Un solide est une forme tridimensionnelle (3D). La surface est l'aire totale des faces qui composent un solide. En d'autres termes, pour notre exemple de papier d'emballage, la surface est la quantité de papier qu'il faudrait pour couvrir le cadeau ! Tu vas explorer ici les méthodes et les équations permettant de calculer la surface des solides.
Formules pour la surface des solides
Les faces d'une forme sont les surfaces planes qui composent le solide, les bases sont les surfaces supérieure et inférieure d'un solide.
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Fig. 1. Identification des faces et des bases d'un solide.
Lorsque l'on trouve la surface d'un solide, on peut trouver deux types de surface différents :
la surface totale
la surface latérale
Surface totale : la somme des surfaces des faces et des bases qui composent un solide.
Pour trouver lasurface totaled'un solide, tu additionnes la surface detoutesles faces et les bases du solide.
Qu'en est-il de la surface latérale ?
Surface latérale: la somme des faces qui composent un solide, à l'exclusion de la ou des bases.
Pour trouver la surface latérale, tu fais la somme des surfaces des faces du solide, à l'exclusion de la ou des bases.
Pour trouver la surface d'un solide, tu devras décomposer la forme : cela peut se faire différemment selon le solide qui t'a été donné. Pour t'aider à trouver la surface d'un solide, tu peux utiliser des formules qui dépendent du type de solide que tu as !
Voyons quelques types de solides et les formules que tu peux utiliser pour trouver la surface.
Surface d'un cylindre
Un cylindre est un type de solide qui n'a pas d'arêtes droites, il est similaire à un prisme dont les deux bases ont la même forme et la surface peut être calculée de la même façon.
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Pour en savoir plus sur la surface des cylindres, voir Surface des cylindres.
Surface d'un cône
Un cône est un type de solide qui a une base et un sommet. Un cône a une hauteur et une hauteur oblique. La hauteur est la distance entre le centre de la base et le sommet du cône, le sommet. Tandis que la hauteur oblique est la distance entre le bord de la base et le sommet.
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Il existe une formule qui peut être utilisée pour t'aider à trouver la surface d'un cône :
où
- surface de la base
- circonférence de la base
- rayon de la base
- hauteur oblique
Pour en savoir plus sur la surface des cônes, voir Surface des cônes.
Surface d'une sphère
Une sphère est un type de solide qui est un cercle en trois dimensions, par exemple une balle. Une sphère a un point central et le rayon est la distance entre le point central et le point extérieur de la sphère.
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Il existe une formule qui peut être utilisée pour t'aider à trouver la surface d'une sphère :
Pour en savoir plus sur la surface des sphères, voir Surface des sphères.
Surface d'une pyramide
Une pyramide est un type de solide qui a une base et des faces triangulaires aboutissant toutes à un sommet. Il existe différents types de pyramides, qui sont toutes nommées en fonction du type de base qu'elles ont :
Pyramide carrée
Pyramide rectangulaire
Pyramide triangulaire
Pyramide hexagonale
Voici quelques schémas montrant à quoi ressemblent ces pyramides ;
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Pour comprendre comment trouver la surface d'un solide rectangulaire, il peut être utile de décomposer la forme en ses différentes parties. Dans le diagramme ci-dessus, tu peux voir qu'il y a deux faces avec des côtés et . Il y a deux faces avec les longueurs de côté \N(L\N) et \N(H\N) et il y a deux faces avec les longueurs de côté \N(W\N) et \N(H\N).
Puisque la surface est la somme des surfaces de chacune des faces des formes, pour trouver la surface d'un solide rectangulaire, tu peux trouver la surface de chacune de ces faces et les additionner.
Cette somme peut être transformée en une formule qui t'aidera à trouver la surface totale du solide rectangulaire :
\[S=2LW+2LH+2WH.\N-]
Voyons un exemple d'utilisation de cette formule.
Trouve la surface du solide rectangulaire suivant ;
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Pour trouver la surface totale d'un hémisphère solide, tu dois trouver la surface de la base du cercle ainsi que la surface de la face incurvée. Pour t'aider à faire ce calcul en une seule fois, il existe une formule qui peut être utilisée :
\N- [A=3\pi r^2\N]
où est le rayon.
Cette formule est très similaire à celle que tu utilises pour trouver la surface d'une sphère, . Lorsque tu trouves la surface d'un hémisphère solide, tu trouves la surface d'une demi-sphère, tu divises donc la formule par deux pour obtenir . Tu dois également ajouter la surface de la base du cercle , en les additionnant, tu obtiens la formule pour un hémisphère solide !
Prenons un exemple en utilisant cette formule.
Trouve la surface totale d'un hémisphère solide dont le rayon est de .
Réponse :
Tout d'abord, on t'a dit que le solide est un hémisphère solide d'un rayon de \N(5\N,cm\N). Pour trouver la surface totale, tu peux utiliser la formule du solide :
Tu peux maintenant entrer les informations de la question, à savoir \N(r=5\N), pour obtenir
Lorsque tu écris ta réponse, n'oublie pas les unités ! La surface du cône est donc de pouces carrés, ou .
Il se peut que l'on te demande de faire une approximation de la surface. Dans ce cas, en utilisant une approximation pour et en arrondissant à une décimale, tu obtiendras une surface d'environ . Tu peux l'écrire sous la forme suivante
\N- [S \Napprox 235.6 \N, in^2.\N]
Voici un autre exemple.
Quelle formule utiliserais-tu pour trouver la surface du solide suivant ?
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Lily Hulatt
Digital Content Specialist
Lily Hulatt is a Digital Content Specialist with over three years of experience in content strategy and curriculum design. She gained her PhD in English Literature from Durham University in 2022, taught in Durham University’s English Studies Department, and has contributed to a number of publications. Lily specialises in English Literature, English Language, History, and Philosophy.
Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models’ (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.
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