Un solide est une forme tridimensionnelle (3D). La surface est l'aire totale des faces qui composent un solide. En d'autres termes, pour notre exemple de papier d'emballage, la surface est la quantité de papier qu'il faudrait pour couvrir le cadeau ! Tu vas explorer ici les méthodes et les équations permettant de calculer la surface des solides.
Formules pour la surface des solides
Les faces d'une forme sont les surfaces planes qui composent le solide, les bases sont les surfaces supérieure et inférieure d'un solide.
Fig. 1. Identification des faces et des bases d'un solide.
Lorsque l'on trouve la surface d'un solide, on peut trouver deux types de surface différents :
la surface totale
la surface latérale
Surface totale : la somme des surfaces des faces et des bases qui composent un solide.
Pour trouver la surface totale d'un solide, tu additionnes la surface de toutes les faces et les bases du solide.
Qu'en est-il de la surface latérale ?
Surface latérale: la somme des faces qui composent un solide, à l'exclusion de la ou des bases.
Pour trouver la surface latérale, tu fais la somme des surfaces des faces du solide, à l'exclusion de la ou des bases.
Pour trouver la surface d'un solide, tu devras décomposer la forme : cela peut se faire différemment selon le solide qui t'a été donné. Pour t'aider à trouver la surface d'un solide, tu peux utiliser des formules qui dépendent du type de solide que tu as !
Voyons quelques types de solides et les formules que tu peux utiliser pour trouver la surface.
Surface d'un cylindre
Un cylindre est un type de solide qui n'a pas d'arêtes droites, il est similaire à un prisme dont les deux bases ont la même forme et la surface peut être calculée de la même façon.
Fig. 2. Exemple de cylindre
En général, les variables utilisées seront :
\(B\) - surface de la base ;
\N(C\N) - circonférence de la base ;
\(r\) - rayon de la base ;
\(h\) - hauteur du cylindre ; et
\(S\) - surface du cylindre.
Il existe une formule qui permet de trouver la surface d'un cylindre ;
\[\N- S& =2B+Ch \N- &=2\pi r^2+2\pi rh. \Nend{align}\N]
Pour en savoir plus sur la surface des cylindres, voir Surface des cylindres.
Surface d'un cône
Un cône est un type de solide qui a une base et un sommet. Un cône a une hauteur et une hauteur oblique. La hauteur est la distance entre le centre de la base et le sommet du cône, le sommet. Tandis que la hauteur oblique est la distance entre le bord de la base et le sommet.
Fig. 3. Exemple de cône
Il existe une formule qui peut être utilisée pour t'aider à trouver la surface d'un cône :
\[S=B+\frac{1}{2}Cl=\pi r^2+\pi r\cdot l\]
où
\(B\) - surface de la base
\(C\) - circonférence de la base
\(r\) - rayon de la base
\(l\) - hauteur oblique
Pour en savoir plus sur la surface des cônes, voir Surface des cônes.
Surface d'une sphère
Une sphère est un type de solide qui est un cercle en trois dimensions, par exemple une balle. Une sphère a un point central et le rayon est la distance entre le point central et le point extérieur de la sphère.
Fig. 4. Exemple de sphère
Il existe une formule qui peut être utilisée pour t'aider à trouver la surface d'une sphère :
\[S=4\pi r^2\]
\[r=\text{le rayon}\]
Pour en savoir plus sur la surface des sphères, voir Surface des sphères.
Surface d'une pyramide
Une pyramide est un type de solide qui a une base et des faces triangulaires aboutissant toutes à un sommet. Il existe différents types de pyramides, qui sont toutes nommées en fonction du type de base qu'elles ont :
Pyramide carrée
Pyramide rectangulaire
Pyramide triangulaire
Pyramide hexagonale
Voici quelques schémas montrant à quoi ressemblent ces pyramides ;
Fig. 5. Exemples de pyramides
Il existe une formule qui permet de trouver la surface d'une pyramide :
\[S=B+\frac{1}{2}Pl\]
où
- \(B\) - surface de la base
- \(P\) - périmètre de la base
- \N(l\N) - hauteur oblique
Pour en savoir plus sur la surface des pyramides, voir Surface des pyramides.
Surface d'un solide rectangulaire
Un solide rectangulaire est une forme en 3D dont tous les côtés sont des rectangles.
Voici un exemple de ce à quoi peut ressembler un solide rectangulaire.
Fig. 6. Un solide rectangulaire
Pour comprendre comment trouver la surface d'un solide rectangulaire, il peut être utile de décomposer la forme en ses différentes parties. Dans le diagramme ci-dessus, tu peux voir qu'il y a deux faces avec des côtés \(L\) et \(W\). Il y a deux faces avec les longueurs de côté \N(L\N) et \N(H\N) et il y a deux faces avec les longueurs de côté \N(W\N) et \N(H\N).
Puisque la surface est la somme des surfaces de chacune des faces des formes, pour trouver la surface d'un solide rectangulaire, tu peux trouver la surface de chacune de ces faces et les additionner.
Cette somme peut être transformée en une formule qui t'aidera à trouver la surface totale du solide rectangulaire :
\[S=2LW+2LH+2WH.\N-]
Voyons un exemple d'utilisation de cette formule.
Trouve la surface du solide rectangulaire suivant ;
Fig. 7. Exemple de solides rectangulaires
Réponse :
Pour trouver la surface d'un solide rectangulaire, identifie d'abord chaque partie de la forme.
