Ne t'inquiète pas, personne ne se fera tirer dessus ici, tu iras plutôt au-delà des balles puisque la signification, l'identification, l'application, la formule ainsi que des exemples de polygonesa> similaires seront abordés plus loin. Chargez, visez et tirez avec des "pistolets à polygones".
Signification des polygones similaires
Les polygones semblables peuvent être décrits comme des figures bidimensionnelles qui ont la même forme mais dont la taille varie.
Leurs sommets peuvent être appariés de telle sorte que les côtés correspondants aient des longueurs proportionnelles et que toutes les paires d'angles correspondants soient égales.
Ces deux facteurs définissent en fait leur forme.
Tu trouves ces paires de côtés et d'angles en regardant simplement la forme ou en notant les étiquettes des sommets. Les angles sont congruents et la relation directement proportionnelle des côtés en est la conséquence.
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Polygone-Polygone-Polygun !!! Qu'est-ce qu'un polygone ?
Un polygone est une figure plane composée d'au moins 3 lignes droites ou côtés avec pas moins de 3 angles. Cela signifie qu'un cercle ne peut pas être un polygone puisqu'il est incurvé.
Tous les polygones congruents sont semblables car ils ont les mêmes angles et leurs côtés sont égaux, et sont donc dans le même rapport de proportionnalité l'un par rapport à l'autre. De plus, si deux polygones réguliers ont le même nombre de côtés, ils seront toujours similaires car ils ont les mêmes angles. Par exemple, tous les triangles équilatéraux sont similaires, car ils ont tous les trois mêmes angles et donc la même forme. Il est clair que les polygones resteront similaires sous l'effet de la réflexion, de la translation et de l'agrandissement.
Lequel des éléments suivants est un polygone ?
Fig. 1. Identification des polygones.
Solution :
La figure \(i\) est manifestement un polygone étant donné les lignes droites et le fait qu'elle ait plus de 3 côtés. De même, \(iii\) est un polygone même s'il y a plusieurs côtés ; le nombre de côtés n'a pas d'importance tant qu'il y a 3 côtés ou plus. Cependant, \(ii\) n'est pas un polygone car son coin supérieur droit présente une courbe.
Par conséquent, seules les figures \(i\) et \(iii\) sont des polygones.
Identifier les polygones similaires
Lorsque tu fais des diagrammes pour des polygones semblables, il faut faire très attention à l'étiquetage des sommets et à l'ordre de ces étiquettes. Elles t'aident à identifier les côtés des polygones qui se correspondent. Les polygones seront nommés par des lettres faisant le tour des sommets en questions, les deux premières lettres de chacun représenteront le côté entre ces sommets pour chaque polygone et ces côtés ont un rapport de proportionnalité. Il en va de même pour toutes les autres paires de lettres placées à des endroits différents dans les noms. Par exemple, considère les deux polygones similaires ci-dessous :
Fig. 2. Diagrammes de deux quadrilatères similaires.
La similitude des polygones \N(ABCD\N) et \N(WXYZ\N) peut être écrite comme \N[ABCD \Nsim WXYZ\N] Les longueurs des côtés correspondants de chaque polygone ont la même relation proportionnelle entre eux : un côté sur \N(WXYZ\N) est une constante multipliée par la longueur du côté correspondant sur \N(ABCD\N) :
\[\frac{AB}{WX}=\frac{BC}{XY}=\frac{CD}{YZ}=\frac{DA}{ZW}\]
Comme indiqué précédemment, cela vient du fait que les angles aux sommets correspondants de chaque polygone sont les mêmes :
\[\N-angle A =\Nangle W ; \N-angle B =\Nangle X ; \N-angle C =\Nangle Y ; \N-angle D =\Nangle Z \N].
Application des polygones semblables
Il existe plusieurs utilisations du concept de polygones semblables, et l'une des principales applications consiste à trouver les côtés et les angles manquants.
