Théorèmes de proportionnalité: Fractions, Ratios

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Que sont les théorèmes de proportionnalité en géométrie ?

Les théorèmes de proportionnalité montrent les relations entre les formes sous forme de rapports. Ils montrent comment différents rapports d'une figure ou d'une quantité sont égaux. Les théorèmes de proportionnalité sont surtout utilisés dans les triangles. Examinons le concept fondamental du théorème de proportionnalité à l'aide des figures de triangle ci-dessous.

Théorèmes de proportionnalité Triangles semblables StudySmarter Triangles semblables - StudySmarter Originals

Les triangles ci-dessus seront appelés triangles semblables si leurs angles sont congruents et si leurs côtés correspondants sont proportionnels. La formule de proportionnalité pour les triangles semblables est donc la suivante.

$\frac{A B}{K L} = \frac{A C}{K M} = \frac{B C}{L M}$

Qu'est-ce que le théorème de proportionnalité de base ?

Le théorèmede proportionnalité de base s'attache à montrer la relation entre la longueur des côtés d'un triangle.

Le théorème de proportionnalité stipule que si une ligne est tracée parallèlement à un côté d'un triangle pour croiser les deux autres côtés en des points distincts, alors les deux autres côtés sont divisés dans le même rapport.

La figure ci-dessous donne une représentation visuelle du théorème.

Théorèmes de proportionnalité Triangle StudySmarter Un triangle - StudySmarter Originals

Dans la figure $∆ A B C$ ci-dessus, $\bar{D E}$ est parallèle à $\bar{B C}$ . Selon le théorème de proportionnalité de base, le rapport de $\bar{A D}$ à $D B$ est égal au rapport de $\bar{A E}$ à $E C$ :

\frac{A D}{D B} = \frac{A E}{E C}

Le rapport ci-dessus est considéré comme la formule de proportionnalité de base.

Nous pouvons prouver ce théorème et trouver comment obtenir la formule. Voyons comment.

D'après le théorème, nous savons que $D B$ et $E C$ sont dans le même rapport et nous voulons prouver qu'ils sont égaux. Nous allons d'abord former des triangles qui ont $D B$ et $E C$ comme longueur de côté. Pour obtenir ces triangles, nous tracerons un segment reliant $B$ à $E$ et un autre segment joignant $C$ à $D$ comme indiqué ci-dessous.

Théorèmes de proportionnalité Triangle divisé par des segments StudySmarter Un triangle divisé en parties avec des segments - StudySmarter Originals

Nous avons maintenant formé deux nouveaux triangles $(∆ D E B a n d ∆ D E C)$ .

La prochaine chose à faire est de trouver une relation entre les nouveaux triangles. En particulier, examinons l'aire. $∆ D E B a n d ∆ D E C$ Les deux triangles ont la même base $\bar{D E}$ et la même hauteur parce que le troisième sommet du triangle est situé entre la même parallèle. Par conséquent, la surface des deux triangles doit être égale :

A r e a_{(∆ D E B)} = A r e a_{(∆ E D C)}

Considérons maintenant $∆ A E D$ . Prenons $A D$ comme base et la hauteur comme la distance perpendiculaire de la ligne $A D$ au sommet opposé $E$ . Vois ce que cela donne dans la figure ci-dessous.

Théorèmes de proportionnalité Triangle divisé par des segments StudySmarter Un triangle divisé en parties avec des segments - StudySmarter Originals

L'aire de ce triangle est

A r e a_{(∆ A E D)} = \frac{1}{2} \times \bar{A D} \times \bar{E P}

Nous avons également besoin de l'aire de $∆ D E B$ qui sera :

A r e a_{(∆ D E B)} = \frac{1}{2} \times \bar{D B} \times \bar{E P}

Maintenant, nous pouvons faire le rapport entre l'aire de $∆ D E B$ à l'aire de $∆ A E D$ et le comparer au rapport entre l'aire de $∆ E C D$ à l'aire de $∆ A E D$ . Par conséquent, le rapport des surfaces est de :

$\frac{a r (∆ A E D)}{a r (∆ D E B)} = \frac{\frac{1}{2} \times A D \times E P}{\frac{1}{2} \times D B \times E P} = \frac{A D}{D B}$

Comme tu peux le voir, nous avons obtenu la première partie de la formule. Pour obtenir l'autre partie, nous allons répéter tout ce que nous venons de faire mais avec $∆ E D C$ .

Contrairement à ce qui s'est passé auparavant, au lieu d'utiliser $A D$ comme base de $∆ A E D$ nous utiliserons $A E$ comme base et la hauteur sera la distance perpendiculaire opposée au sommet $D$ . Vois ce que cela donne dans la figure ci-dessous.

