Probabilité Géométrique

8 boules rouges, 9 boules vertes et 3 boules jaunes sont placées dans une boîte. Trouve la probabilité de choisir une boule verte.

Solution

Tout d'abord, tu dois résoudre l'espace d'échantillonnage :

8 rouges + 9 vertes + 3 jaunes = 20 boules.

La question est donc de savoir quelle est la probabilité que tu choisisses une boule verte parmi ces 20 boules.

N'oublie pas qu'il y a 9 boules vertes ; il s'agit donc de 9 boules vertes sur 20 boules.

$P\left(G\right)=\frac{9}{20}$

Une sélection doit être faite entre les points G et F, comme indiqué ci-dessous.

Trouve la probabilité que la sélection tombe dans

1. G
2. HF
3. FJ
4. GH ou HF

Solution

Il faut d'abord calculer l'espace d'échantillonnage entre G et F.

De G à F, la distance $GF=3-(-5)=3+5=8.$

Par conséquent, l'espace d'échantillonnage est $GF=8.$

a. Pour trouver la probabilité que la sélection tombe dans GH, on calcule d'abord la distance GH,

$GH=-2-(-5)=3$,

D'où,

$P\left(GH\right)=\frac{GH}{GF}=\frac{3}{8}.$

b. Pour trouver la probabilité que la sélection tombe dans HF, nous calculons la distance HF,

$HF=3-(-2)=3+2=5$,

D'où,

$P\left(HF\right)=\frac{HF}{GF}=\frac{5}{8}.$

c. Pour trouver la probabilité que la sélection tombe dans FJ, et avant de calculer la distance FJ, notons que la région FJ n'est pas dans GF, donc le fait que FJ se produise dans GF est nul, d'où.

$P\left(FJ\right)=\frac{0}{8}=0$.

d. Pour trouver la probabilité que la sélection tombe dans GH ou HF, il faut faire l'union de deux événements qui se produisent. On a donc ,

$P(GH\cup HF)=P\left(GH\right)+P\left(HF\right)-P(GH\cap HF)$

mais, $P\left(GH\right)=\frac{3}{8}$calculé dans la partie a, $P\left(HF\right)=\frac{5}{8},$ calculé dans la partie b.

On a $P(GH\cap HF)=0$, donc $P(GHUHF)=\frac{3}{8}+\frac{5}{8}=\frac{8}{8}=1.$

Le bus Stagecoach passe toutes les 15 minutes à Frimley. John met 10 minutes pour se rendre à l'école depuis l'arrêt de bus. Si John arrive à l'arrêt de bus à sept heures et demie et qu'il est censé arriver à l'école à huit heures moins le quart, quelle est la probabilité qu'il arrive à l'heure à son école ?

Quelle est la probabilité qu'il atteigne son école à temps ?

Solution

Pour connaître les chances de John d'arriver à l'école à l'heure, nous devons trouver la meilleure heure à laquelle le bus peut arriver pour que John rejoigne l'école à 7h45. Pour calculer cela, nous devons connaître le temps d'attente le plus long de Jean à l'arrêt de bus avant qu'il ne commence à être en retard. Nous avons ,

Temps entre l'arrêt de bus et l'école = 10 minutes.

John arrive à l'arrêt de bus à 7h30 et doit être à l'école à 7h45. Cela signifie que Jean a encore 15 minutes (c'est-à-dire 7 h 45 - 7 h 30) pour se rendre à l'école.

Si le bus arrive exactement à 7h30, c'est-à-dire au moment où Jean arrive à l'arrêt de bus, cela signifie que Jean arrivera à l'école à 7h40, ce qui lui donne 5 minutes d'avance. Jean ne peut donc attendre que 7 h 35 (c'est-à-dire 7 h 30 + 5 minutes) avant d'arriver en retard à l'école.

Le temps d'attente favorable de Jean est donc de 5 minutes, et le temps total maximum qu'il peut attendre pour le bus est de 15 minutes.

