Tour Eiffel et triangle isocèle, StudySmarter Originals
D'en haut, nous voyons que la structure de la Tour Eiffel représente un triangle. Inspecte maintenant plus en détail les dimensions de ce triangle. Remarque que les deux côtés opposés sont égaux alors que la base est différente. Cela signifie que nous pouvons exclure que la Tour Eiffel ait la forme d'un triangle équilatéral, qui, tu t'en souviens, est un triangle à trois côtés égaux. Alors, de quel type de triangle s'agit-il ? Pour répondre à ta question, il s'agit d'un triangle isocèle.
Un triangle isocèle est un triangle dont les deux côtés sont égaux.
Composantes d'un triangle isocèle
Considère le triangle isocèle ABC ci-dessous.
Triangle isocèle, StudySmarter Originals
Voici les composants les plus importants d'un triangle isocèle :
Les côtés et les sommets
Les branches du triangle isocèle sont représentées par la variable a.
La base est définie par la variable b.
Le sommet est la partie la plus haute du triangle isocèle. On l'appelle aussi le sommet.
L'altitudeest un segment de droite perpendiculaire tracé du sommet à la base d'un triangle isocèle.
La longueur de l'altitude est appelée hauteur et est décrite par la variable h.
L'angle entre les jambes du triangle isocèle est appelé angle du sommet (ou angle de l'apex).
Chacun des deux angles et entre une branche et la base du triangle isocèle est appelé angle de base.
Propriétés d'un triangle isocèle
Il existe plusieurs propriétés importantes des triangles isocèles avec lesquelles tu dois te familiariser pour bien comprendre la composition d'un triangle isocèle. Le tableau ci-dessous les décrit en détail.
| Propriété | Description |
| Il y a deux côtés égaux | AC = BC |
| Les angles de base sont égaux | ∠A = ∠B |
| L'altitude de l'angle du sommet coupe en deux l'angle du sommet et la base | AD = BD∠ACD = ∠BCD |
| L'altitude tracée à partir de l'angle du sommet divise le triangle isocèle en deux triangles congruents | Le triangle ACD est congru au triangle BCD |
Identifier la jambe et la base d'un triangle isocèle
Disons qu'on nous donne un triangle avec trois côtés. On nous dit que le triangle est bien un triangle isocèle. Cependant, nous devons déterminer quels côtés sont les branches du triangle isocèle et quel côté est la base.
Pour déterminer les branches du triangle isocèle, prends note des caractéristiques ci-dessous :
Il y aexactement deux côtés égaux, qui sont les jambes.
Les deux branches partent du sommet du triangle
L'altitude est adjacente aux deux branches
En revanche, la base doit remplir les propriétés suivantes.
Les deux angles aux extrémités de la base sont égaux
Une altitude tracée à partir du sommet est perpendiculaire à la base
Un segment de droite perpendiculaire passant par le sommet coupe la base en deux, c'est-à-dire en deux moitiés égales.
Théorèmes sur les triangles isocèles
En gardant cela à l'esprit, discutons maintenant de deux théorèmes notables impliquant des triangles isocèles qui examinent de plus près les deux propriétés principales décrites ci-dessus.
Théorème 1
Les angles opposés aux côtés égaux d'un triangle isocèle sont égaux.
Preuve du théorème 1
Considère le triangle isocèle ABC ci-dessous où AC = BC. Trace une bissectrice passant par ∠C. Nous appellerons ce segment de droite CD.
Théorème du triangle isocèle 1, StudySmarter Originals
Notre objectif est de prouver que les angles opposés aux côtés AC et BC sont égaux.
Essentiellement, nous voulons montrer que ∠A = ∠B.
Remarque que dans les triangles ACD et BCD :
AC = BC
∠ACD = ∠BCD
CD = CD
Congruence SAS
Si deux côtés et un angle inclus d'un triangle sont égaux aux deux côtés et à l'angle inclus du second triangle, on dit que les deux triangles sont congruents.
D'après la règle de congruence du SAS ci-dessus, les triangles ACD et BCD doivent être congruents. Comme les deux triangles sont congruents, les angles correspondants doivent également être congruents. Ainsi, ∠A doit être égal à ∠B.
Théorème 2
Les côtés opposés aux angles égaux d'un triangle isocèle sont égaux.
Preuve du théorème 2
Considère le triangle isocèle ABC ci-dessous dans lequel ∠A = ∠B. Nous allons construire une bissectrice CD qui rencontre le côté AB à angle droit.
