Contenu de l'apprentissage
Trouver des contenus d'apprentissage

Découvre les meilleurs supports d'apprentissage pour toutes les matières.

Resumes
Matières scolaires

Allemand

Anglais

Biologie

Chinois

Droit

Économie et gestion

Espagnol

Français

Géographie

Histoire

Informatique

Ingénierie

Italien

Marketing

Mathématiques

Physique-chimie

Psychologie

Science de l'environnement

Sciences combinées

Sciences économiques et sociales

Sciences politiques

Soins infirmiers
Fonctionnalités
Fonctionnalités

Inscris-toi gratuitement et découvre toutes les fonctionnalités de StudySmarter.

Flashcards

StudySmarter IA

Notes de cours

Planning de révision

Dossiers

Examens
Quelles sont les nouveautés ?

Flashcards
Apprends et crée des flashcards comme jamais auparavant.

StudySmarter AI
Tous tes documents d'apprentissage rassemblés en un seul endroit.

Notes de cours
Crée et édite les plus belles notes.

Planning de révision
Une organisation parfaite avec des plans d'apprentissage et des listes de to-do.
Ressources
Découvrir

Tous les conseils et astuces sur les études et la carrière.

Magazine

Faire carrière

App mobile
Nous présentons

Magazine
Des articles utiles pour les études et la carrière.

Faire carrière
Le plus grand site d'emploi pour les étudiants.

App mobile
Tout ce dont tu as besoin pour apprendre dans une app.

Trouver des contenus d'apprentissage

Fonctionnalités

Découvrir

Théorèmes de proportionnalité

Qu'est-ce qu'une fête d'anniversaire sans gâteau ! La plupart des gens sont toujours excités d'arriver à la fin de la fête parce qu'ils vont pouvoir manger du gâteau. Mais tout le monde ne sait pas que pour faire un gâteau sucré, il faut les bonnes proportions des différents ingrédients. Ta recette peut nécessiter deux livres de farine pour un gâteau. Cela signifie que si tu veux faire deux gâteaux, tu auras besoin de 4 livres de farine. En mathématiques, tu peux exprimer cela sous forme de ratio et dire que le ratio de farine pour un gâteau est de $\frac{2}{1}$ et si tu veux faire deux gâteaux, il sera de $\frac{4}{2}$ . Ces rapports sont proportionnels l'un à l'autre parce qu'ils sont égaux.

C'est parti

+ Add tag
Immunology
Cell Biology
Mo

Le théorème de proportionnalité de base est également appelé théorème de proportionnalité du triangle.

Afficer la réponse

+ Add tag
Immunology
Cell Biology
Mo

Le théorème de proportionnalité converse est l'inverse du théorème de proportionnalité de base.

Afficer la réponse

+ Add tag
Immunology
Cell Biology
Mo

Le théorème de proportionnalité peut être utilisé dans la construction. Vrai ou faux

Afficer la réponse

+ Add tag
Immunology
Cell Biology
Mo

Le théorème de proportionnalité est utilisé pour montrer la relation entre la longueur des côtés des triangles.

Afficer la réponse

+ Add tag
Immunology
Cell Biology
Mo

Le théorème de proportionnalité de base est également appelé théorème de proportionnalité du triangle.

Afficer la réponse

+ Add tag
Immunology
Cell Biology
Mo

Le théorème de proportionnalité converse est l'inverse du théorème de proportionnalité de base.

Afficer la réponse

+ Add tag
Immunology
Cell Biology
Mo

Le théorème de proportionnalité peut être utilisé dans la construction. Vrai ou faux

Afficer la réponse

+ Add tag
Immunology
Cell Biology
Mo

Le théorème de proportionnalité est utilisé pour montrer la relation entre la longueur des côtés des triangles.

Afficer la réponse

Fact Checked Content
Last Updated: 01.01.1970
reading time:10 min

Content creation process designed by
Content cross-checked by
Content quality checked by

Que sont les théorèmes de proportionnalité en géométrie ?

