Triangles équilatéraux

Triangles équilatéraux et angles

Nous pouvons également classer les triangles équilatéraux en fonction de leurs angles.

Triangle équilatéral avec les mêmes angles, Mouli Javia - StudySmarter Originals

Corollaires sur les triangles équilatéraux

Jetons un coup d'œil à quelques affirmations importantes concernant les triangles équilatéraux.

Corollaire 1

Énoncé: Chaque angle d'un triangle équilatéral est$60°$.

Preuve: Pour le prouver, considère$∆XYZ$un triangle équilatéral.

$\therefore XY=YZ=ZX$

Or, un triangle équilatéral est aussi considéré comme un triangle isocèle. Nous pouvons donc appliquer les propriétés du triangle isocèle au triangle équilatéral. Nous utilisons ici le théorème du triangle isocèle.

Pour cela, prends :

$XY=YZ$ et $YZ=ZX$

$\therefore \angle Z=\angle X$ et $\angle X=\angle Y$

$\Rightarrow \angle X=\angle Y=\angle Z$

Considère maintenant l'une des propriétés d'un triangle, qui stipule que la somme de tous les angles internes d'un triangle est égale à$180°$:$\angle X+\angle Y+\angle Z=180°$

Comme les trois angles sont égaux, nous pouvons nous contenter de considérer l'un d'entre eux au lieu de tous.

$\therefore \angle X+\angle X+\angle X=180°$

$\Rightarrow 3\angle X=180°$

$\Rightarrow \angle X=\frac{180°}{3}$

$\therefore \angle X=60°$

Ainsi , $\angle X=\angle Y=\angle Z=60°$.

On peut donc dire qu'un triangle équilatéral est un triangle équilatéral.

À partir de ce corollaire, on arrive au corollaire suivant.

Corollaire 2

Énoncé: Un triangle est équiangulaire si et seulement s'il est équilatéral.

Propriétés des triangles équilatéraux

Voici quelques-unes des propriétés des triangles équilatéraux :

1. Un triangle équilatéral est un polygone régulier car il a trois côtés.

2. Tous les côtés et les angles des triangles équilatéraux sont congruents.

3. Une ligne perpendiculaire tracée à partir de n'importe quel sommet d'un triangle équilatéral jusqu'à son côté opposé coupe en deux le côté et l'angle.

4. Cette ligne perpendiculaire (comme mentionné ci-dessus) est la même ligne pour l'altitude, la médiane, la bissectrice perpendiculaire et la bissectrice de l'angle pour le même côté.

5. Les lignes de symétrie dans les triangles équilatéraux sont les trois lignes mentionnées de chaque côté.

6. Dans les triangles équilatéraux, le centroïde, l'orthocentre, le circoncentre et l'incentre se trouvent au même point.

Formules pour les triangles équilatéraux

Discutons de quelques formules relatives aux triangles équilatéraux, y compris le sien :

• le périmètre
• Surface
• Hauteur

Périmètre d'un triangle équilatéral

Le périmètre est la somme de tous les côtés. Et comme nous parlons d'un triangle équilatéral, tous les côtés sont égaux. Le périmètre d'un triangle équilatéral est donc égal à trois fois la longueur d'un côté.

Périmètre d'un triangle équilatéral$\mathbf{=}\mathbf{3}\mathit{a}$. Ici$a$ est la longueur du côté.

Nous pouvons en déduire la formule du demi-périmètre. Le demi-périmètre est la moitié du périmètre d'un triangle équilatéral et nous pouvons le calculer comme suit.

Demi-périmètre d'un triangle équilatéral$\raisebox{1ex}{$\mathbf{=}\mathbf{}\mathbf{3}\mathbf{a}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\mathbf{2}$}\right.$

Nous utilisons généralement le demi-périmètre pour calculer la surface d'un triangle à l'aide de la formule de Héron.

Surface d'un triangle équilatéral

L'aire est calculée pour mesurer l'espace occupé par les côtés d'un polygone dans un plan en 2D. La formule pour trouver l'aire d'un triangle équilatéral est la suivante.

Surface d'un triangle équilatéral$\mathbf{=}\mathbf{}\frac{\sqrt{\mathbf{3}}}{\mathbf{4}}{\mathit{a}}^{\mathbf{2}}$, où$a$ est la longueur du côté.

Nous pouvons également calculer la surface à l'aide de la formule de Héron si un demi-périmètre est donné. La formule de Heron est la suivante.

Surface d'un triangle équilatéral$\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{s}{\mathbf{(}\mathbf{s}\mathbf{-}\mathbf{a}\mathbf{)}}^{\mathbf{3}}}$, où a est la longueur du côté et s le demi-périmètre du triangle.

Hauteur d'un triangle équilatéral

La hauteur d'un triangle équilatéral est la distance perpendiculaire entre un sommet de ce triangle et son côté opposé.

Hauteur d'un triangle équilatéral, Mouli Javia - StudySmarter Originals

La formule pour calculer la hauteur d'un triangle équilatéral est donnée ci-dessous.

Hauteur d'un triangle équilatéral$\mathbf{=}\mathbf{}\frac{\sqrt{\mathbf{3}}}{\mathbf{2}}\mathit{a}$, où$a$ est la longueur du côté.

Exemples de triangles équilatéraux

Nous allons maintenant travailler sur quelques exemples basés sur la théorie ci-dessus.