Théorèmes de proportionnalité Triangle divisé par des segments StudySmarter Un triangle divisé en parties avec des segments - StudySmarter Originals

L'aire de $∆ A E D$ d'après l'image ci-dessus est

$A r e a_{(∆ A E D)} = \frac{1}{2} \times \bar{A E} \times \bar{D Q}$

Considérons maintenant l'aire de $∆ E D C$ . Nous prendrons EC comme base et $D Q$ comme hauteur. La surface est la suivante.

$A r e a_{(∆ E D C)} = \frac{1}{2} \times \bar{E C} \times \bar{D Q}$

Nous obtiendrons maintenant le rapport des deux surfaces, qui sera :

$\frac{A r e a_{(∆ A E D)}}{A r e a_{(∆ E D C)}} = \frac{\frac{1}{2} \times A E \times D Q}{\frac{1}{2} \times E C \times D Q} = \frac{A E}{E C}$

Tu peux donc voir que nous avons obtenu l'autre partie de la formule. Mais comment montrer que les deux parties sont égales ? Mettons les deux rapports en équation et voyons ce qu'il en est.

$\frac{A r e a_{(∆ A E D)}}{A r e a_{(∆ D E B)}} = \frac{A r e a_{(∆ A E D)}}{A r e a_{(∆ E D C)}}$

Les deux numérateurs sont identiques, ils sont donc égaux. Rappelle-toi qu'au début de la démonstration, nous avons vu que

A r e a_{(∆ D E B)} = A r e a_{(∆ E D C)}

Par conséquent ,

\frac{A D}{D B} = \frac{A E}{E C}

Le théorème de proportionnalité du triangle et le théorème fondamental de proportionnalité

Le théorème de proportionnalité dutriangle et le théorème fondamental de proportionnalité ne sont que d'autres noms pour le théorème de proportionnalité de base. Tu peux voir ce théorème désigné par l'un ou l'autre de ces titres !

Exemples de théorème de proportionnalité

Voyons l'application du théorème de proportionnalité avec quelques exemples.

Considère un $∆ A B C$ où DE est parallèle à $B C$ . $A D = 1.5 c m, D B = 3 c m, A E = 1$ . Trouver $E C$ .

Rappelle-toi la formule

\frac{A D}{D B} = \frac{A E}{E C}

Il ne nous reste plus qu'à substituer les valeurs.

$\frac{1.5}{3} = \frac{1}{E C} 1.5 \times E C = 3 \times 1 1.5 E C = 3 E C = \frac{3}{1.5} E C = 2 c m$

Prenons un autre exemple.

Considère $∆ E F G$ où $H L$ et $E F$ sont parallèles l'une à l'autre. $E H = 9 c m, H G = 21, F L = 6 c m$ . Trouve $L G$

Théorèmes de proportionnalité Un exemple pour résoudre la proportionnalité StudySmarterrtio

D'après le théorème de proportionnalité,

\frac{E H}{H G} = \frac{F L}{L G}

En remplaçant les valeurs connues, on obtient

$\begin{array}{rcl} \frac{9}{21} & = & \frac{6}{L G} \\ 9 \times L G & = & 6 \times 21 \\ 9 L G & = & 126 \\ L G & = & \frac{126}{9} \\ L G & = & 14 c m \end{array}$

En plus de montrer la relation entre la longueur des côtés des triangles, dans la vie réelle, le théorème de proportionnalité peut être utilisé dans la construction.

L'inverse du théorème de proportionnalité de base

La converse du théorème de proportionnalité de base est l'inverse du théorème de proportionnalité de base. Ce théorème stipule que si une ligne est tracée pour croiser deux côtés d'un triangle en différents points de telle sorte qu'elle coupe les deux côtés dans le même rapport, alors la ligne est parallèle au troisième côté.

Théorèmes de proportionnalité Théorème de proportionnalité du triangle StudySmarter Un triangle - StudySmarter Originals

Dans le théorème de proportionnalité de base, nous avons vu que $D E$ et $B C$ sont parallèles et nous voulons maintenant prouver que $D E$ et $B C$ sont effectivement parallèles. Nous le ferons en utilisant le théorème de proportionnalité de base qui est

\frac{A D}{D B} = \frac{A E}{E C}

Cette preuve est une preuve par contradiction, ce qui signifie que nous supposerons que notre résultat souhaité est erroné. Nous supposerons que $D E$ n'est pas parallèle à $B C$ ( $(D E ∦ B C)$ . Si c'est le cas, il doit y avoir un autre point sur la ligne $A C$ de telle sorte qu'un segment tracé du point $D$ à ce point est parallèle à $B C$ . Vois la figure ci-dessous pour plus de clarté.