Les théorèmes de proportionnalité montrent les relations entre les formes sous forme de rapports. Ils montrent comment différents rapports d'une figure ou d'une quantité sont égaux. Les théorèmes de proportionnalité sont surtout utilisés dans les triangles. Examinons le concept fondamental du théorème de proportionnalité à l'aide des figures de triangle ci-dessous.

Théorèmes de proportionnalité Triangles semblables StudySmarter Triangles semblables - StudySmarter Originals

Les triangles ci-dessus seront appelés triangles semblables si leurs angles sont congruents et si leurs côtés correspondants sont proportionnels. La formule de proportionnalité pour les triangles semblables est donc la suivante.

$\frac{A B}{K L} = \frac{A C}{K M} = \frac{B C}{L M}$

Qu'est-ce que le théorème de proportionnalité de base ?

Le théorèmede proportionnalité de base s'attache à montrer la relation entre la longueur des côtés d'un triangle.

Le théorème de proportionnalité stipule que si une ligne est tracée parallèlement à un côté d'un triangle pour croiser les deux autres côtés en des points distincts, alors les deux autres côtés sont divisés dans le même rapport.

La figure ci-dessous donne une représentation visuelle du théorème.

Théorèmes de proportionnalité Triangle StudySmarter Un triangle - StudySmarter Originals

Dans la figure $∆ A B C$ ci-dessus, $\bar{D E}$ est parallèle à $\bar{B C}$ . Selon le théorème de proportionnalité de base, le rapport de $\bar{A D}$ à $D B$ est égal au rapport de $\bar{A E}$ à $E C$ :

\frac{A D}{D B} = \frac{A E}{E C}

Le rapport ci-dessus est considéré comme la formule de proportionnalité de base.

Nous pouvons prouver ce théorème et trouver comment obtenir la formule. Voyons comment.

D'après le théorème, nous savons que $D B$ et $E C$ sont dans le même rapport et nous voulons prouver qu'ils sont égaux. Nous allons d'abord former des triangles qui ont $D B$ et $E C$ comme longueur de côté. Pour obtenir ces triangles, nous tracerons un segment reliant $B$ à $E$ et un autre segment joignant $C$ à $D$ comme indiqué ci-dessous.

Théorèmes de proportionnalité Triangle divisé par des segments StudySmarter Un triangle divisé en parties avec des segments - StudySmarter Originals

Nous avons maintenant formé deux nouveaux triangles $(∆ D E B a n d ∆ D E C)$ .

La prochaine chose à faire est de trouver une relation entre les nouveaux triangles. En particulier, examinons l'aire. $∆ D E B a n d ∆ D E C$ Les deux triangles ont la même base $\bar{D E}$ et la même hauteur parce que le troisième sommet du triangle est situé entre la même parallèle. Par conséquent, la surface des deux triangles doit être égale :

A r e a_{(∆ D E B)} = A r e a_{(∆ E D C)}

Considérons maintenant $∆ A E D$ . Prenons $A D$ comme base et la hauteur comme la distance perpendiculaire de la ligne $A D$ au sommet opposé $E$ . Vois ce que cela donne dans la figure ci-dessous.

Théorèmes de proportionnalité Triangle divisé par des segments StudySmarter Un triangle divisé en parties avec des segments - StudySmarter Originals

L'aire de ce triangle est

A r e a_{(∆ A E D)} = \frac{1}{2} \times \bar{A D} \times \bar{E P}

Nous avons également besoin de l'aire de $∆ D E B$ qui sera :

A r e a_{(∆ D E B)} = \frac{1}{2} \times \bar{D B} \times \bar{E P}

Maintenant, nous pouvons faire le rapport entre l'aire de $∆ D E B$ à l'aire de $∆ A E D$ et le comparer au rapport entre l'aire de $∆ E C D$ à l'aire de $∆ A E D$ . Par conséquent, le rapport des surfaces est de :

$\frac{a r (∆ A E D)}{a r (∆ D E B)} = \frac{\frac{1}{2} \times A D \times E P}{\frac{1}{2} \times D B \times E P} = \frac{A D}{D B}$

Comme tu peux le voir, nous avons obtenu la première partie de la formule. Pour obtenir l'autre partie, nous allons répéter tout ce que nous venons de faire mais avec $∆ E D C$ .

