Polygones: Types, Propriétés

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Définition d'un polygone

Nous connaissons tous les formes de base telles que les triangles et les carrés. Examinons maintenant un concept plus général pour un certain groupe de formes : les polygones.

Un polygone est une forme à deux dimensions dont les caractéristiques sont les suivantes :

tous les côtés sont droits ;
il y a au moins 3 côtés ;
la forme est contenue (c'est-à-dire que le point de départ du premier côté touche le point d'arrivée du dernier côté) ;
aucun des côtés ne se croise.

Tu trouveras ci-dessous des exemples de polygones. Observe que ces formes respectent toutes les quatre conditions d'un polygone dans sa définition.

Exemples de polygones - thinglink.com

Composantes des polygones

Il est important de reconnaître ces composantes des polygones :

Les côtés, parfois appelés arêtes, se rejoignent aux sommets;
Les angles à l'intérieur d'un polygone sont appelés angles intérieurs;
Les angles à l'extérieur du polygone sont les angles extérieurs;
Tous les polygones, à l'exception des triangles, ont plusieurs diagonales (c'est-à-dire des lignes entre deux sommets).

Dans la figure ci-dessous, nous pouvons voir tous ces composants identifiés dans un polygone.

Composantes d'un polygone - StudySmarter Original

Qu'est-ce qui n'est pas un polygone ?

Une forme courbe, ou une forme qui contient une courbe telle qu'un demi-cercle qui est construit à partir d'une ligne droite et d'une ligne courbe, n'est pas un polygone.

Les formes suivantes sont toutes des non-polygones.

1. Ce n'est pas un polygone car l'un des côtés est incurvé.

Un non-polygone - StudySmarter Originals

2. Ce n'est pas un polygone car les côtés se croisent.

Un non-polygone - StudySmarter Originals

3. Ce n'est pas un polygone car ce n'est pas une forme fermée.

Un non-polygone - StudySmarter Originals

Types de polygones

Dans cette section de l'article, nous allons examiner les types de polygones. Ces types sont classés en fonction des relations entre les côtés des polygones ou de la forme des polygones eux-mêmes.

Polygones réguliers

Un polygone est régulier lorsque tous les côtés et les angles du polygone sont égaux.

Par exemple, un carré est un quadrilatère régulier.

Polygones irréguliers

Un polygone est irrégulier lorsque les côtés et les angles ne sont pas égaux.

Par exemple, un rectangle est un quadrilatère irrégulier.

Polygones convexes et concaves

Un polygone convexe est un polygone dont tous les sommets pointent vers l'extérieur.

Un polygone concave est un polygone dont aumoins un sommet pointe vers l'intérieur. Il est moins probable que tu rencontres des polygones convexes à ce stade, bien qu'ils soient eux-mêmes des polygones

Tu trouveras plus de détails sur les polygones irréguliers et convexes ou concaves dans l'article La convexité dans les polygones.

Les noms des différents polygones

Tu dois connaître les éléments suivants :

Nombre de côtés	Nom du polygone
3	Triangles
4	Quadrilatère
5	Pentagone
6	Hexagone
7	Heptagone
8	Octogone

Si une forme a n côtés, elle aura aussi n angles internes , et on l'appellera n-gon!

Angles intérieurs

Nous savons tous qu'un triangle contient $180 °$ et que, par conséquent, la somme des angles intérieurs d'un triangle est de $180 °$ . Mais comment calculer le nombre de degrés dans tous les polygones ?

Prends un quadrilatère, par exemple. Si tu divises un quadrilatère en deux formes le long de la diagonale, tu obtiens deux triangles. Puisque chacun de ces triangles a des angles intérieurs dont la somme est égale à $180 °$ Nous savons maintenant qu'un quadrilatère a des angles intérieurs de $360 °$ .

Nous pouvons étendre cette logique aux polygones ayant encore plus de côtés. Par exemple, dans un pentagone, tu peux créer 3 triangles en utilisant les lignes diagonales. Dans un hexagone, tu peux créer 4 triangles, comme démontré :

Décomposition d'un hexagone en triangles - StudySmarter Original

Tu as remarqué un modèle ? Pour un polygone de n côtés, on peut créer $n - 2$ triangles. Par conséquent, nous disposons d'une formule simple pour calculer le nombre d'angles intérieurs d'un polygone :

Formule pour les angles intérieurs: $(n - 2) \times 180$

Quelle est la somme des angles intérieurs d'un pentagone ?

$(n - 2) \times 180 = (5 - 2) \times 180 = 540 °$

En partant de la définition d'un polygone régulier, nous pouvons maintenant calculer les angles intérieurs de n'importe quel polygone régulier. Comme tous les angles doivent être égaux, il suffit de diviser le nombre d'angles intérieurs par le nombre de sommets. Par exemple, un carré a des angles intérieurs égaux à 360/4=90 degrés.

