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Projections

Il existe deux types de projections que tu dois connaître à ce stade : les projections scalaires et lesprojections vectorielles.

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Last Updated: 01.01.1970
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La projection scalaire donne simplement la longueur dans une direction particulière. Il en résulte un scalaire qui quantifie cette quantité. En revanche, la projection vectorielle"projette" la longueur d'un vecteur dans la direction d'un autre vecteur. C'est un peu comme si l'ombre d'un vecteur était projetée sur un autre vecteur.

Projection scalaire

Nous commencerons par la plus simple à comprendre sur le plan conceptuel. La projection scalaire d'un vecteur permet de déterminer la part du vecteur, en tant que scalaire, dans une direction donnée. Elle est obtenue en utilisant le produit du point du vecteur avec le vecteur unitaire dans la direction en question.

La projection scalaire d'un vecteur $x$ sur le vecteur unitaire $\hat{u}$ est le scalaire donné par le produit de points: $x \cdot \hat{u}$ ou $<x, \hat{u}>$

Vecteur OA Figure 1

Trouve la projection scalaire du vecteur $\vec{OA}$ dans la direction horizontale.

Solution

La "direction horizontale" est le long de l'axe des x. Le vecteur unitaire que nous utiliserons est donc le suivant $\hat{u} = [\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}]$ . Vecteur $\vec{OA}$ en notation vectorielle est $[\begin{matrix} 3 \\ 4 \end{matrix}]$ .

Intuitivement, tu as peut-être déjà compris que la projection scalaire doit être égale à 3 puisque, par définition, . $\vec{OA}$ est composé de 3 unités dans le sens horizontal (et de 4 dans le sens vertical).

Nous pouvons également le démontrer en utilisant le produit de points : $<[\begin{matrix} 3 \\ 4 \end{matrix}], [\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}]> = 3 \times 1 + 4 \times 0 = 3$

Par conséquent, la projection scalaire de $\vec{OA}$ dans la direction horizontale est égale à 3.

Projection vectorielle

Une projection vectorielle est la projection d'un vecteur sur un autre. Elle prend la longueur d'un vecteur et la projette dans la direction d'un autre, créant ainsi un nouveau vecteur avec la direction du second.

Vecteur OB projection horizontale de OA Figure 2

Vecteurs a, b et c Figure 3 : projection d'un vecteur sur un autre

Le vecteur b estla projection de a dans la direction de l 'axe des x (figure 2). Si tu regardes la figure 3, le vecteur c est un vecteur dans la direction de l'axe des x, donc b est aussi la projection de a dans la direction du vecteur c.

En notation mathématique, cela s'écrit ${Proj}_{c} (a)$ . Nous savons que le vecteur $\underset{B A}{\to}$ doit être égal à $a - b = a - {Proj}_{c} (a)$ Par conséquent ${Proj}_{c} (a)$ est tel que $a - {Proj}_{c} (a)$ est orthogonal au vecteur c.

Cette orthogonalité est une propriété essentielle pour trouver la projection de a sur L. Tu te souviens du "produit de points" ? Puisque $\underset{B A}{\to}$ est orthogonal à la ligne L, le "produit de points" des deux doit être égal à zéro. En utilisant cette information, nous pouvons dériver une formule pour la projection vectorielle de a dans la direction de b.

Dérivation de la formule du vecteur de projection

Pour bien comprendre ce que fait le vecteur de projection, il peut être utile de voir comment le dériver. Tout d'abord, considérons un vecteur v situé sur la ligne L. Puisque ${Proj}_{v} (a)$ est dans la direction de L, nous pouvons l'écrire comme un multiple scalaire du vecteur v.

{Proj}_{v} (a)

c v

v est un vecteur quelconque dans l'espace 2D
c est une constante

Utilise le produit de points :

$(a - {Proj}_{L} (a)) \cdot v = (a - c v) \cdot v = 0 a \cdot v - c v \cdot v = 0 a \cdot v = c v \cdot v c = \frac{a \cdot v}{v \cdot v}$

Puisque le produit du point d'un vecteur avec lui-même est égal à la longueur de ce vecteur au carré, nous obtenons :

$c = \frac{a \cdot v}{| v |^{2}}$ .

Et donc , ${Proj}_{L} (a) = \frac{a \cdot v}{{|v|}^{2}} v$ .

La projection vectorielle du vecteur a sur le vecteur v est ${Proj}_{L} (a) = \frac{a \cdot v}{{|v|}^{2}} v$ .

Nous avons un vecteur $x = [\begin{matrix} 6 \\ 2 \end{matrix}]$ et le vecteur $v = [\begin{matrix} 7 \\ - 6 \end{matrix}]$ . Trouve la projection de x sur v.

En utilisant la formule : ${Proj}_{v} (x) = \frac{x \cdot v}{{|v|}^{2}} v$

${|v|}^{2} = {(\sqrt{7^{2} + {(- 6)}^{2}})}^{2} = 85$

$x \cdot v = [\begin{matrix} 6 \\ 2 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} 7 \\ - 6 \end{matrix}] = 42 - 12 = 30$

Par conséquent, ${Proj}_{v} (x) = \frac{30}{85} v = \frac{6}{17} [\begin{matrix} 7 \\ - 6 \end{matrix}]$ .

${Proj}_{v} (x)$ est représenté par la flèche bleue dans le diagramme ci-dessous.

Projections de x Figure 4

Projections - Points clés à retenir

Laprojection scal aire donne la longueur dans laquelle un vecteur se trouve dans une direction donnée.
Pour trouver la projection scalaire, utilise le produit du point d' un vecteur avec un vecteur unitaire dans la direction en question.
La formule de projection scalaire de x sur la direction u est la suivante $x \cdot \hat{u}$
Laprojection vectorielle projette la longueur d'un vecteur dans la direction d'un autre vecteur.
Pour trouver la projection du vecteur a sur L, ${Proj}_{L} (a)$ est tel que $a - {Proj}_{L} (a)$ est orthogonal à la ligne L
La projection du vecteur a sur la ligne L du vecteur v est ${Proj}_{L} (a) = \frac{a \cdot v}{{|v|}^{2}} v$ .

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La projection scalaire donne la longueur dans laquelle un vecteur se trouve dans une direction donnée.

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Questions fréquemment posées en Projections

Qu'est-ce qu'une projection en mathématiques ?

Une projection en mathématiques est une transformation qui "projette" chaque point d'un espace sur un sous-espace donné, souvent en réduisant les dimensions.

Quels sont les types de projections en mathématiques ?

Les principaux types de projections sont les projections orthogonales et les projections obliques.

Quelle est l'utilité des projections orthogonales ?

Les projections orthogonales sont utilisées pour minimiser la distance entre les points et le sous-espace projeté, souvent dans l'analyse des moindres carrés.

Comment calculer une projection orthogonale d'un vecteur ?

Pour calculer une projection orthogonale, on utilise souvent des produits scalaires et des bases du sous-espace pour déterminer les coordonnées du vecteur projeté.

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