Contrairement à ce qui s'est passé auparavant, au lieu d'utiliser $A D$ comme base de $∆ A E D$ nous utiliserons $A E$ comme base et la hauteur sera la distance perpendiculaire opposée au sommet $D$ . Vois ce que cela donne dans la figure ci-dessous.

Théorèmes de proportionnalité Triangle divisé par des segments StudySmarter Un triangle divisé en parties avec des segments - StudySmarter Originals

L'aire de $∆ A E D$ d'après l'image ci-dessus est

$A r e a_{(∆ A E D)} = \frac{1}{2} \times \bar{A E} \times \bar{D Q}$

Considérons maintenant l'aire de $∆ E D C$ . Nous prendrons EC comme base et $D Q$ comme hauteur. La surface est la suivante.

$A r e a_{(∆ E D C)} = \frac{1}{2} \times \bar{E C} \times \bar{D Q}$

Nous obtiendrons maintenant le rapport des deux surfaces, qui sera :

$\frac{A r e a_{(∆ A E D)}}{A r e a_{(∆ E D C)}} = \frac{\frac{1}{2} \times A E \times D Q}{\frac{1}{2} \times E C \times D Q} = \frac{A E}{E C}$

Tu peux donc voir que nous avons obtenu l'autre partie de la formule. Mais comment montrer que les deux parties sont égales ? Mettons les deux rapports en équation et voyons ce qu'il en est.

$\frac{A r e a_{(∆ A E D)}}{A r e a_{(∆ D E B)}} = \frac{A r e a_{(∆ A E D)}}{A r e a_{(∆ E D C)}}$

Les deux numérateurs sont identiques, ils sont donc égaux. Rappelle-toi qu'au début de la démonstration, nous avons vu que

A r e a_{(∆ D E B)} = A r e a_{(∆ E D C)}

Par conséquent ,

\frac{A D}{D B} = \frac{A E}{E C}

Le théorème de proportionnalité du triangle et le théorème fondamental de proportionnalité

Le théorème de proportionnalité dutriangle et le théorème fondamental de proportionnalité ne sont que d'autres noms pour le théorème de proportionnalité de base. Tu peux voir ce théorème désigné par l'un ou l'autre de ces titres !

Exemples de théorème de proportionnalité

Voyons l'application du théorème de proportionnalité avec quelques exemples.

Considère un $∆ A B C$ où DE est parallèle à $B C$ . $A D = 1.5 c m, D B = 3 c m, A E = 1$ . Trouver $E C$ .

Rappelle-toi la formule

\frac{A D}{D B} = \frac{A E}{E C}

Il ne nous reste plus qu'à substituer les valeurs.

$\frac{1.5}{3} = \frac{1}{E C} 1.5 \times E C = 3 \times 1 1.5 E C = 3 E C = \frac{3}{1.5} E C = 2 c m$

Prenons un autre exemple.

Considère $∆ E F G$ où $H L$ et $E F$ sont parallèles l'une à l'autre. $E H = 9 c m, H G = 21, F L = 6 c m$ . Trouve $L G$

Théorèmes de proportionnalité Un exemple pour résoudre la proportionnalité StudySmarterrtio

D'après le théorème de proportionnalité,

\frac{E H}{H G} = \frac{F L}{L G}

En remplaçant les valeurs connues, on obtient

$\begin{array}{rcl} \frac{9}{21} & = & \frac{6}{L G} \\ 9 \times L G & = & 6 \times 21 \\ 9 L G & = & 126 \\ L G & = & \frac{126}{9} \\ L G & = & 14 c m \end{array}$

En plus de montrer la relation entre la longueur des côtés des triangles, dans la vie réelle, le théorème de proportionnalité peut être utilisé dans la construction.