- \(L = 5 cm, cm)
- \N(L = 7\N, cm\N)
- \N(H = 10 \N, cm\N)
Tu peux maintenant entrer chaque valeur dans la formule et la simplifier :
\[\begin{align} S&=2LW+2LH+2WH\N- &=2(5)(7)+2(5)(10)+2(7)(10) \N- &= 2\cdot 35+2\cdot 50+2\cdot 70 \N- &=70+100+140 \N- &=310. \]
N'oublie pas les unités ! La surface est \N(310 \N, cm^2\).
Surface d'un solide triangulaire
Un solide triangulaire, également connu sous le nom de prisme triangulaire, est un type de forme 3D dont les bases sont des triangles.
Un solide triangulaire ressemble à ceci :
Fig. 8. Solide triangulaire (prisme triangulaire)
Il existe de nombreux types de prismes, et pas seulement le prisme triangulaire.
Un prisme est un type de solide dont les deux bases ont la même forme.
Lorsqu'un prisme est coupé en deux, tu te retrouves avec deux formes identiques, il existe différents types de prismes :
Prisme hexagonal
Prisme triangulaire
Prisme rectangulaire
Prisme carré
Voici quelques schémas montrant à quoi ressemblent ces prismes :
Fig. 9. Exemples de prismes
L' apothème d'une base est la distance entre le milieu de la forme et le côté extérieur.
Quel que soit le type de prisme que tu as, tu peux trouver la surface d'un prisme en utilisant la formule :
\[S=2B+Ph = aP+Ph\]
où
\(B\) - surface de la base
\(a\) - l'apothème de la base
\(P\) - périmètre de la base
\(h\) - hauteur
Pour en savoir plus sur la surface des prismes, consulte la rubrique Surface des prismes.
Calcul de la surface d'un hémisphère solide
Un hémisphère solide ressemble à une sphère qui a été coupée en deux. Il ressemble à ceci ;
Fig. 10. Un hémisphère solide
Pour trouver la surface totale d'un hémisphère solide, tu dois trouver la surface de la base du cercle ainsi que la surface de la face incurvée. Pour t'aider à faire ce calcul en une seule fois, il existe une formule qui peut être utilisée :
\N- [A=3\pi r^2\N]
où \(r\) est le rayon.
Cette formule est très similaire à celle que tu utilises pour trouver la surface d'une sphère, \(4\pi r^2\). Lorsque tu trouves la surface d'un hémisphère solide, tu trouves la surface d'une demi-sphère, tu divises donc la formule par deux pour obtenir \(2\pi r^2\). Tu dois également ajouter la surface de la base du cercle \(\pi r^2\), en les additionnant, tu obtiens la formule pour un hémisphère solide !
Prenons un exemple en utilisant cette formule.
Trouve la surface totale d'un hémisphère solide dont le rayon est de \(5\, cm\).
Réponse :
Tout d'abord, on t'a dit que le solide est un hémisphère solide d'un rayon de \N (5\N,cm\N). Pour trouver la surface totale, tu peux utiliser la formule du solide :
\[A=3\pi r^2.\]
Tu peux maintenant entrer les informations de la question, à savoir \N(r=5\N), pour obtenir
\N- [\N- A&=3\pi 5^2 \N- &= 75\N- \N- &\Napprox 235.6.\N]
Remarquez la différence entre la surface exacte \( 75\pi \, cm^2\) et l'approximation de la surface, \ ( 235.6 \, cm^2\).
Exemples de surface d'un solide
Voici quelques exemples de recherche de la surface d'un solide.
Trouve la surface du solide suivant.
Fig. 11. Exemple de travail
Réponse :
Tout d'abord, remarque qu'il s'agit d'un cône. Ensuite, quelles informations as-tu dans le diagramme ?
- Le rayon \(r\) est de 5 pouces.
- La hauteur oblique (l) est de 10 pouces.
Le fait de connaître la hauteur oblique te permet de savoir quelle formule tu dois utiliser pour calculer la surface d'un cône. Dans ce cas, c'est
\[S=\pi r^2+\pi r \cdot l.\]
Tu peux maintenant ajouter ce que tu sais à la formule :
\[\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N{align}} S &=\pi 5^2+\pi (5)(10)\\N- &=\pi 5^2+50\pi \N- & = 75\pi .\Nend{align}\N]
Lorsque tu écris ta réponse, n'oublie pas les unités ! La surface du cône est donc de \(75\) pouces carrés, ou \(75\, in^2\).
Il se peut que l'on te demande de faire une approximation de la surface. Dans ce cas, en utilisant une approximation pour \(\pi\) et en arrondissant à une décimale, tu obtiendras une surface d'environ \(235,6 \, in^2\). Tu peux l'écrire sous la forme suivante
\N- [S \Napprox 235.6 \N, in^2.\N]
Voici un autre exemple.
Quelle formule utiliserais-tu pour trouver la surface du solide suivant ?
Fig. 12. Exemple travaillé
Réponds :
Pour trouver la surface de cette forme, tu dois d'abord l'identifier. Il s'agit d'une sphère.
Tu peux maintenant te rappeler la formule utilisée pour trouver la surface d'une sphère, qui est la suivante
\N-[S=4\pi r^2.\N]
Surface des solides - Principaux enseignements
- Un solide est une forme en 3D, tu peux trouver la surface d'un solide en additionnant toutes les faces et les bases de la forme.
- Tu peux utiliser différentes formules en fonction du solide pour t'aider à trouver plus rapidement la surface ;
- Surface d'un prisme \[S=2B+Ph = aP+Ph\]
- Surface d'un cylindre \[S=2B+Ch=2\pi r^2+2\pi rh\]
- Surface d'un cône \N-[S=B+\frac{1}{2}Cl=\pi r^2+\pi rl\N]
- Surface d'une sphère \N-[S=4\pi r^2\N]
- Surface d'une pyramide \N- [S=B+\frac{1}{2}Pl\N]
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