Produit vectoriel

Formule du produit vectoriel

Si nous avons deux vecteurs \(\vec{u} = \begin{pmatrix} u_x \\ u_y \\ u_z \end{pmatrix}\) et \(\vec{v} = \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \end{pmatrix}\), la formule du produit vectoriel est donnée par \[\vec{u} \wedge \vec{v} = \begin{pmatrix} u_2 v_3 - u_3 v_2 \\ u_3 v_1 - u_1 v_3 \\ u_1 v_2 - u_2 v_1 \end{pmatrix} \] Pour te rappeler de cette formule tu peux également considérer le produit vectoriel comme étant le déterminant de la matrice suivante : \[\begin{pmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{pmatrix} \] où \(\hat{i}, \hat{j}, \hat{k} \) sont les vecteurs de la base.

Calcul du produit vectoriel

Pour effectuer le calcul du produit vectoriel, il faut identifier les composantes des vecteurs à multiplier et à appliquer la formule. Comme cette formule peut paraître complexe à premier abord, il est nécessaire de pratiquer en faisant beaucoup d'exercices.

Si tu te sens à l'aise avec les déterminants des matrices, tu peux également utiliser l'autre formule donnée, mais cela revient au même calcul. Ce n'est qu'une formulation qui t'aidera à te souvenir de la formule.

Produit vectoriel et le sinus

Il existe une formule qui relie le produit vectoriel et le sinus. Considérons les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) de norme \(\lVert \vec{u} \rVert\) et \(\lVert \vec{v} \rVert\). De plus, notons \(\theta\) l'angle entre ces vecteurs et \(\hat{n}\) le vecteur unitaire perpendiculaire au plan où se trouvent \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\). Le produit vectoriel et le sinus sont reliés par cette relation : \( \vec{u} \wedge \vec{v} = \lVert \vec{u} \rVert \lVert \vec{v} \rVert \sin (\theta) \hat{n}\).

Cette formule peut servir à calculer l'angle entre les vecteurs, mais aussi pour déterminer la direction du produit vectoriel. Pour des applications en physique, il est souvent intéressant de connaître la direction de la grandeur vectorielle.

Double produit vectoriel

Le double produit vectoriel permet de calculer un produit vectoriel effectué deux fois. La formule du double produit vectoriel est \(\vec{u} \wedge (\vec{v} \wedge \vec{w}) = (\vec{u} \cdot \vec{w}) \vec{v} - (\vec{u} \cdot \vec{v}) \vec{w}\). Cette formule servira plutôt à dériver d'autres formules concernant le produit vectoriel.

Produit mixte

Le produit mixte de trois vecteurs implique le produit scalaire et le produit vectoriel à la fois. Il est donné par la formule \([\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = (\vec{u} \wedge \vec{v}) \cdot \ \vec{w}\). Si le produit mixte est nul, alors les vecteurs sont coplanaires, et vice-versa.