Utilisation des polygones semblables pour trouver les angles et les côtés manquants
Si l'on sait que deux polygones sont semblables, on peut s'en servir pour calculer les valeurs des côtés et des angles inconnus. Les côtés doivent satisfaire à la relation de proportionnalité des polygones similaires et l'angle d'un sommet d'un polygone doit être égal à l'angle du sommet équivalent de l'autre polygone.
Les deux quadrilatères ABCD et WXYZ de la figure 1 sont similaires. La longueur de \N(AB\N) est de \N(5\Ncm), la longueur de \N(WX\N) est de \N(7,5\Ncm) et la longueur de \N(CD\N) est de \N(6\Ncm). Quelle est la longueur de \N(YZ\N) ?
Solution :
Nous savons que les rapports des côtés correspondants de chaque polygone doivent être égaux :
\[\frac{WX}{AB}=\frac{YZ}{CD}=1.5\]
\N- [YZ=1,5 fois CD]
sachant que \N(CD\N) est \N(6\N, \Ntext{cm}\N), d'où ,
\N- [YZ=1,5 fois 6\N, \Ntext{cm}=9\N, \Ntext{cm}\N].
Cette question se réfère à nouveau à la figure 1. Le polygone ABCD a des angles aux sommets A, B et C de 80°, 110° et 105° respectivement. Quel est l'angle \N(Z\N) dans le polygone \N(WXYZ\N) ?
Solution :
Nous savons que la somme des angles intérieurs d'un quadrilatère est égale à \(360°\). Cela donne l'angle à \(D\) :
\[\angle D=360°-80°-110°-105°=65°\]
De plus, les deux polygones sont similaires et le sommet \N(D\N) correspond au sommet \N(Z\N) dans \N(WXYZ\N), ils sont donc égaux :
\[\N-angle Z=65°]
Utilisation des polygones semblables pour déterminer d'autres propriétés des polygones
Ces deux exemples précédents montrent comment les propriétés des Triangles semblables peuvent être utilisées pour trouver les côtés et les angles manquants individuellement. Les techniques ci-dessus peuvent être utilisées ensemble pour trouver d'autres propriétés des polygones telles que leur hauteur, leur périmètre et leur surface.
Fig. 3. Diagrammes montrant deux quadrilatères similaires. Les angles aux sommets \N(B\N), \N(C\N), \N(F\N) et \N(G\N) sont tous des angles droits.
Deux quadrilatères similaires sont représentés ci-dessus. Trouve la longueur de \(FG\) et aussi la surface de \(EFGH\).
Solution :
D'après la forme des quadrilatères, le côté DA correspond à HE et le côté CD à GH. Cela signifie que les rapports de ces paires sont égaux :
\[\frac{HE}{DA}=\frac{GH}{CD}=\frac{6}{3}=2\]
Ce qui donne :
\N- [HE=2\Nfois DA\N]
Sachant que \(DA\) est \(2\, \text{cm}\), d'où ,
\N- HE=2 fois 2\N, \Ntext{cm}=4\N, \Ntext{cm}\N]
Le sommet \(D\) correspond au sommet \(H\) donc leurs angles doivent être égaux :\[\N-angle H=\Nangle D=30°\N].
En utilisant une simple trigonométrie, la longueur de \(FG\) peut être calculée :
\[FG=4\, \text{cm} \times \sin(30°)=2\, \text{cm}\].
Pour trouver la surface du quadrilatère, on peut le diviser en deux en traçant une ligne perpendiculaire de la base \N(GH\N) au point \N(E\N) pour former un triangle à gauche et un rectangle à droite.
Fig. 4. Diagramme montrant comment le quadrilatère \(EFGH\) peut être divisé en un triangle et un rectangle en traçant une ligne vers le bas à partir du point \(E\) qui est perpendiculaire à la base \(GH\).
Le côté \N(EH\N) étant connu, la valeur de \N(x\N) peut être calculée :
\[x=4\, \text{cm} \times \cos(30°)=2\times\sqrt{3}\, \text{cm}\].
