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Mais qu'en est-il lorsqu'il s'agit d'un point graphique ou d'un objet géométrique ? Comment sommes-nous censés faire tourner ces objets et trouver leur image ? Dans cette section, nous allons comprendre le concept de rotation sous forme de transformation et voir comment faire pivoter n'importe quelle image.
Signification de la rotation
Les rotations sont des transformations au cours desquelles l'objet est tourné selon certains angles à partir d'un point fixe. Parmi les exemples de rotations, on peut citer l'aiguille des minutes d'une horloge, un manège, etc.
Dans tous les cas de rotation, il y aura un point central qui ne sera pas affecté par la transformation. Dans l'horloge, le point où l'aiguille est fixée au milieu ne bouge pas du tout. En d'autres termes, l'aiguille tourne autour de l'horloge autour de ce point.
Faire tourner un objet \(\mathbf{\pm d^{\circ}}\) autour d'un point \((a, b)\) consiste à faire tourner chaque point de l'objet de telle sorte que la ligne joignant les points de l'objet et le point \((a, b)\) tourne d'un angle \(d^{\circ}\) soit dans le sens des aiguilles d'une montre, soit dans le sens inverse, en fonction du signe de \(d\).
Si \(d\) est positif, il s'agit d'une rotation dans le sens inverse des aiguilles d'une montre ; sinon, il s'agit d'une rotation négative. Dans les deux transformations, la taille et la forme de la figure restent exactement les mêmes. Nous désignons la rotation par \(R_{{text{angle}}\).
Propriétés de la rotation
La pré-image et les images ont des propriétés de rotation intéressantes.
Le mappage dans la rotation se fait de ligne à ligne, de segment à segment et d'angle à angle.
Une rotation est une transformation dans laquelle chaque point et son image ont la même distance et le même angle par rapport au sommet.
Il y a congruence entre la pré-image et l'image après la rotation.
La même orientation est maintenue par la rotation.
La distance et l'angle sont conservés dans la transformation de rotation.
Formule de rotation
Les rotations autour d'un axe se font généralement dans le sens des aiguilles d'une montre. Comme la rotation dans le sens des aiguilles d'une montre est désignée par une grandeur négative, la rotation effectuée dans le sens inverse des aiguilles d'une montre est désignée par une grandeur positive.
En général, une rotation peut se produire en n'importe quel point avec un angle de rotation peu commun, mais nous nous concentrerons sur les angles de rotation courants comme \(90^{\circ}, 180^{\circ}, 270^{\circ}\).
La formule générale de rotation autour de l'origine \((0, 0)\) est la suivante :
| Type de rotation | Point sur la pré-image | Point après rotation dans le sens des aiguilles d'une montre | Point après une rotation dans le sens inverse des aiguilles d'une montre |
| Rotation vers \(90^{\circ}\) | \N- (x, y)\N- (x, y)\N- (x, y)\N) | \N-(y, -x)\N-(y, -x)\N-(y, -x)\N) | \N-((-y, x)\N) |
| Rotation sur \N(180^{\circ}}\N) | \N- (x, y)\N- (-y, x) | \N- (-x, -y)\N- (-x, -y)\N- (-x, -y)\N- (-y) | \N- (-x, -y)\N- (-x, -y)\N- (-x, -y) |
| Rotation vers \N(270^{\circ}}\N) | \N- (x, y)\N- (x, y)\N- (x, y)\N) | \N-(-y, x)\N-(-y, x)\N) | \N- (y, -x)\N- (y, -x)\N- (y, -x) |
Règles de rotation en géométrie
Il existe quelques règles de rotation de base en géométrie qui doivent être respectées lors de la rotation d'une image. Les règles de base suivantes sont suivies par toute pré-image lors de la rotation :
En général, le point central de la rotation est considéré comme \((0,0)\) à moins qu'un autre point fixe ne soit indiqué.
L'angle de rotation doit être spécifiquement pris.
Prends note du sens de la rotation, car il a un impact énorme sur la position de l'image après la rotation.
Rotation de \(90^{\circ}\)
La rotation dans le sens des aiguilles d'une montre de \N(90^{\circ}\N) donnera l'image avec \N((y, -x)\N). Ainsi, les coordonnées \N(x\N) et \N(y\N) changeront de place avec la multiplication de \N(-1\N) par \N(x\N). Et pour la rotation dans le sens inverse des aiguilles d'une montre de \N(90^{\circ}\N), l'image aura \N((-y, x)\N). La rotation de \N(90^{\circ}\N) est également considérée comme \N(-270^{\circ}\N).
