Qu'est-ce qu'un triangle équilatéral?

Un triangle équilatéral est un triangle où les trois côtés ont la même longueur.

Comment calculer l'aire d'un triangle équilatéral?

Pour calculer l'aire, utilisez la formule: Aire = (√3/4) * côté².

Quels sont les angles dans un triangle équilatéral?

Dans un triangle équilatéral, chaque angle mesure 60 degrés.

Pourquoi les triangles équilatéraux sont-ils importants?

Les triangles équilatéraux sont importants car ils sont réguliers et apparaissent fréquemment en géométrie et en architecture.

Laquelle des affirmations suivantes est correcte ?

Le triangle équilatéral est un triangle isocèle

Triangles équilatéraux: Définitions, Formules

Triangles équilatéraux

Il y a beaucoup d'objets autour de nous qui ont la forme de triangles comme les parts de pizza, le sommet des tours et les toits, et les banderoles d'anniversaire. Mais parfois, nous rencontrons des formes triangulaires qui ont exactement la même apparence quel que soit le sens dans lequel nous les faisons tourner, comme une chips nacho ou des panneaux de signalisation. S'agit-il d'une forme spéciale de triangles ? Sont-ils vraiment égaux dans tous les sens ? Découvrons-le.

C'est parti

En géométrie, les triangles peuvent être classés en différentes formes en fonction de leurs côtés et de leurs angles. L'une de ces formes est le triangle équilatéral. Dans cette section, nous allons comprendre le concept du triangle équilatéral et voir ses propriétés et les formules qui en découlent.

Un triangle est équilatéral s'il a trois côtés congruents. En d'autres termes, si les trois côtés d'un triangle sont de même longueur, il s'agit alors d'un triangle équilatéral.

Le nom équilatéral est donc dérivé de equi, qui signifie égal, et de lateral, qui signifie côtés.

Triangles équilatéraux, triangle équilatéral avec les mêmes côtés, StudySmarter Triangle équilatéral aux côtés congrus, Mouli Javia - StudySmarter Originals

Triangles équilatéraux et angles

Nous pouvons également classer les triangles équilatéraux en fonction de leurs angles.

Un triangle équilatéral est un triangle dont les trois angles internes sont congruents et égaux à $60 °$ .

Triangles équilatéraux, triangle équilatéral avec les mêmes angles, StudySmarter Triangle équilatéral avec les mêmes angles, Mouli Javia - StudySmarter Originals

Corollaires sur les triangles équilatéraux

Jetons un coup d'œil à quelques affirmations importantes concernant les triangles équilatéraux.

Corollaire 1

Énoncé: Chaque angle d'un triangle équilatéral est $60 °$ .

Preuve: Pour le prouver, considère $∆ X Y Z$ un triangle équilatéral.

$∴ X Y = Y Z = Z X$

Or, un triangle équilatéral est aussi considéré comme un triangle isocèle. Nous pouvons donc appliquer les propriétés du triangle isocèle au triangle équilatéral. Nous utilisons ici le théorème du triangle isocèle.

Pour cela, prends :

$X Y = Y Z$ et $Y Z = Z X$

$∴ ∠ Z = ∠ X$ et $∠ X = ∠ Y$

$\Rightarrow ∠ X = ∠ Y = ∠ Z$

Considère maintenant l'une des propriétés d'un triangle, qui stipule que la somme de tous les angles internes d'un triangle est égale à $180 °$ : $∠ X + ∠ Y + ∠ Z = 180 °$

Comme les trois angles sont égaux, nous pouvons nous contenter de considérer l'un d'entre eux au lieu de tous.

$∴ ∠ X + ∠ X + ∠ X = 180 °$

$\Rightarrow 3 ∠ X = 180 °$

$\Rightarrow ∠ X = \frac{180 °}{3}$

$∴ ∠ X = 60 °$

Ainsi , $∠ X = ∠ Y = ∠ Z = 60 °$ .

On peut donc dire qu'un triangle équilatéral est un triangle équilatéral.

Le théorème du triangle isocèle stipule que les angles opposés aux deux côtés d'un triangle sont égaux si ces deux côtés sont égaux.

À partir de ce corollaire, on arrive au corollaire suivant.

Corollaire 2

Énoncé: Un triangle est équiangulaire si et seulement s'il est équilatéral.