Notez que \[\cos(30°)=\frac{\sqrt{3}}{2}\]
La surface du triangle, \N(A_T\N), est égale à la moitié de la base multipliée par la hauteur, où la hauteur est la longueur de \N(FG\N) et la base est égale à \N(x\N).
\[A_T=\frac{x\times FG}{2}\]
où \(x\) est \(2\sqrt{3}\, \text{cm}\) et \(FG\) est \(2\, \text{cm}\), alors,
\[A_T=\frac{2\sqrt{3}\, \text{cm} \N- fois 2\N, \Ntext{cm}}{2}=2\sqrt{3}\N, \Ntext{cm}^2\N]
La surface du rectangle, \(A_R\), peut être calculée en trouvant la longueur de la base moins \(x\) et en multipliant cette quantité par la longueur de \(FG\). Par conséquent ,
\N- A_R=(GH-x)\Nfois FG\N]
ce qui donne
\[A_R=(6-2\sqrt{3})\, \text{cm} \Nfois 2\N, \Ntext{cm}=(12-4\sqrt{3})\N, \Ntext{cm}^2\N]
Les deux surfaces peuvent ensuite être additionnées pour obtenir la surface totale du quadrilatère, \(A_Q\) :
\N-[A_Q=A_T+A_R\N]
donc,
\[A_Q=2\sqrt{3}\, \text{cm}^2+12-4\sqrt{3}\, \text{cm}^2=(12-2\sqrt{3})\, \text{cm}^2\]
donc,
\N- [A_Q=8.53\N, \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N^2]
Formule de polygone similaire
La plupart du temps, il est plus facile d'avoir la formule de certains sujets afin de pouvoir les appliquer facilement en cas de problème. Contrairement à ces sujets, il n'y a pratiquement pas de formule que l'on puisse attribuer à la recherche d'un polygone semblable. Il t'est conseillé de prendre en compte deux principes, à savoir la proportion des côtés correspondants et la taille des angles correspondants.
Cependant, en effectuant certaines tâches qui impliquent l'application de polygones semblables, tu peux être amené à former des équations.
Former des équations simples pour trouver les côtés manquants
Il peut arriver que tous les côtés d'un des deux polygones semblables soient inconnus. Cependant, si la longueur des côtés est donnée par des quantités qui sont liées, alors la relation directement proportionnelle entre les côtés des polygones peut être utilisée pour former une équation et trouver les longueurs inconnues.
Fig. 5. Deux triangles semblables dont le plus petit a des côtés inconnus.
Solution :
Le diagramme ci-dessus montre les triangles similaires \N(ABC\N) et \N(XYZ\N). Trouve la valeur de \(x\).
Le rapport entre les côtés correspondants de chaque triangle doit être égal. D'après les noms des triangles (essaie de les regarder de près), le côté \N(XY\N) sera proportionnel à \N(AB\N) et le côté \N(YZ\N) sera proportionnel à \N(BC\N) :
\[\frac{XY}{AB}=\frac{YZ}{BC}\]
Cette équation peut être réarrangée de telle sorte que, si les valeurs sont introduites, l'un des côtés sera complètement en termes de \(x\) :
\N[XY\Nfois BC=AB\Nfois YZ\N]
ce qui donne
\N- 12x=8x+8\N]
Rapproche les termes similaires et résous \(x\) pour obtenir
\[x=2\]
Former des équations quadratiques pour trouver les côtés manquants
Il peut également arriver que tous les côtés de deux polygones similaires soient inconnus. Cela peut encore être résolu si tous les côtés sont en termes de la même quantité inconnue. Les rapports des côtés correspondants de chaque polygone peuvent être égaux entre eux pour former une équation quadratique de cette quantité inconnue.
Cela donnera deux solutions, mais il est toujours important de se rappeler qu'une longueur ne peut pas être négative et que les solutions qui en résultent pour l'un des côtés doivent être ignorées.
Jette un coup d'œil à l'exemple ci-dessous.
