Polygones réguliers

Qu'est-ce qu'un polygone régulier ?

Les exemples de polygones réguliers sont les triangles équilatéraux, les carrés, les losanges, etc.

Un polygone a également des diagonales de même longueur. Les polygones réguliers sont le plus souvent convexes par nature. En revanche, les polygones réguliers concaves sont parfois en forme d'étoile. Nous allons aborder en détail les propriétés des polygones réguliers convexes.

Propriétés des polygones réguliers

Le cercle et l'incirconférence

Deux cercles importants peuvent être dessinés sur un polygone régulier.

• Le cercle circonscrit se trouve à l'extérieur du polygone régulier convexe et passe par tous ses sommets. Le rayon du cercle est la distance entre le centre du polygone et l'un de ses sommets.

• L'incircle passe par le milieu de tous les côtés du polygone et se trouve à l'intérieur du polygone régulier. Le rayon de l'incircle est la distance entre le centre et le milieu d'un côté. Cette distance est également appelée l'apothème du polygone.

Ces propriétés d'un cercle, d'une circonférence et d'un apothème ne peuvent être trouvées que dans les polygones réguliers.

Cercle, demi-cercle et apothème, mathisfun.com

Que peut-on faire avec ces propriétés ? Une application intéressante consiste à pouvoir calculer l'aire d'un polygone régulier à l'aide de l'apothème . Tout polygone régulier peut être décomposé en triangles, En combinant cela avec l'apothème, nous pouvons estimer les aires de tout polygone régulier de côté N.

Exemples de polygones réguliers

Les polygones réguliers à 3 côtés sont appelés triangles équilatéraux, ceux à 4 côtés sont appelés carrés. Les polygones réguliers ayant plus de quatre côtés sont désignés par un "régulier" précédant le nom du polygone. Par exemple, un pentagone dont les côtés et les angles sont égaux est appelé pentagone régulier. Tu trouveras ci-dessous quelques exemples de polygones convexes réguliers (équiangulaires).

Exemples de polygones réguliers, mathworld.wolfram.com

Formules pour les polygones réguliers

Les polygones réguliers ont quelques propriétés intéressantes associées à chacun de leurs attributs. Nous les examinons dans les sections suivantes.

Angles extérieurs

À tout sommet d'un polygone, il y a 2 angles l'intérieur et l'extérieur. L'angle extérieur est obtenu par l'angle entre une arête prolongée et son arête consécutive.

Angles extérieurs d'un polygone régulier, geogebra.org

Dans un polygone convexe régulier, la somme de tous les angles extérieurs est toujours de360° On peut aussi l'écrire comme,

$\varnothing =360/N,whereNisthenumberofsidesand\varnothing istheexteriorangle.$

Angles intérieurs

Les angles intérieurs sont formés entre deux côtés adjacents d'un polygone. La somme des angles intérieurs d'un polygone dépend du nombre de ses côtés. Par exemple, tous les triangles auront une somme totale de 180°, les quadrilatères auront une somme de 360°, et ainsi de suite.Mais qu'en est-il d'un polygone à cent côtés ?

Angle intérieur d'un polygone régulier, socratic.org

La somme des angles intérieurs et extérieurs à un sommet est toujours égale à 180°. En utilisant cette relation, nous pouvons dériver une équation générale qui peut être utilisée pour trouver les angles intérieurs de n'importe quel polygone en ayant le nombre de côtés.

$$\begin{gathered} InteriorAngle=180°-ExteriorAngle \\ WealreadyknowtheExteriorangle=\frac{360°}{N},so \\ InteriorAngle=180°-\frac{360°}{N} \\ InteriorAngle=180°-\frac{360°}{N} \\ =(N\times \frac{180°}{N})-(2\times \frac{180°}{N}) \\ =(N-2)\times \frac{180°}{N} \\ \mathit{T}\mathit{h}\mathit{e}\mathit{r}\mathit{e}\mathit{f}\mathit{o}\mathit{r}\mathit{e}\mathbf{,}\mathbf{}\mathit{I}\mathit{n}\mathit{t}\mathit{e}\mathit{r}\mathit{i}\mathit{o}\mathit{r}\mathbf{}\mathit{a}\mathit{n}\mathit{g}\mathit{l}\mathit{e}\mathbf{=}\mathbf{}\mathbf{(}\mathit{N}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{}\mathbf{\times }\mathbf{}\frac{\mathbf{180}\mathbf{°}}{\mathbf{N}} \\ \mathit{A}\mathit{n}\mathit{d}\mathbf{}\mathit{S}\mathit{u}\mathit{m}\mathbf{}\mathit{o}\mathit{f}\mathbf{}\mathit{a}\mathit{l}\mathit{l}\mathbf{}\mathit{i}\mathit{n}\mathit{t}\mathit{e}\mathit{r}\mathit{i}\mathit{o}\mathit{r}\mathbf{}\mathit{a}\mathit{n}\mathit{l}\mathit{g}\mathit{l}\mathit{e}\mathit{s}\mathbf{=}\mathbf{(}\mathit{N}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{}\mathbf{\times }\mathbf{}\mathbf{180}\mathbf{°} \end{gathered}$$

Diagonales d'un polygone convexe

Dans un polygone à plus de 3 côtés, une diagonale est un segment de droite entre deux points quelconques non consécutifs. Contrairement aux polygones concaves, les diagonales d'un polygone convexe se trouvent toujours à l'intérieur de la figure. Si un polygone a "N" côtés, le nombre de diagonales est égal à :

$Numberofdiagonals=\frac{N(N-3)}{2}$.

Cela nous amène à la fin de cet article. Rafraîchissons ce que nous avons appris jusqu'à présent.