Propriétés des triangles équilatéraux

Voici quelques-unes des propriétés des triangles équilatéraux :

Un triangle équilatéral est un polygone régulier car il a trois côtés.
Tous les côtés et les angles des triangles équilatéraux sont congruents.
Une ligne perpendiculaire tracée à partir de n'importe quel sommet d'un triangle équilatéral jusqu'à son côté opposé coupe en deux le côté et l'angle.
Cette ligne perpendiculaire (comme mentionné ci-dessus) est la même ligne pour l'altitude, la médiane, la bissectrice perpendiculaire et la bissectrice de l'angle pour le même côté.
Les lignes de symétrie dans les triangles équilatéraux sont les trois lignes mentionnées de chaque côté.
Dans les triangles équilatéraux, le centroïde, l'orthocentre, le circoncentre et l'incentre se trouvent au même point.

Rappelle-toi que bissecter signifie diviser ou séparer en deux parties égales.

Formules pour les triangles équilatéraux

Discutons de quelques formules relatives aux triangles équilatéraux, y compris le sien :

le périmètre
Surface
Hauteur

Périmètre d'un triangle équilatéral

Le périmètre est la somme de tous les côtés. Et comme nous parlons d'un triangle équilatéral, tous les côtés sont égaux. Le périmètre d'un triangle équilatéral est donc égal à trois fois la longueur d'un côté.

Périmètre d'un triangle équilatéral $= 3 a$ . Ici $a$ est la longueur du côté.

Nous pouvons en déduire la formule du demi-périmètre. Le demi-périmètre est la moitié du périmètre d'un triangle équilatéral et nous pouvons le calculer comme suit.

Demi-périmètre d'un triangle équilatéral $\frac{= 3 a}{2}$

Nous utilisons généralement le demi-périmètre pour calculer la surface d'un triangle à l'aide de la formule de Héron.

Quel est le périmètre du triangle équilatéral donné dont le côté est de 6 cm ? Trouve également son demi-périmètre.

Triangles, triangle équilatéral, StudySmarter Triangle équilatéral, Mouli Javia - StudySmarter Originals

Solution : Ici $a = 6 c m$ . En appliquant la formule du périmètre, nous obtenons donc :

Périmètre d'un triangle équilatéralid="5221779" role="math" $= 3 a = 3 \times 6 = 18 c m$ .

Semi périmètre d'un triangle équilatéralid="5221780" role="math" alt="" $= \frac{3 a}{2} = \frac{18}{2} = 9 c m$ .

Surface d'un triangle équilatéral

L'aire est calculée pour mesurer l'espace occupé par les côtés d'un polygone dans un plan en 2D. La formule pour trouver l'aire d'un triangle équilatéral est la suivante.

Surface d'un triangle équilatéral $= \frac{\sqrt{3}}{4} a^{2}$ , où $a$ est la longueur du côté.

Nous pouvons également calculer la surface à l'aide de la formule de Héron si un demi-périmètre est donné. La formule de Heron est la suivante.

Surface d'un triangle équilatéral $= \sqrt{s {(s - a)}^{3}}$ , où a est la longueur du côté et s le demi-périmètre du triangle.

Calcule l'aire d'un triangle équilatéral dont le côté est de 5 cm.

Triangles équilatéraux, exemple de triangle équilatéral, StudySmarter Triangle équilatéral, Mouli Javia - StudySmarter Originals

Solution : Ici $a = 5 c m .$

Aire d'un triangle équilatéral $= \frac{\sqrt{3}}{4} a^{2}$

$= \frac{\sqrt{3}}{4} {(5)}^{2}$

$= 10.83$

Par conséquent, l'aire d'un triangle équilatéral donné est la suivante $10.83 c m^{2} .$

Hauteur d'un triangle équilatéral

La hauteur d'un triangle équilatéral est la distance perpendiculaire entre un sommet de ce triangle et son côté opposé.

Triangles équilatéraux, hauteur du triangle équilatéral, StudySmarter Hauteur d'un triangle équilatéral, Mouli Javia - StudySmarter Originals

La formule pour calculer la hauteur d'un triangle équilatéral est donnée ci-dessous.

Hauteur d'un triangle équilatéral $= \frac{\sqrt{3}}{2} a$ , où $a$ est la longueur du côté.

Trouve la hauteur d'un triangle équilatéral dont la longueur du côté est de 15 cm.