Fig. 6. Diagrammes montrant deux quadrilatères similaires dont les côtés ont des longueurs inconnues en termes de \(x\).
Le diagramme ci-dessus montre deux quadrilatères similaires : ABCD et PQRS. Trouve la valeur de \(x\).
Solution :
La même méthode que celle utilisée précédemment peut à nouveau être appliquée à ce problème. L'ordre des lettres dans les noms nous donne les côtés correspondants. Les côtés \N(BC\N) et \N(QR\N) forment une paire, tout comme les côtés \N(CD\N) et \N(RS\N). La mise en équation des rapports pour ces paires de côtés donne :
\[\frac{BC}{QR}=\frac{CD}{RS}\]
Une équation quadratique pour \(x\) peut être trouvée en multipliant le dénominateur d'un côté de l'équation par le numérateur de l'autre côté et vice versa :
\N[BC\Nfois RS=QR\Nfois CD\N]
ce qui donne
\[2x(x-1)=(x+3)(x+1)\]
\N- [2x^2-2x=x^2+4x+3\N]
ce qui te donne l'équation quadratique
\N-[x^2-6x-3=0\N]
Cette équation ne se factorise pas facilement, il est donc conseillé de résoudre \(x\) en appliquant la méthode du carré complet ou en utilisant la formule quadratique.
Dans ce cas, nous allons appliquer la formule quadratique.
Rappelle que dans la formule quadratique, pour une équation quadratique de la forme
\[ax^2+bx+c=0\]
alors ,
\[x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]
Donc
\[x=\frac{6\pm\sqrt{6^2-(4\times 1 \times (-3))}}{2(1)}\]
ce qui donne
\[x=\frac{6\pm\sqrt{48}}{2}\]
donc,
\[x=3-2\sqrt{3}\]
ou
\N-[x=3+2\sqrt{3}\N]
La solution avec le signe moins doit être rejetée car elle a pour conséquence que les côtés \(BC\) et \(RS\) sont négatifs, ce qui laisse :
\[x=3+2\sqrt{3}\]
Exemples d'utilisation de polygones similaires
Les problèmes peuvent se présenter sous n'importe quelle forme à propos des polygones semblables, il est conseillé d'essayer plusieurs types de questions.
Un polygone à 4 côtés a deux côtés identiques tels qu'un côté est le double de l'autre. Si son périmètre est \(36\, cm\), et qu'un polygone similaire qui est un tiers de ce polygone doit être découpé, trouve la longueur du plus petit côté du nouveau polygone.
Solution :
Ne te tracasse pas pour le problème des mots.
Interprète la question mot à mot de la première phrase à la suivante.
Puisque le polygone a quatre côtés avec une paire identique, tu peux dire qu'un côté est \(a\), tandis que l'autre pourrait être \(b\). De cette façon, les quatre côtés deviennent \N(a\N), \N(a\N), \N(b\N) et \N(b\N).
Un autre détail est qu'un côté est le double de l'autre. Tu peux l'interpréter en disant que \N(a\N) est le plus grand côté, de sorte que
\N-[a=2b\N]
Le détail suivant indique que le périmètre est \N(36\N, cm\N). Cela implique que le périmètre du polygone, \N(P_p\) est donné comme suit
\N- [P_p=a+a+b+b\N]
Rappelle-toi que
\N- a=2b\N- et \N- P_p=a+a+b+b\N
et que \N[P_p=36\, cm\]
Ainsi
\N- 36\N, \Ntext{cm}=2b+2b+b+b\N]
en faisant de \N(b\N) le sujet de la formule, d'où ,
\N- b=6\N, \Ntext{cm}\N]
Cela signifie que le plus grand côté, \N(a\N), est
\N- a=2 fois 6\N, \Ntext{cm}=12\N, \Ntext{cm}\N]
Cependant, il faut découper un polygone similaire qui représente un tiers du polygone. Cela signifie que les côtés de ce nouveau polygone peuvent être obtenus en trouvant le produit des côtés de l'ancien polygone et \(\frac{1}{3}\).