Théorème du triangle isocèle 2, StudySmarter Originals
Notre objectif est de prouver que AC = BC pour montrer que le triangle ABC est bien un triangle isocèle.
Remarque que dans les triangles ACD et BCD :
∠ACD = ∠BCD
CD = CD
∠ADC = ∠BDC = 90o
Congruence ASA
Si deux angles et un côté inclus entre les angles d'un triangle sont égaux aux deux angles correspondants et au côté inclus entre les angles du second triangle, on dit que les deux triangles sont congruents.
En vertu de la règle de congruence ASA ci-dessus, les triangles ACD et BCD doivent être congruents. Comme les deux triangles sont congruents, les côtés correspondants doivent également être congruents. Ainsi, AC doit être égal à BC et le triangle ABC est donc un triangle isocèle.
Types de triangles isocèles
Il existe trois types de triangles isocèles à considérer, à savoir .
Isocèle aigu ;
Isocèle droit ;
Isocèle obtus.
Le tableau ci-dessous compare chacun de ces types de triangles isocèles.
| Type de triangle isocèle | Diagramme | Description |
| Triangle isocèle aigu |
|
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| Triangle isocèle droit |
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|
| Isocèle Obtus |
|
|
Formules des triangles isocèles
Dans cette section, nous allons examiner trois formules importantes concernant les triangles isocèles, à savoir .
La hauteur d'un triangle isocèle ;
Le périmètre d'un triangle isocèle ;
L'aire d'un triangle isocèle.
La hauteur d'un triangle isocèle
La hauteur d'un triangle isocèle peut être trouvée en appliquant le théorème de Pythagore. Disons que nous avons le triangle isocèle ABC ci-dessous où les mesures d'une jambe a et de la base b sont données.
Hauteur d'un triangle isocèle, StudySmarter Originals
Nous savons que l'altitude (segment de droite CD) de l'angle du sommet coupe la base du triangle isocèle. Cela signifie que
.
De plus, ADC et BDC sont des triangles rectangles dont a est l'hypoténuse. Ainsi, pour trouver la hauteur, il suffit d'adopter le théorème de Pythagore comme suit
id="5221559" role="math"
Le périmètre d'un triangle isocèle
Le périmètre d'un triangle isocèle est donné par la formule suivante.
où a est la longueur des deux côtés égaux et b la base du triangle isocèle. Démontrons cela à l'aide d'un exemple concret.
Étant donné le triangle ci-dessous, calcule son périmètre.
Exemple 1, StudySmarter Originals
Solution
En utilisant la formule du périmètre, nous trouvons que le périmètre de ce triangle isocèle est le suivant
L'aire d'un triangle isocèle
Une fois que tu connais la hauteur d'un triangle isocèle, le calcul de la surface est un jeu d'enfant. La formule est la suivante
,
où b est la base et h la hauteur du triangle isocèle. Tu trouveras ci-dessous un exemple d'application de cette méthode.
Trouve l'aire d'un triangle isocèle dont la base est de 6 unités et le côté de 13 unités.
Solution
Commençons par faire un croquis de ce triangle isocèle. Construis une altitude à partir de l'angle du sommet de ce triangle isocèle jusqu'à la base.
Exemple 2, StudySmarter Originals
Nous savons que l'altitude coupe la base du triangle isocèle et crée deux triangles rectangles congruents. Puisque la base est de 6 unités, alors AD = BD = 3 unités. La hauteur est trouvée en appliquant le théorème de Pythagore comme suit
Maintenant que nous avons la hauteur du triangle isocèle, nous pouvons utiliser la formule de l'aire. Nous constatons que l'aire de ce triangle isocèle est la suivante
Altitudes dans les triangles isocèles
Définissons maintenant l'altitude d'un triangle.
Une altitude est une ligne qui passe par le sommet d'un triangle et qui est perpendiculaire au côté opposé.
Ne confonds pas ce terme avec celui de bissectrice perpendiculaire ! Une bissectrice perpendiculaire divise un segment en deux parties égales et est perpendiculaire à ce segment.
Maintenant que nous avons établi la définition d'une altitude, nous allons relier cette idée à notre sujet d'étude. Voici deux théorèmes qui établissent un lien entre l'altitude et les triangles isocèles.
Théorème 1
L'altitude de la base d'un triangle isocèle est bissectrice de l'angle du sommet.