Angles extérieurs

Les angles extérieurs sont plus simples que les angles intérieurs. Dans tous les cas, la somme des angles extérieurs est égale à $360 °$ . Pour calculer l'angle extérieur d'un polygone régulier, il suffit de diviser 360 par le nombre de côtés, n.

Formule pour les angles extérieurs: $\frac{360}{n}$

Ce qui suit est un pentagone régulier. Trouve x et y.

Angles extérieurs d'un pentagone - StudySmarter Original

Il y a deux façons de trouver ces angles : en utilisant la formule de l'angle extérieur ou celle de l'angle intérieur.

Méthode de l'angle interne

Nous savons d'après l'exemple précédent qu'il y a $540 °$ à l'intérieur d'un pentagone puisque, d'après la formule de l'angle interne, la somme des angles internes est de $540 °$ :

(n - 2) \times 180 = (5 - 2) \times 180 = 540 °

Nous savons également que le pentagone est une forme régulière , donc chaque angle intérieur doit être égal :

$\frac{540}{5} = 108 °$

Puisqu'il y a $180 °$ le long d'une ligne droite, cela signifie que x et y sont les suivants :

x = y = 180 - 108 = 72 °

Méthode des angles extérieurs

Comme il y a 5 sommets, il y aura 5 angles externes égaux (y compris x et y). Par conséquent, puisque la somme des angles externes est égale à $360 °$ nous savons que chaque angle doit être égal à $\frac{360}{5} = 72 °$ . Nous obtenons donc la même réponse que précédemment : $x = y = 72 °$ .

Aires des polygones

Il est utile de se familiariser avec les formules des aires des polygones courants.

Polygone	Formule de surface
Triangle	$\frac{1}{2} \times b a s e \times h e i g h t$
Carré	$L e n g t h^{2}$
Rectangle	$L e n g t h \times w i d t h$
Parallélogramme	$B a s e \times h e i g h t$
Trapèze	$\frac{1}{2} \times (s u m o f l e n g t h s o f p a r a l l e l s i d e s / b a s e s) \times h e i g h t$
Losange	$\frac{1}{2} \times (p r o d u c t o f d i a g o n a l s)$

Trouve la surface de la forme suivante. Les longueurs sont données en centimètres.

Trapèze - StudySmarter Original

La formule est la suivante $\frac{1}{2} \times (s u m o f l e n g t h s o f p a r a l l e l s i d e s / b a s e s) \times h e i g h t$ . On nous donne la hauteur, 4 cm, et les longueurs des côtés parallèles, 3 cm et 5 cm. En les introduisant dans la formule, nous obtenons :

$A r e a = \frac{1}{2} \times (3 + 5) \times 4 = 16 {cm}^{2}$

Polygones - Points clés

Un polygone est une forme bidimensionnelle contenue dont les côtés sont droits et se rejoignent aux sommets
Les diagonales sont des lignes droites qui peuvent être tracées entre deux sommets.
Angles dans un polygone :
- La somme des angles intérieurs d'un polygone est de $180 \times (n - 2)$ où n est le nombre de côtés ou de sommets
- Les angles extérieurs d'un polygone s'élèvent à $360 °$
Régularité des polygones :
- Un polygone est régulier lorsque tous les côtés et les angles à l'intérieur du polygone sont égaux
- Un polygone est irrégulier lorsque les côtés et les angles ne sont pas égaux.
Convexité :
- Un polygone convexe est un polygone dont tous les sommets pointent vers l'extérieur.
- Un polygone concave est un polygone dont au moins un sommet pointe vers l'intérieur.

Fiches dans Polygones 2

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Lesquels des éléments suivants sont vrais ?

Les arêtes d'un polygone se rejoignent aux sommets.

Lesquels des éléments suivants sont vrais ?

Un polygone est régulier lorsque tous les côtés et les angles du polygone sont égaux

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Questions fréquemment posées en Polygones

Qu'est-ce qu'un polygone?

Un polygone est une figure géométrique plane formée par une séquence de segments de ligne fermés. Chaque point d'intersection est un sommet.

Comment classer les polygones?

Les polygones se classent par le nombre de côtés: triangle (3), quadrilatère (4), pentagone (5), etc.

Quelle est la différence entre un polygone régulier et irrégulier?

Un polygone régulier a tous ses côtés et angles égaux, tandis qu'un irrégulier présente des côtés et des angles de différentes longueurs.

Comment calculer le périmètre d'un polygone?

Pour calculer le périmètre d'un polygone, on additionne la longueur de tous ses côtés.

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