Triangles congruents : Signification et exemples
Les triangles congruents ont la même forme et la même taille, avec des côtés et des angles égaux, mais ils peuvent être positionnés différemment les uns des autres dans l'espace. Lorsque l'on parle de triangles congruents, il faut qu'il y ait au moins deux triangles pour pouvoir les comparer entre eux. Tu ne peux pas évaluer la congruence d'un seul triangle car il sera toujours congruent à lui-même ! Voyons un exemple qui compare deux triangles.
Imagine que tu as un triangle rectangle et que ton ami est assis du côté opposé de la table avec une copie de ton triangle. Vous posez tous les deux vos triangles sur la table avec l'angle droit sur le côté gauche, comme ceci :
Triangles droits tournés à 180º l'un par rapport à l'autre, StudySmarter Original
Ces deux triangles sont congruents : ils ont la même taille et la même forme. En les tournant et en les faisant glisser, les triangles peuvent se chevaucher avec précision, comme ceci :
Triangles congruents glissés l'un sur l'autre, StudySmarter Originals
Lorsque deux ou plusieurs triangles peuvent se superposer exactement, on sait qu'ils sont congruents.
À partir de l'exemple ci-dessus, peux-tu définir les triangles congruents ? Essaie de comparer ta définition avec la suivante :
Les trianglescongruents sont des triangles de même forme et de même taille. Cependant, ils peuvent être positionnés différemment dans l'espace.
Voyons un autre exemple.
Trois triangles sont positionnés différemment les uns des autres. L'un d'entre eux est également orienté différemment, c'est-à-dire qu'il est tourné par rapport aux autres. Rien qu'en les regardant, penses-tu que ces triangles sont congruents ? Jette un coup d'œil aux triangles donnés dans l'image ci-dessous.
Triangles positionnés différemment, StudySmarter Original
Les deux premiers triangles du haut semblent congruents, n'est-ce pas ? Ils ont la même forme et la même taille l'un que l'autre. Le troisième triangle en bas peut sembler un peu différent des deux premiers à cause de la façon dont il est orienté. Si tu faisais pivoter le troisième triangle de 70° dans le sens des aiguilles d'une montre, tu verrais plus facilement qu'il est en fait congruent aux deux autres : il a la même forme et la même taille. Vois l'image ci-dessous.
Triangles congruents ayant la même orientation, StudySmarter Original
D'après cet exemple, nous voyons que les triangles peuvent toujours être congruents même s'ils sont tournés ou orientés différemment dans l'espace. Il en va de même pour les triangles congruents qui sont retournés (réfléchis) ou glissés (translatés).
Notations pour les triangles congruents
Nous savons que deux triangles peuvent être congruents, mais la question qui se pose maintenant est la suivante : "Comment savoir quel côté ou quel angle de chaque triangle correspond à quel autre ?" Voyons donc comment les côtés et les angles égaux sont marqués et identifiés.
Généralement, nous marquons les côtés égaux des triangles congruents avec des lignes en forme de tirets, tandis que les angles sont marqués par des courbes. Nous pouvons voir ces notations dans la figure des triangles congruents ci-dessous. Tu remarqueras que les différents côtés et angles correspondants ont leurs propres notations pour indiquer lequel correspond à l'autre. Pour éviter de confondre les côtés et les angles séparés, les différentes paires ont un nombre différent de marques (par exemple, une ligne, deux lignes, trois lignes).
Triangles congruents, StudySmarter Originals
Dans la figure ci-dessus, les côtés AB et DE sont égaux, ils sont donc marqués par un seul tiret. De même, les côtés BC et EF sont égaux, et les côtés AC et DF sont égaux. De même, [...] qui est indiqué par une seule marque courbe. Les marques courbes doubles et triples sont utilisées comme notation pour montrer que et respectivement. Note que le signe est utilisé pour montrer que les triangles sont congruents. Pour la figure ci-dessus, on peut dire que c'est-à-dire que le triangle ABC est congru au triangle DEF.
Triangles congruents et triangles non congruents
Il est important de noter que pour que les triangles congruents restent congruents, nous ne pouvons effectuer que des transformations de translation (changement d'emplacement) ou de rotation sur l'un d'entre eux. Si nous devons transformer la forme ou la taille (ou certains angles ou longueurs) d'un triangle pour qu'ils se chevauchent exactement, alors les triangles sont non congruents. Définissons les triangles non congruents.
Les triangles non congruents sont des triangles dont la forme et/ou la taille diffèrent les uns des autres.
Prenons un exemple.
Deux triangles sont donnés dans l'image ci-dessous. Semblent-ils congruents ?
Deux triangles non congruents, StudySmarter Originals
Solution : Ce cas est assez évident : les triangles donnés ont une forme et une taille différentes, quelle que soit la façon dont tu les déplaces ou les fais pivoter. Cela signifie que les triangles donnés ne sont pas congruents.
Vérifie si les triangles donnés sont congruents ou non.
Deux triangles semblables, StudySmarter Originals
Solution : En se basant sur les notations des angles des triangles, on peut voir que. En regardant la figure, on peut avoir l'impression que les triangles sont congruents. Cependant, le triangle ABC est plus grand que le triangle DEF. Bien que les triangles aient la même forme, ils ne sont pas congruents. Lorsque nous faisons glisser le triangle DEF sur le triangle ABC, ils ne s'emboîtent pas exactement l'un dans l'autre. C'est parce que les longueurs de leurs côtés ne sont pas égales.
