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On peut aussi te demander de déterminer quel changement a eu lieu sur le triangle orienté différemment. Dans ce cas, il s'agit d'une transformation de congruence car les triangles sont identiques. Dans cet article, nous allons discuter en détail des transformations de congruence.
Définition des transformations de congruence
Avant de parler des transformations de congruence, considérons d'abord les concepts et les définitions de la congruence et des transformations séparément. Que signifie la congruence d'objets ou de formes ?
On dit que deux objets sont congruents s'ils ont la même forme et les mêmes dimensions (taille). Par exemple, un objet et son reflet dans un miroir sont congruents, alors qu'un objet et sa photographie ne le sont pas, car la photographie est une représentation à échelle réduite de l'objet.
Deux formes sont congruentes si l'une d'entre elles peut être déplacée (sans changer sa forme ou sa taille) de manière à s'adapter exactement à l'autre. Qu'est-ce qu'une transformation, telle qu'elle est effectuée sur une forme ou un objet ?
En géométrie, une transformation est définie comme le changement de la position relative ou de la taille d'un objet.
Définissons ensuite les transformations de congruence, qui est une combinaison de ces deux concepts :
Une transformation de congruence est le mouvement ou le repositionnement d'une forme tel qu'il produit une forme congruente à l'originale.
Note que toutes les transformations ne sont pas des transformations de congruence. Par exemple, une transformation qui modifie la taille de l'objet n'est pas une transformation de congruence. En effet, si deux objets ne se recouvrent pas exactement après l'application d'une transformation, les objets sont incongrus et la transformation n'était pas une transformation de congruence.
Les transformations de congruence sont utiles car elles nous permettent de prouver la congruence entre les formes. Selon le cas, nous pouvons prouver la congruence des formes en utilisant une transformation de congruence ou une séquence de plusieurs transformations de congruence.
Il existe trois types de transformations de congruence :
Translation (vers le haut, vers le bas, vers la gauche, vers la droite), comme faire glisser une feuille de papier sur une table.
Réflexion (image miroir d'un objet)
Rotation (autour d'un point de l'objet ou d'un objet situé à l'extérieur).
Nous allons maintenant examiner chacun de ces types de transformations plus en détail, ainsi que quelques exemples.
Exemples pratiques de transformations de congruence
Explorons plus en détail chacune des trois transformations de congruence :
- Traductions
- Réflexions
- Les rotations
Traductions
Une translation consiste à prendre une forme et à la déplacer ailleurs. La forme réelle ne change pas, elle est simplement "copiée et collée" ailleurs. Les exemples ci-dessous illustrent ce concept.
Décris la transformation qui fait correspondre le triangle ABC à A'B'C'.
Transformation du triangle ABC en A'B'C' - StudySmarter Originals
Solution
Sur la figure, nous pouvons voir que le triangle ABC a simplement été déplacé vers un autre endroit, ce qui donne le triangle A'B'C'. Pour décrire les translations, nous utilisons des vecteurs. Dans le diagramme ci-dessus, si nous regardons le point A, nous pouvons voir qu'il a été déplacé de trois cases vers la droite et de quatre cases vers le haut pour atteindre le point A'. Il en va de même pour les points B et C. On peut donc dire que la forme a été translatée par le vecteur .
L'utilisation des vecteurs nous permet de décrire les translations avec précision. Rappelle-toi que les vecteurs sont notés où a représente les unités qui ont été déplacées horizontalement et b représente les unités qui ont été déplacées verticalement. Si la valeur de a est négative, la forme est déplacée vers la gauche. Si la valeur de b est négative, la forme est déplacée vers le bas.
Traduis le quadrilatère ci-dessous par le vecteur .
Exemple de traduction - StudySmarter Originals
Solution
Pour traduire la forme, il est utile d'examiner chaque point individuellement. Si nous prenons le point A, nous devons le déplacer de 4 cases vers la gauche et de 3 cases vers le bas pour obtenir le point A'. Si nous faisons la même chose pour les points B, C et D, nous obtenons le quadrilatère ci-dessous A'B'C'D'.
Exemple de traduction - StudySmarter Originals
Reflets
Un reflet est essentiellement l'image miroir d'une forme réfléchie sur une ligne particulière. Pour réfléchir une forme, nous devons connaître l'équation de la ligne sur laquelle nous réfléchissons. Nous pouvons également réfléchir des formes sur l'axe des x ou des y. Voici quelques exemples de réflexions.
Réfléchis la forme ABCD sur l'axe des ordonnées.
Exemple de réflexion 1 - StudySmarter Originals
Solution
Puisque nous réfléchissons sur l'axe des y, la forme ne se déplacera qu'horizontalement et seules les valeurs x changeront. Pour réfléchir sur l'axe des y, nous multiplions les valeurs x par -1, comme suit :
- Le point A (2,5) est réfléchi vers le point A' (-2,5).
- Le point B (4,5) est réfléchi sur le point B' (-4,5)
- Le point C (4,3) est réfléchi sur le point C' (-4,3)
- Le point D (2,3) est réfléchi sur le point D' (-2,3)
Vois les points réfléchis A', B', C' et D' sur le graphique ci-dessous.