L'inverse du théorème de proportionnalité de base

La converse du théorème de proportionnalité de base est l'inverse du théorème de proportionnalité de base. Ce théorème stipule que si une ligne est tracée pour croiser deux côtés d'un triangle en différents points de telle sorte qu'elle coupe les deux côtés dans le même rapport, alors la ligne est parallèle au troisième côté.

Théorèmes de proportionnalité Théorème de proportionnalité du triangle StudySmarter Un triangle - StudySmarter Originals

Dans le théorème de proportionnalité de base, nous avons vu que $D E$ et $B C$ sont parallèles et nous voulons maintenant prouver que $D E$ et $B C$ sont effectivement parallèles. Nous le ferons en utilisant le théorème de proportionnalité de base qui est

\frac{A D}{D B} = \frac{A E}{E C}

Cette preuve est une preuve par contradiction, ce qui signifie que nous supposerons que notre résultat souhaité est erroné. Nous supposerons que $D E$ n'est pas parallèle à $B C$ ( $(D E ∦ B C)$ . Si c'est le cas, il doit y avoir un autre point sur la ligne $A C$ de telle sorte qu'un segment tracé du point $D$ à ce point est parallèle à $B C$ . Vois la figure ci-dessous pour plus de clarté.

Théorèmes de proportionnalité Théorème de proportionnalité inverse StudySmarter Un triangle divisé en parties avec des segments - StudySmarter Originals

Maintenant que nous avons un segment de droite $A F$ qui est parallèle à $B C$ Nous pouvons maintenant utiliser le théorème de proportionnalité de base, qui est le suivant

$\frac{A D}{D B} = \frac{A F}{F C}$

Si tu considères le théorème de proportionnalité de base, tu auras :

$\frac{A D}{D B} = \frac{A F}{F C} = \frac{A E}{E C}$

Nous avons maintenant déduit que $D F$ est parallèle à $B C$ et nous voulons montrer que $D E$ est parallèle à $B C$ . Cela signifie que ce que nous voulons vraiment faire, c'est montrer que $D F$ et $D E$ sont les mêmes segments. Ainsi, si nous considérons l'équation ci-dessus, tu verras que le premier rapport n'est pas vraiment nécessaire. Il nous reste donc

$\frac{A F}{F C} = \frac{A E}{E C}$

Nous disons maintenant que $D F$ et $D E$ sont les mêmes segments, ce qui signifie que le point $F$ et le point $E$ sont les mêmes. Si c'est notre conclusion, alors le segment $A F$ et $A E$ sont identiques, mais nous ne l'avons pas encore prouvé.

D'après la figure, on peut dire que le segment $A C$ est égal à la somme du segment $A E$ et $E C$ .

$A C = A E + E C$

Revenons à l'une de nos équations.

\frac{A F}{F C} = \frac{A E}{E C}

Nous allons maintenant ajouter 1 ( un) aux deux côtés de l'équation et les faire entrer dans les fractions en leur donnant un dénominateur commun.

$\begin{array}{rcl} \frac{A F}{F C} + 1 & = & \frac{A E}{E C} + 1 \\ \frac{A F}{F C} + \frac{F C}{F C} & = & \frac{A E}{E C} + \frac{E C}{E C} \\ \frac{A F + F C}{F C} & = & \frac{A E + E C}{E C} \end{array}$

Les deux numérateurs des deux côtés de l'équation sont des représentations du segment $A C$ . Nous pouvons donc les remplacer par $A C$

$\frac{A C}{F C} = \frac{A C}{E C}$

Simplifions davantage en multipliant les deux côtés par $\frac{1}{A C}$ .