Apparemment, nous n'avons besoin que du plus petit côté ; ainsi, comme ces polygones sont semblables, le plus petit côté du plus grand polygone correspond au plus petit côté du plus petit polygone.
Par conséquent, le plus petit côté du nouveau polygone plus petit \(S_s\) est
\[S_s=6\, \text{cm} \times \frac{1}{3}\]
D'où ,
\N- [S_s=2\N, \Ntext{cm}\N]
Un cintre doit être fabriqué à partir d'une feuille de cuivre triangulaire d'une hauteur de \(12\, \text{cm}\) et d'une longueur de base de \(30\, \text{cm}\). Si le cintre est formé en coupant une feuille triangulaire plus petite mais de forme similaire dans le triangle original, trouve la surface du cintre si la longueur interne de la base est \(24\, \text{cm}\).
Solution :
Étape 1 : Fais un croquis des informations fournies afin de te faire une idée claire du problème.
Fig. 7. Utilisation de polygones semblables pour fabriquer un cintre.
Étape 2 : Puisqu'on t'a demandé de trouver l'aire du cintre, tu dois trouver l'aire du triangle d'origine, \(A_o\), de façon à ce que
\[A_o=\frac{1}{2}\contre 30\, \text{cm} \contre 12\, \text{cm}\]
Rappelons que la surface d'un triangle est \N(\frac{1}{2} \Nfois la base \Nfois la hauteur\N)
\N- [A_o=180\N, \Ntext{cm}^2\N]
Étape 3 : Trouve la surface du petit triangle découpé. C'est ici que tu appliqueras ce que tu as appris sur les angles semblables. Sachant que les deux triangles sont semblables, tu peux trouver la hauteur du triangle découpé. Mais tu dois connaître le rapport entre les deux angles. Tu dois donc utiliser la longueur de la base des deux triangles pour déterminer leur rapport.
\[b_s:b_b=\frac{24}{30}\]
où \(b_s\) est la longueur de base du petit triangle (triangle découpé), et \(b_b\) est la longueur de base du grand triangle.
\[b_s:b_b=\frac{4}{5}\]
Maintenant, tu dois multiplier la hauteur du grand triangle, \(12\, \text{cm}\) par \(\frac{4}{5}\) pour obtenir la hauteur du petit triangle, \(h_s\) :
\N[h_s=12\N, \Ntext{cm} \Nfois \Nfrac{4}{5}\N]
\N- [h_s=9.6\N, \Ntext{cm}\N]
Par conséquent, la surface du petit triangle, \(A_s\), est :
\[A_s=\frac{1}{2}\contre 24\, \text{cm} \contre 9.6\, \text{cm}\]
\N-[A_s=115.2\N, \Ntext{cm}^2\N]
Étape 4 : Trouve la surface du cintre. Tu peux y parvenir en soustrayant la surface du plus petit triangle, \(A_s\), de la surface du plus grand triangle, \(A_o\). Ainsi, la surface du cintre, \(A_h\) est calculée comme suit :
\N- [A_h=A_o-A_s\N]
\N-[A_h=180\, \Ntext{cm}^2-115,2\N, \Ntext{cm}^2\N].
La surface du cintre est donc de :
\N-[A_h=64.8\N, \N{cm}^2\N]
Principaux enseignements - Utilisation de polygones semblables
- Deux polygones sont semblables s'ils ont le même nombre de côtés et que leurs angles correspondants sont égaux.
- Les polygones semblables ont des paires de côtés correspondants qui sont directement proportionnels l'un à l'autre.
- Lors de la réalisation de diagrammes de polygones semblables, il faut faire très attention à l'étiquetage des sommets et à l'ordre de ces étiquettes.
- Il n'existe pratiquement pas de formule(s) que l'on puisse attribuer à la recherche d'un polygone semblable.
- La relation entre les polygones semblables peut être utilisée pour trouver des longueurs et des angles inconnus.
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