Triangles semblables placés l'un sur l'autre, StudySmarter Originals
Le triangle DEF s'inscrit à l'intérieur du triangle ABC. Les triangles ont donc la même forme mais des tailles différentes, ce qui en fait des triangles non congruents. Ils sont cependant similaires!
Les trianglessemblables sont des triangles qui ont la même forme (en raison de l'égalité de leurs angles correspondants) mais dont la taille est différente.
Règles pour déterminer les triangles congruents
Maintenant que nous connaissons le concept des triangles congruents, comment pouvons-nous déterminer si les triangles sont congruents ? Dans les deux premiers exemples, nous avons fait glisser et tourner les triangles pour voir s'ils étaient congruents. Tu te demandes peut-être si nous pouvons savoir si les triangles sont congruents simplement en les regardant de près. Cependant, le fait de se fier uniquement à la vision peut être erroné et inexact. Faire tourner et glisser les triangles n'est pas non plus la meilleure méthode ! Il existe des méthodes plus précises pour savoir si les triangles sont congruents.
Comme tu l'as deviné, nous pouvons déterminer la congruence en mesurant les triangles. Ceux dont les côtés et les angles correspondants sont égaux sont congruents. Voyons un exemple de cette méthode.
Deux triangles sont positionnés juste à côté l'un de l'autre. Le second a subi une rotation. Nous devons trouver si ces deux triangles sont congruents.
Triangles orientés différemment, StudySmarter Original
Tout d'abord, faisons pivoter le deuxième triangle, afin qu'il soit positionné dans la même orientation que le premier triangle. Cette étape n'est pas obligatoire, mais elle permet de voir les formes plus clairement et de comparer les côtés droits et les angles.
Triangles orientés de la même façon, StudySmarter Originals
Mesurons ensuite les angles et les côtés des deux triangles. Pour mieux comprendre nos résultats, nommons les triangles ABC et DEF.
Triangles nommés, StudySmarter Original
Les mesures des triangles donnés sont :
En comparant les mesures des triangles, nous pouvons voir qu'elles sont toutes égales. Cela signifie que les triangles sont congruents. Nous l'indiquons à l'aide du symbole suivant :
Cela prendrait beaucoup de temps de mesurer chaque côté et chaque angle chaque fois que nous voudrions déterminer la congruence d'un triangle. C'est pourquoi nous nous appuyons sur les théorèmes de congruence des triangles qui nous aident à réduire le nombre de mesures nécessaires pour évaluer la congruence.
Types de triangles congruents et théorèmes
Suppose que tu ne connaisses que quelques informations sur les mesures de deux triangles, comme les mesures de deux de leurs angles et la longueur du côté entre ces angles. Si ces mesures spécifiques sont égales entre les deux triangles, cette quantité limitée d'informations suffit à prouver qu'ils sont congruents. Pourquoi n'avons-nous pas besoin de toutes les mesures d'angle et de longueur de côté des triangles pour le confirmer ? C'est parce que nous pouvons nous référer au théorème connu de congruence des triangles, Angle-Côté-Angle (ASA), qui stipule que nos mesures égales (deux angles et leur côté commun) sont suffisantes.
Selon letype d'informations dont nous disposons sur les mesures des triangles, nouspouvons choisir parmi les cinq théorèmes de congruence des triangles pour nous aider à évaluer la congruence. Les théorèmesconnus pour la congruence des triangles sont indiqués dans le tableau ci-dessous. Nous pouvons également considérer ces théorèmes comme des raccourcis de mesure, chacun ayant ses propres règles et conditions spécifiques.
| Nom du théorème | Énoncé | Figure |
| Côté-côté-côté(SSS) | Les triangles sont congruents si... les trois côtés d'un triangle sont égaux aux trois côtés d'un autre triangle. |
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| Côté-angle-côté(SAS) | Les triangles sont congruents si... deux côtés et l'angle inclus de ces côtés d'un triangle sont égaux aux deux côtés et à l'angle inclus d'un autre triangle. |
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| Hypothénuse-Leg(HL) | Les triangles sont congruents si... le côté de l'hypothénuse et un côté quelconque d'un triangle rectangle sont égaux à l'hypoténuse et à un autre côté d'un autre triangle rectangle. |
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| Angle-côté-angle(ASA) | Les triangles sont congruents si... deux angles et le côté inclus d'un triangle sont égaux aux deux angles et au côté inclus d'un autre triangle. |
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| Angle-angle-côté(AAS) | Les triangles sont congruents si... deux angles et un côté non inclus d'un triangle sont égaux aux deux angles et au côté non inclus d'un autre triangle. |
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Triangles congruents - Principaux enseignements
- Les triangles sont congruents si leurs côtés et leurs angles respectifs sont égaux (ils ont la même forme et la même taille).
- Les triangles congruents peuvent être placés à différents endroits et tournés l'un par rapport à l'autre.
- Les triangles non congruents diffèrent par leur forme et/ou leur taille.
- Il existe des règles ou des théorèmes qui permettent de déterminer si les triangles sont congruents ou non.
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