Solution : En utilisant la formule de la hauteur, nous pouvons dire :

Hauteur d'un triangle équilatéral $= \frac{\sqrt{3}}{2} a$

$= \frac{\sqrt{3}}{2} (14)$

$= 7 \sqrt{3} = 12.12 c m$

La hauteur (ou l'altitude) d'un triangle équilatéral est donc de 12,12 cm.

Exemples de triangles équilatéraux

Nous allons maintenant travailler sur quelques exemples basés sur la théorie ci-dessus.

Trouve la surface d'un triangle équilatéral dont le périmètre est de 18 cm.

Solution : Pour trouver la surface d'un triangle équilatéral, nous devons connaître la longueur de ses côtés. Nous allons donc commencer par trouver la longueur des côtés en utilisant le périmètre. Nous savons que la formule du périmètre d'un triangle équilatéral est la suivante $3 a$ . Et la valeur du périmètre est également donnée dans la question, à savoir 18 cm.

$∴ 18 = 3 a$

$\Rightarrow a = \frac{18}{3} \Rightarrow a = 6 c m$

Maintenant que nous avons trouvé la longueur du côté, nous pouvons l'utiliser dans la formule de l'aire pour la calculer.

Surface d'un triangle équilatéral $= \frac{\sqrt{3}}{4} {(a)}^{2}$

$= \frac{\sqrt{3}}{4} {(6)}^{2}$

$= 9 \sqrt{3} = 15.58 c m^{2}$

Par conséquent, un triangle équilatéral dont le périmètre est de 18 cm a une surface de 15,58 ^cm2.

Un triangle équilatéral avec deux longueurs de côté est donné. La longueur d'un côté est $(3 x + 8)$ et celle de l'autre côté est $(4 x + 7)$ . Quelle est la mesure de la longueur du côté de ce triangle équilatéral ? Trouve également le périmètre de ce triangle.

Solution : Comme le triangle donné est un triangle équilatéral, nous savons que tous ses côtés sont égaux. Les deux longueurs latérales données sont donc égales et les équations peuvent également être égales l'une à l'autre.

$\Rightarrow (3 x + 8) = (4 x + 7)$

Pour déterminer la longueur du côté, nous résolvons l'équation ci-dessus et trouvons la valeur de x.

$\Rightarrow 4 x - 3 x = 8 - 7 \Rightarrow x = 1$

Maintenant, comme les deux longueurs latérales sont égales, nous substituons la valeur de x à n'importe laquelle des longueurs latérales.

En remplaçant $(3 x + 8)$ nous obtenons

$(3 x + 8) = (3 (1) + 8) = 11$ .

Nous pouvons vérifier l'exactitude de la valeur trouvée de x en remplaçant x par les deux longueurs latérales. Si les deux valeurs des longueurs des côtés sont égales, la valeur de x est correcte. Voyons ce qu'il en est dans notre cas. Nous avons déjà trouvé la valeur de l'un des côtés. Trouvons l'autre longueur de côté et comparons-la.

En remplaçant x par $(4 x + 7)$ Par conséquent, comme les deux valeurs de la longueur du côté sont égales, la valeur de x que nous avons calculée est correcte !

Maintenant que nous connaissons la longueur des côtés, nous pouvons facilement calculer le périmètre du triangle équilatéral.

Périmètre d'un triangle équilatéral $= 3 a$ . Ici $a = 11$ .

$\Rightarrow 3 a = 3 (11) = 33$ .

Le périmètre du triangle équilatéral donné est donc de 33 cm.

Triangles équilatéraux - Principaux enseignements

Un triangle est équilatéral s'il a trois côtés congruents.
Un triangle équilatéral est un triangle dont les trois angles internes sont congruents et égaux à $60 °$ .
Un triangle est équiangulaire si et seulement s'il est équilatéral.
Le périmètre d'un triangle équilatéral est $3 a$ .
Le demi-périmètre d'un triangle équilatéral est $\frac{3 a}{2}$ .
La surface d'un triangle équilatéral est $\frac{\sqrt{3}}{4} a^{2}$ .
L'aire d'un triangle équilatéral (en utilisant la formule de Heron) est $\sqrt{s {(s - a)}^{3}}$ .
La hauteur d'un triangle équilatéral est $\frac{\sqrt{3}}{2} a$ .

Triangles équilatéraux

Équipe éditoriale StudySmarter

Triangles équilatéraux et angles