Dans cet article, nous allons explorer la définition d'un rectangle, ses propriétés, les formules du périmètre et de l'aire d'un rectangle, et des exemples de leur application.
Définition du rectangle
Un rectangle est un quadrilatère à quatre côtés et quatre angles, où tous les angles intérieurs sont des angles droits (90 degrés).
Un rectangle est un cas particulier de parallélogramme. En d'autres termes, ce qui fait qu'un parallélogramme devient un rectangle, c'est que ses côtés sont perpendiculaires les uns aux autres. Ceci peut être illustré dans l'image ci-dessous.
Rectangle - StudySmarter Original
Nous pouvons remarquer que les côtés opposés AB et CD sont de même taille et parallèles, de même pour BC et AD. De plus, les quatre côtés sont perpendiculaires les uns aux autres, le quadrilatère est donc un rectangle.
Propriétés des rectangles
Un rectangle étant un parallélogramme possède toutes les propriétés d'un parallélogramme, mais étant un cas particulier de celui-ci, il a ses propres propriétés uniques qui font de lui la forme géométrique qu'il est.
Pour mieux comprendre les propriétés d'un rectangle, considérons le rectangle ABCD dans l'image ci-dessous.
Rectangle ABCD - StudySmarter Original
Propriété | Exemple |
1. Les côtés opposés d'un rectangle sont égaux et parallèles. | AB = CD, et AB est parallèle à CD. De même, AD = BC, et AD est parallèle à BC. |
3. La somme de tous les angles intérieurs d'un rectangle est de 360º. | |
4. Les diagonales d'un rectangle sont de longueur égale et se coupent en deux - elles se coupent en leur milieu. | AC et BD sont les diagonales du rectangle ABCD. AC = BD AC coupe BD et BD coupe AC. |
Construction d'un rectangle
Pour construire un rectangle, suis les étapes suivantes.
Étape 1: Trace une ligne droite (R), puis place 2 points A et B sur la ligne.
Étape 2: Trace 2 droites perpendiculaires (S) et (T), passant par les deux points A et B.
Étape 3 : Place deux points C et D respectivement sur les deux lignes (S) et (T). Cependant, C et D doivent se trouver au même niveau.
Les trois étapes mentionnées précédemment peuvent être illustrées dans le dessin ci-dessous :
Image résultant des étapes 1, 2 et 3 - StudySmarter Original
Étape 4 : Trace une ligne droite joignant les deux points C et D, comme le montre l'image ci-dessous :
Image résultant de l'étape 4 - StudySmarter Original
Après avoir atteint l'étape 4, tu remarqueras que les 4 points A, B, C et D formeront une forme rectangulaire.
Formule pour calculer la surface d'un rectangle
L'aire d'une forme plate ou la surface d'un objet peut être définie en géométrie comme l'espace occupé par cette forme.
L'aire d'une forme est généralement mesurée en considérant le nombre de carrés unitaires qui couvrent la surface de la forme. Les centimètres carrés, les pieds carrés, les pouces carrés et d'autres unités similaires sont utilisés pour mesurer la surface.
Dans un rectangle de hauteur h et de base b, la surface est égale à :
.
Trouve l'aire de la forme rectangulaire dans l'image ci-dessous. Considère le carré composé de 25 petits carrés comme le carré de côté 1 unité.
On peut remarquer que la hauteur du rectangle est égale à 2 carrés d'unité, donc sa longueur est de 2 unités. De même, la base du rectangle est de 5 unités. On peut donc calculer l'aire de ce rectangle en multipliant la hauteur par la base :
A= 2 unités × 5 unités = 10 unités2
Formule du périmètre d'un rectangle
Le périmètre d'une forme est la distance autour de son extérieur.
Par conséquent, le périmètre de la forme est calculé en additionnant les longueurs de tous ses côtés. Le même concept s'applique également à une forme rectangulaire. La longueur totale de tous les côtés d'un rectangle est donc appelée périmètre.
Les côtés opposés d'un rectangle sont égaux entre eux (c'est l'une de ses propriétés). Ainsi, le périmètre d'un rectangle dont les côtés sont de longueurs a, b, a, b est P = a + b + a + b, ou P = 2a + 2b, ou encore P = 2 (a + b).
Il suffit donc de calculer les longueurs de deux côtés pour trouver le périmètre d'un rectangle puisque les côtés opposés d'un rectangle sont toujours égaux.
Trouve le périmètre et l'aire de la forme illustrée dans l'image ci-dessous :
Étape 1: essaie d'identifier les formes de rectangle. Nous pouvons remarquer que 2 rectangles sont présents dans la forme ci-dessus. Les rectangles identifiés sont illustrés dans l'image ci-dessous :
Les propriétés suivantes sont vérifiées pour s'assurer que les formes identifiées sont des rectangles :
- Les côtés opposés sont égaux et parallèles. Par exemple, le premier rectangle identifié a les côtés opposés parallèles et égaux à 8, et les deux autres sites opposés également parallèles et égaux à 3.
- Tous les angles sont des angles droits, ou autrement dit tous les côtés sont perpendiculaires entre eux.
Le périmètre du premier rectanglePA peut être calculé comme suit :
Le périmètre du deuxième rectanglePB peut être calculé comme suit :
Le périmètre de la forme globale PAB:
L'aire du premier rectangleAA peut être calculée comme suit :
L'aire du deuxième rectangleAB peut être calculée comme suit :
L'aire de la forme globale :
Carré et rectangle
Tu peux remarquer sur la figure ci-dessous qu'un carré et un rectangle sont tous deux des quadrilatères à quatre côtés.
Un rectangle et un carré - StudySmarter Original
Un carré et un rectangle ont des propriétés similaires, comme l'illustre le tableau ci-dessous :
| Propriétés | Rectangle | Carré |
| Les quatre côtés sont égaux | X | ✔ |
| Les côtés opposés sont égaux | ✔ | ✔ |
| Les côtés opposés sont parallèles | ✔ | ✔ |
| Les diagonales se coupent en deux | ✔ | ✔ |
| Les diagonales sont perpendiculaires les unes aux autres | X | ✔ |
| Tous les angles sont égaux | ✔ | ✔ |
| Les angles opposés sont égaux | ✔ | ✔ |
| La somme de deux angles adjacents est égale à 180 degrés | ✔ | ✔ |
Qu'est-ce qui caractérise un carré en tant que rectangle unique ?
Comme l'illustre le tableau ci-dessus, un carré est un type de rectangle particulier pour les raisons suivantes :
Un carré possède toutes les propriétés d'un rectangle.
Les deux seules différences entre le carré et le rectangle sont que la diagonale du carré est perpendiculaire et que tous ses côtés sont égaux.
Rectangle - Points clés
- Un rectangle est également un quadrilatère avec quatre côtés et quatre angles.
- Les quatre angles d'un rectangle sont des angles droits.
- Les côtés opposés d'un rectangle sont égaux et parallèles Les diagonales d'un rectangle sont égales et se coupent en deux. Elles se coupent en deux signifie qu'elles se croisent en leur milieu.
- Les angles consécutifs d'un rectangle sont complémentaires. Leur somme est égale à 180 degrés.
- Étant donné un rectangle dont la hauteur est égale à h et la base égale à b, alors sa surface correspondante sera égale à la multiplication de b par h.
- Un rectangle a ses côtés opposés égaux entre eux. Ainsi, le périmètre du rectangle spécifié est 2(a + b).
- Un carré est un rectangle unique.
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