Par conséquent ,

$\mathrm{The}\mathrm{probability}\mathrm{that}\mathrm{he}\mathrm{reaches}\mathrm{his}\mathrm{school}\mathrm{on}\mathrm{time}=\frac{\mathrm{favourable}\mathrm{waiting}\mathrm{time}}{\mathrm{total}\mathrm{available}\mathrm{waiting}\mathrm{time}}\mathrm{The}\mathrm{probability}\mathrm{that}\mathrm{he}\mathrm{reaches}\mathrm{his}\mathrm{school}\mathrm{on}\mathrm{time}=\frac{5}{15}\mathrm{The}\mathrm{probability}\mathrm{that}\mathrm{he}\mathrm{reaches}\mathrm{his}\mathrm{school}\mathrm{on}\mathrm{time}=\frac{1}{3}$$P(Johngettingtoschoolontime)=\frac{favourablewaitingduration}{Maximumwaitingduration}=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}$

Un chemin circulaire a été divisé en 3 régions, les arcs A, B et C. Trouve la probabilité qu'un semis poussant sur un chemin circulaire se trouve dans l'arc B si la longueur de l'arc A est de 5cm, la longueur de l'arc C est de 12cm et le rayon du chemin circulaire est de 7cm. Prends $\mathrm{\pi }=\frac{22}{7}$.

Solution

Pour déterminer la probabilité que la plantule pousse dans l'arc B, nous avons besoin de notre espace d'échantillonnage. L'espace d'échantillonnage est la distance totale autour de la trajectoire circulaire.

La distance totale autour de la trajectoire circulaire est égale à la circonférence de la trajectoire. Mais

Circonférence du chemin circulaire$=2\mathrm{\pi r}=2\times \frac{22}{7}\times 7$,

donc la distance totale autour de la trajectoire circulaire est de 44 cm.

Maintenant, nous avons besoin de connaître la longueur de l'arc de B après avoir donné les longueurs des arcs de A et C comme étant respectivement 5cm et 12cm.

Mais la distance totale autour de la trajectoire circulaire est de 44 cm, donc

$ArclengthofB=totaldis\tan ce-(A+C)=44-(5+12)=44-17=27cm.$

La probabilité que le plant se trouve en B est donc de

$P\left(B\right)=\frac{ArclengthofB}{Arclengthofthecircularpath}=\frac{27}{44}.$

$P\left(B\right)=\frac{27}{44}$

La figure ci-dessous représente une pelouse rectangulaire d'une longueur de 15 cm et d'une largeur de 30 cm. Un terrain de sable en forme de triangle équilatéral a été créé à l'intérieur de la pelouse. Si un golfeur frappe une balle de golf dans la pelouse, quelle est la probabilité que la balle touche le terrain sablonneux ?

Solution

Étape 1.

Nous trouvons la surface de la pelouse rectangulaire.

Étape 2.

Nous trouvons la surface du terrain sablonneux triangulaire équilatéral.

$Areaoftriangle=\frac{1}{2}\times base\times height=\frac{1}{2}\times 6\times 8=24c{m}^2$

Étape 3.

Nous trouvons la probabilité que le golf touche le terrain sablonneux.

$P(golfhitsthesandycourt)=\frac{Areaoftriangularsandycourt}{Areaofrectangularlawn}=\frac{24}{450}=\frac{4}{75}.$

La figure ci-dessous est une cible. Si ses rayons le plus long et le plus court sont respectivement de 56 cm et de 7 cm. Trouve la probabilité qu'une flèche n'atteigne pas l'œil de bœuf (le point rouge). Prends $\mathrm{\pi }=\frac{22}{7}.$

Solution

Étape 1.

Nous trouvons la surface de la cible entière. Comme il s'agit d'un cercle, on utilise le rayon le plus long pour trouver sa surface.

$Areaoftarger=\pi r^2\mathit{=}\frac{22}{7}\times {56}^2=9856c{m}^2$

Étape 2.

On trouve la surface de l'œil de bœuf (région rouge). Sachant que l'œil de bœuf (région rouge) est le plus petit cercle, cela signifie qu'il a le plus petit rayon. Ainsi ;

$Areaofbull\text{'}seye=\frac{22}{7}\times 7^2=154c{m}^2.$

Étape 3.

Nous trouvons la probabilité de toucher l'œil du bœuf. Soit B l'événement qui touche l'œil du bœuf.

$P(Hittingthebull\text{'}seye)=P\left(B\right)=\frac{Areaofbull\text{'}seye}{Areaoftarget}=\frac{154}{9856}=\frac{1}{64}$

Étape 4.

Nous trouvons la probabilité de ne pas faire mouche. Donc B' est l'événement qui n'a pas touché l'œil du taureau, d'où

$P(Nothittingthebull\text{'}seye)=1-P(hittingthebull\text{'}seye)$donc

$P(B\text{'})=1-P\left(B\right)=1-\frac{1}{64}=\frac{63}{64}.$