Rotation de \N(180^{\circ}\N)
L'image avec une rotation de \N(180^{\circ}\N) dans le sens des aiguilles d'une montre ou dans le sens inverse des aiguilles d'une montre aura les mêmes points de coordonnées de \N((-x, -y)\N). Par conséquent, \N(-1\N) sera multiplié par les deux coordonnées sans changer de place. Ici, la rotation de \(180^{\circ}\) est également considérée comme \(-180^{\circ}\).
Rotation de \N(270^{\circ}\N)
Les points de coordonnées d'une pré-image sont échangés et la coordonnée \N(y\N) est multipliée par \N(-1\N) lors de la rotation de \N(270^{\circ}\N) dans le sens des aiguilles d'une montre. Ou multipliée par \(-1\) avec \(x\) après permutation lors d'une rotation de \(270^{\circ}\) dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.
Exemples de rotations
Voici quelques exemples de rotations résolues.
Fais pivoter la figure ABC avec les coordonnées A (2, 1), B (3, 1), C (3, 2). \N(90^{\circ}\N) dans le sens des aiguilles d'une montre.
Solution :
Ici, nous devons faire pivoter l'image \(ABC\) \(90^{\circ}\) dans le sens des aiguilles d'une montre. Selon la règle, nous avons nos points \N((x, y)\N) qui seront mis en correspondance avec \N((y, -x)\N).
Par conséquent, nous allons appliquer individuellement la formule de rotation aux trois points donnés.
\N- [A (2, 1) \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- A' (1, -2)\N]
\N- [B (3, 1) \N-rightarrow B' (1, -3)\N]
\N- [C (3, 2) \N-flèche verticale C' (2, -3)\N]
La figure (A'B'C'\N) a pour coordonnées (A'(1, -2), B' (1, -3), C' (2, -3)\N).
Traçons maintenant nos figures.
Fig. 1. Rotation de l'image dans le sens des aiguilles d'une montre (90^{\circ}\).
Fais pivoter la figure \N(XYZ\N) avec les coordonnées \N(X (1, 1), Y(5, 5), Z(-2, 4)\N). \N(270^{\circ}\N) dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.
Solution :
D'après la formule de rotation d'une image dans le sens inverse des aiguilles d'une montre \(270^{\circ}\), nos points (x, y) seront représentés par (y, -x). Ainsi, en appliquant la formule de rotation à des points individuels, nous obtenons
\N- [X(1, 1) \N- X'(1, -1)\N- X'(1, -1)\N]
\N- [Y(5, 5) \N-rightarrow Y'(5, -5)\N]
\N- [Z(-2, 4) \N-rightarrow Z'(4, 2)\N]
La figure \N(X'Y'Z'\N) a pour coordonnées X'(1, -1), Y'(5, -5), Z'(4, 2).
Traçons maintenant nos figures.
Fig. 2. Image tournée de \(270^{\circ}\) dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.
Rotations - Points clés à retenir
- Faire pivoter un objet \(\mathbf{\pm d^{\circ}}\) autour d'un point \((a, b)\) consiste à faire pivoter chaque point de l'objet de telle sorte que la ligne joignant les points de l'objet et le point (a, b) tourne d'un angle \(d^{\circ}\) soit dans le sens des aiguilles d'une montre, soit dans le sens inverse, en fonction du signe de \(d\).
- La rotation est désignée par \(R_{{text{angle}}\).
- La rotation est effectuée dans le sens des aiguilles d'une montre ou dans le sens inverse.
- L'image est représentée par les points \N((y, -x)\N) ou \N((-y, x)\N) lorsqu'elle est tournée de \N(90^{\circ}\N) dans le sens des aiguilles d'une montre ou dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, respectivement.
- La rotation \N(180^{\circ}\N) est la même dans le sens des aiguilles d'une montre ou dans le sens inverse des aiguilles d'une montre et est représentée par \N((-x, -y)\N).
- L'image est représentée par les points \N((-y, x)\N) ou \N((y, -x)\N) lorsqu'elle est tournée \N(270^{\circ}\N) dans le sens des aiguilles d'une montre ou dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, respectivement.
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