Théorème 2
L'altitude de la base d'un triangle isocèle est bissectrice de la base.
Preuve des théorèmes 1 et 2
Considère le triangle isocèle représenté ci-dessous.
L'altitude d'un triangle isocèle, StudySmarter Originals
Disons que nous traçons une altitude à la base du triangle isocèle. Nous constatons que deux triangles congruents sont formés. L'altitude crée deux triangles rectangles ADC et BDC et devient le côté commun aux deux triangles. Les côtés congruents du triangle deviennent l'hypoténuse des triangles ADC et BDC et sont de même longueur.
Puisque la construction d'une altitude à la base du triangle isocèle forme deux triangles rectangles congruents, nous concluons que l'altitude coupe en deux la base et le sommet du triangle isocèle.
Exemples d'exercices concernant les triangles isocèles
Étant donné le triangle, ABC ci-dessous, détermine les longueurs AC et BC si ∠A = ∠B.
Exemple 3, StudySmarter Originals
Solution
Puisque les deux angles du triangle ci-dessus sont congruents, les côtés qui leur sont opposés le sont également. En d'autres termes, comme ∠A = ∠B, alors AC = BC.
Étant donné les triangles ABD et BDC ci-dessous, détermine la valeur de ∠X si AB = BD = CD et que ∠C vaut 23o.
Exemple 4, StudySmarter Originals
Solution
Nous savons que si deux côtés d'un triangle sont égaux, alors les angles qui leur sont opposés sont également égaux. Cela signifie que puisque BD = CD, alors ∠C = ∠CBD = 23o.
Comme la somme des angles intérieurs d'un triangle est de 180o, le ∠BDC est de 130o, pour le triangle BDC.
Le ∠ADB est l'angle extérieur du triangle BDC. La somme de l'angle extérieur et de son angle intérieur adjacent d'un triangle est de 180o. Par conséquent, ∠ADB est égal à 50o.
Comme AB = BD, ∠A = ∠ADB = 50o. Comme précédemment, puisque la somme des angles intérieurs d'un triangle, est de 180o, le ∠X est de 80o, pour le triangle ABD.
Étant donné les triangles ACB et DCE ci-dessous, détermine la valeur des angles X, Y et Z si AC = BC, DC = EC et ∠ACB = 31o.
Exemple 5, StudySmarter Originals
Solution
Comme ∠Y et ∠ACB sont des angles verticaux, alors ∠Y = ∠ACB = 31o.
Nous savons que si deux côtés d'un triangle sont congruents, les angles qui leur sont opposés le sont aussi. ∠X = ∠B = ∠D = ∠Z puisque les angles des sommets des triangles ACB et DCE sont égaux. En notant que la somme des angles intérieurs d'un triangle est de 180o, on obtient.
Ainsi, ∠X = ∠Z = 74,5o.
Comparer les triangles
Il existe trois types de triangles que nous verrons souvent tout au long de ce syllabus, à savoir .
Triangle isocèle
Triangle équilatéral
Le triangle scalène
Dans cette dernière section, nous allons examiner les différences entre ces trois triangles. En nous familiarisant avec ces contrastes, nous pourrons distinguer correctement chaque type auquel nous avons affaire et effectuer les bons calculs. Le tableau ci-dessous compare ces trois triangles en ce qui concerne les côtés, les angles et les altitudes.
| Propriété | Triangle isocèle | Triangle équilatéral | Triangle scalène |
| Diagramme |
|  Triangleéquilatéral, Study Smarter Originals |
|
| Côtés | Deux côtés de même longueur | Trois côtés de même longueur | Trois côtés de longueur différente |
| Angles | Deux angles de même valeur | Trois angles de même valeur | Trois angles de valeur différente |
| Altitude | Une altitude tracée à partir de l'angle du sommet coupe en deux cet angle et le côté inégal du triangle. | Une altitude tracée à partir de n'importe quel angle coupe en deux cet angle et le côté opposé du triangle. | Aucun critère particulier |
Triangles isocèles - Points clés à retenir
- Un triangle isocèle
- est composé de deux côtés et de deux angles égaux
- Les angles de base sont égaux
- L'altitude tirée de l'angle du sommet coupe en deux la base et l'angle du sommet.
- L'altitude tracée à partir de l'angle du sommet divise le triangle isocèle en deux triangles congruents.
- Il existe trois types de triangles isocèles : Aigu, droit et obtus.
- La surface est donnée par
- Le périmètre est donné par
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