$\begin{array}{rcl} \frac{A C}{F C} \times \frac{1}{A C} & = & \frac{A C}{E C} \times \frac{1}{A C} \\ \frac{1}{F C} & = & \frac{1}{E C} \end{array}$

Puisqu'ils sont égaux, leurs réciproques seront également égales. Par conséquent ,

$\bar{F C} = \bar{E C}$

Tu devrais observer que $F C$ et $E C$ sont sur la même ligne. S'ils sont sur la même ligne, ils ne peuvent être égaux que si les deux segments commencent au même point. Cela signifie que le point F doit être égal au point $E$ . Cela signifie également que le segment $D E$ est identique à $D F$ .

Cela permet de conclure que $D F$ est bien parallèle à $B C$ .

Théorèmes de proportionnalité - Principaux enseignements

Le théorème de proportionnalité de base stipule que si une ligne est tracée parallèlement à un côté d'un triangle pour croiser les deux autres côtés en des points distincts, alors les deux autres côtés sont divisés dans le même rapport. La figure ci-dessous donne une représentation visuelle du théorème.
Le théorème de proportionnalité de base est également appelé théorème de proportionnalité du triangle et théorème du segment de proportionnalité.
Le contraire du théorème de proportionnalité de base est l'inverse du théorème de proportionnalité de base. Ce théorème stipule que si une ligne est tracée pour couper deux côtés d'un triangle en différents points de telle sorte qu'elle coupe les deux côtés dans le même rapport, alors la ligne est parallèle au troisième côté.

Fiches dans Théorèmes de proportionnalité 4

Commence à apprendre

Le théorème de proportionnalité de base est également appelé théorème de proportionnalité du triangle.

Vrai

Le théorème de proportionnalité converse est l'inverse du théorème de proportionnalité de base.

Vrai

Le théorème de proportionnalité peut être utilisé dans la construction. Vrai ou faux

Vrai

Le théorème de proportionnalité est utilisé pour montrer la relation entre la longueur des côtés des triangles.

Vrai

S'inscrire avec un e-mail

Tu as déjà un compte ? Connecte-toi

Questions fréquemment posées en Théorèmes de proportionnalité

Qu'est-ce que le théorème de Thalès?

Le théorème de Thalès établit une proportionnalité entre les segments de côtés de deux triangles semblables.

Comment appliquer le théorème de Thalès?

Pour appliquer ce théorème, identifier deux triangles semblables, puis utiliser les rapports proportionnels des longueurs des côtés correspondants.

Qu'est-ce que le théorème des segments proportionnels?

Le théorème des segments proportionnels affirme que des segments découpés par des droites parallèles sont proportionnels.

Quelle est la différence entre le théorème de Thalès et le théorème des segments proportionnels?

Le théorème de Thalès concerne des triangles semblables, tandis que le théorème des segments proportionnels traite des segments créés par des droites parallèles.

Sauvegarder l'explication

Teste tes connaissances avec des questions à choix multiples

De Score

Accède à plus de 700 millions de ressources d'apprentissage

Étudie plus efficacement avec des flashcards

Obtiens de meilleures notes grâce l'IA

Tu as déjà un compte ? Connecte-toi

Découvre des matériels d'apprentissage avec l'application gratuite StudySmarter

Lance-toi dans tes études

À propos de StudySmarter

StudySmarter est une entreprise de technologie éducative mondialement reconnue, offrant une plateforme d'apprentissage holistique conçue pour les étudiants de tous âges et de tous niveaux éducatifs. Notre plateforme fournit un soutien à l'apprentissage pour une large gamme de sujets, y compris les STEM, les sciences sociales et les langues, et aide également les étudiants à réussir divers tests et examens dans le monde entier, tels que le GCSE, le A Level, le SAT, l'ACT, l'Abitur, et plus encore. Nous proposons une bibliothèque étendue de matériels d'apprentissage, y compris des flashcards interactives, des solutions de manuels scolaires complètes et des explications détaillées. La technologie de pointe et les outils que nous fournissons aident les étudiants à créer leurs propres matériels d'apprentissage. Le contenu de StudySmarter est non seulement vérifié par des experts, mais également régulièrement mis à jour pour garantir l'exactitude et la pertinence.