Exemple de réflexion 1 - StudySmarter Originals
Dans la forme ci-dessous, décris la transformation unique qui fait correspondre le triangle ABC au triangle A'B'C'.
Exemple de réflexion 2 - StudySmarter Originals
Solution
Si nous regardons attentivement la figure ci-dessus, nous pouvons voir que la forme ABC a été réfléchie sur la ligne . Nous avons donc une réflexion sur la ligne .
Cette droite a une pente positive de 1 et passe directement par l'origine (0,0). Pour réfléchir sur la droite y=x, nous échangeons les coordonnées x et y des points, comme suit :
- Le point A (3,-1) est réfléchi sur le point A' (-1,3).
- Le point B (3,-3) est réfléchi en point B' (-3,3)
- Le point C (1,-3) est réfléchi sur le point C' (-3,1)
Rotations
On parle de rotation lorsqu'une forme est tournée autour d'un point particulier. Les rotations courantes sont de 90 degrés et de 180 degrés dans le sens des aiguilles d'une montre ou dans le sens inverse. Lorsque l'on fait pivoter une forme, il faut tenir compte du centre de rotation.
Décris la transformation unique qui fait correspondre la forme ABCDE à A'B'C'D'E'.
Exemple de rotation 1 - StudySmarter Originals
Solution
En regardant la forme transformée, nous pouvons dire qu'il y a eu une rotation de 90 degrés dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. Cependant, nous devons déterminer le centre de la rotation. Si nous regardons les points E et E', nous pouvons voir qu'un angle droit est formé autour de l'origine. Par conséquent, l'origine est le centre de rotation pour la transformation de congruence de cette forme. Nous avons donc une rotation de 90 degrés dans le sens inverse des aiguilles d'une montre autour de l'origine.
Pour faire pivoter un objet de 90 degrés autour de l'origine, nous procédons à l'ajustement suivant de nos coordonnées :
(x,y) devient (-y,x), comme suit :
- Le point A (2,3) est tourné vers le point A' (-3,2).
- Le point B (4,3) est pivoté au point B' (-3,4)
- Le pointC (4,0) est pivoté sur le point C' (0,4)
- Le point D (3,1) est pivoté jusqu'au point D' (-1,3)
- Le point E (2,0) est pivoté sur le point E' (0,2)
Fais pivoter le triangle ABC de 180 degrés autour de l'origine.
Exemple de rotation 2 - StudySmarter Originals
Solution
Si nous considérons la distance du point A par rapport à l'origine, nous pouvons voir qu'il se trouve à 1 unité à droite et à 3 unités vers le haut. Si nous le faisons pivoter de 180 degrés dans le sens des aiguilles d'une montre, il se trouvera à 1 unité à gauche de l'origine et à 3 unités vers le bas. Il en va de même pour les points B et C. Nous obtenons la rotation ci-dessous.
Exemple de rotation 2 - StudySmarter Originals
Pour faire pivoter un objet de 180 degrés autour de l'origine, nous effectuons l'ajustement suivant sur nos coordonnées :
(x,y) devient (-x,-y), comme suit :
- Le point A (1,3) est pivoté en point A' (-1,-3).
- Le point B (3,1) est pivoté au point B' (-3,-1)
- Le point C (4,4) est pivoté sur le point C' (-4,-4)
Règles des transformations de congruence
Nous allons maintenant jeter un coup d'œil à deux théorèmes importants sur les transformations de congruence. Il s'agit du théorème des réflexions en droites parallèles et du théorème des réflexions en droites sécantes, et ils nous aident à identifier les transformations de congruence. Commençons par parler du théorème de réflexion sur les droites parallèles.
Théorème de réflexion sur les droites parallèles
Le théorème de réflexion sur les droites parallèles stipule que si l'on réfléchit une forme sur deux droites parallèles, d'abord sur la droite A puis sur la droite B, le triangle résultant est identique à la translation du triangle d'origine. De plus, l'orientation de la translation résultante est perpendiculaire aux lignes parallèles et la magnitude sera toujours égale à deux fois la distance entre les lignes parallèles.
Théorème des réflexions sur les droites parallèles - StudySmarter Originals
Théorème des réflexions sur les lignes sécantes
Le théorème des réflexions sur les lignes d'intersection stipule que, si l'on réfléchit une forme deux fois sur deux lignes d'intersection, la forme résultante peut également être obtenue par une rotation de la forme autour du point d'intersection des lignes. L'angle de rotation est toujours le double de l'angle entre les lignes d'intersection.
Théorème des réflexions sur les lignes d'intersection - StudySmarter Originals
Transformations congruentes - Points clés à retenir
Il existe trois types de transformations congruentes : la réflexion, la translation et les rotations.
Les transformations de congruence ne modifient pas la forme ou la taille de l'objet.
Si une forme peut être obtenue à partir d'une autre par une séquence de transformations de congruence, les formes sont congruentes.
La congruence entre deux formes peut être prouvée par une seule transformation de congruence ou par une séquence de transformations de congruence.
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