Théorèmes de proportionnalité Théorème de proportionnalité inverse StudySmarter Un triangle divisé en parties avec des segments - StudySmarter Originals

Maintenant que nous avons un segment de droite $A F$ qui est parallèle à $B C$ Nous pouvons maintenant utiliser le théorème de proportionnalité de base, qui est le suivant

$\frac{A D}{D B} = \frac{A F}{F C}$

Si tu considères le théorème de proportionnalité de base, tu auras :

$\frac{A D}{D B} = \frac{A F}{F C} = \frac{A E}{E C}$

Nous avons maintenant déduit que $D F$ est parallèle à $B C$ et nous voulons montrer que $D E$ est parallèle à $B C$ . Cela signifie que ce que nous voulons vraiment faire, c'est montrer que $D F$ et $D E$ sont les mêmes segments. Ainsi, si nous considérons l'équation ci-dessus, tu verras que le premier rapport n'est pas vraiment nécessaire. Il nous reste donc

$\frac{A F}{F C} = \frac{A E}{E C}$

Nous disons maintenant que $D F$ et $D E$ sont les mêmes segments, ce qui signifie que le point $F$ et le point $E$ sont les mêmes. Si c'est notre conclusion, alors le segment $A F$ et $A E$ sont identiques, mais nous ne l'avons pas encore prouvé.

D'après la figure, on peut dire que le segment $A C$ est égal à la somme du segment $A E$ et $E C$ .

$A C = A E + E C$

Revenons à l'une de nos équations.

\frac{A F}{F C} = \frac{A E}{E C}

Nous allons maintenant ajouter 1 ( un) aux deux côtés de l'équation et les faire entrer dans les fractions en leur donnant un dénominateur commun.

$\begin{array}{rcl} \frac{A F}{F C} + 1 & = & \frac{A E}{E C} + 1 \\ \frac{A F}{F C} + \frac{F C}{F C} & = & \frac{A E}{E C} + \frac{E C}{E C} \\ \frac{A F + F C}{F C} & = & \frac{A E + E C}{E C} \end{array}$

Les deux numérateurs des deux côtés de l'équation sont des représentations du segment $A C$ . Nous pouvons donc les remplacer par $A C$

$\frac{A C}{F C} = \frac{A C}{E C}$

Simplifions davantage en multipliant les deux côtés par $\frac{1}{A C}$ .

$\begin{array}{rcl} \frac{A C}{F C} \times \frac{1}{A C} & = & \frac{A C}{E C} \times \frac{1}{A C} \\ \frac{1}{F C} & = & \frac{1}{E C} \end{array}$

Puisqu'ils sont égaux, leurs réciproques seront également égales. Par conséquent ,

$\bar{F C} = \bar{E C}$

Tu devrais observer que $F C$ et $E C$ sont sur la même ligne. S'ils sont sur la même ligne, ils ne peuvent être égaux que si les deux segments commencent au même point. Cela signifie que le point F doit être égal au point $E$ . Cela signifie également que le segment $D E$ est identique à $D F$ .

Cela permet de conclure que $D F$ est bien parallèle à $B C$ .

Théorèmes de proportionnalité - Principaux enseignements

Le théorème de proportionnalité de base stipule que si une ligne est tracée parallèlement à un côté d'un triangle pour croiser les deux autres côtés en des points distincts, alors les deux autres côtés sont divisés dans le même rapport. La figure ci-dessous donne une représentation visuelle du théorème.
Le théorème de proportionnalité de base est également appelé théorème de proportionnalité du triangle et théorème du segment de proportionnalité.
Le contraire du théorème de proportionnalité de base est l'inverse du théorème de proportionnalité de base. Ce théorème stipule que si une ligne est tracée pour couper deux côtés d'un triangle en différents points de telle sorte qu'elle coupe les deux côtés dans le même rapport, alors la ligne est parallèle au troisième côté.

Fiches dans Théorèmes de proportionnalité 4

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Le théorème de proportionnalité de base est également appelé théorème de proportionnalité du triangle.

Vrai

Le théorème de proportionnalité converse est l'inverse du théorème de proportionnalité de base.

Vrai

Le théorème de proportionnalité peut être utilisé dans la construction. Vrai ou faux

Vrai

Le théorème de proportionnalité est utilisé pour montrer la relation entre la longueur des côtés des triangles.

Vrai

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Qu'est-ce que le théorème de Thalès?

Le théorème de Thalès établit une proportionnalité entre les segments de côtés de deux triangles semblables.

Comment appliquer le théorème de Thalès?

Pour appliquer ce théorème, identifier deux triangles semblables, puis utiliser les rapports proportionnels des longueurs des côtés correspondants.

Qu'est-ce que le théorème des segments proportionnels?

Le théorème des segments proportionnels affirme que des segments découpés par des droites parallèles sont proportionnels.

Quelle est la différence entre le théorème de Thalès et le théorème des segments proportionnels?

Le théorème de Thalès concerne des triangles semblables, tandis que le théorème des segments proportionnels traite des segments créés par des droites parallèles.

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