiple de l'autre. Autrement dit, les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires s'il existe un réel non-nul \(k\) tel que \(\vec{u} = k \vec{v}\).
Les vecteurs \(\vec{u} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} \) et \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix}\), sont-ils colinéaires ?
Oui, car \(\vec{v} = -2\vec{u}\).
Géométriquement, cela signifie qu'un vecteur est un agrandissement ou une réduction de l'autre. Garde bien à l'esprit que les vecteurs colinéaires sont parallèles.
Les vecteurs ci-dessous sont colinéaires.
Fig. 4 - Des vecteurs colinéaires sont parallèles
Les vecteurs coplanaires sont des vecteurs appartenant à un même plan.
En deux dimensions, tous les vecteurs sont coplanaires. Ainsi, nous n'employons cette définition que lorsque nous travaillons en trois dimensions. Pour déterminer si trois vecteurs \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\) sont coplanaires, il faut déterminer s'il existe des réels \(a,b,c\) tels que \(a\vec{u} + b\vec{v} + c\vec{w} = \vec{0}\), où \(\vec{0}\) est le vecteur nul, dont toutes les composantes sont nulles.
Cette condition équivaut à trouver des réels \(a', b'\) tels que \(\vec{w} = a'\vec{u} + b'\vec{v}\).
Les vecteurs \(\vec{u} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \), \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 4 \\ - 2 \\ 1 \end{pmatrix}\) et \(\vec{w} = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}\), sont-ils coplanaires ?
Il s'agit bien de vecteurs coplanaires. En effet, nous avons :
\(\vec{u} + \vec{v} -\frac{1}{2}\vec{w} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ - 2 \\ 1 \end{pmatrix} - \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}\)
\(\vec{u} + \vec{v} -\frac{1}{2} \vec{w} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} -\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}\)
\(\vec{u} + \vec{v} -\frac{1}{2} \vec{w} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \)
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Comment définir un vecteur ?
Nous pouvons définir un vecteur comme étant une grandeur qui possède à la fois une magnitude et une direction.
Comment comprendre les vecteurs en maths ?
Tu peux comprendre les vecteurs en maths comme des objets qui représentent des déplacements. Les vecteurs ont donc une distance (ou longueur) et une direction.
Quelle est la différence entre un vecteur et un scalaire ?
La différence entre un vecteur et un scalaire est qu'un vecteur possède une direction, alors qu'un scalaire n'a pas de direction.
Quelle est la longueur d'un vecteur ?
La longueur d'un vecteur est appelée sa norme, et se calcule à l'aide du théorème de Pythagore.
Quand est-ce qu'un vecteur est nul ?
Un vecteur est nul quand toutes ses composantes sont 0.
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Lily Hulatt is a Digital Content Specialist with over three years of experience in content strategy and curriculum design. She gained her PhD in English Literature from Durham University in 2022, taught in Durham University’s English Studies Department, and has contributed to a number of publications. Lily specialises in English Literature, English Language, History, and Philosophy.
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Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models’ (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.
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