- coupe un autre segment de droite à un angle droit (90o), et
- divise le segment de droite intersecté en deux parties égales.
Le point d'intersection de la bissectrice perpendiculaire avec un segment de droite est le point médian du segment de droite.
Représentation graphique d'une bissectrice perpendiculaire
La figure ci-dessous montre une représentation graphique d'une bissectrice perpendiculaire croisant un segment de droite sur un plan cartésien.
Fig. 1 : Bissectrice perpendiculaire.
La bissectrice perpendiculaire croise le milieu des points A (x1, y1) et B (x2, y2) qui se trouvent sur le segment de droite. Ce point est désigné par les coordonnées M (xm, ym). La distance entre le point médian et l'un des points A ou B est de même longueur. En d'autres termes, AM = BM.
Soit l'équation de la droite contenant les points A et B y = m1x + c où m1 est la pente de cette droite. De même, l'équation de la bissectrice perpendiculaire de cette droite est y =m2 x + d oùm2 est la pente de la bissectrice perpendiculaire.
La pente d'une ligne peut également être appelée gradient.
Comme les deux droites, y = m1x + c et y =m2 x + d sont perpendiculaires l'une à l'autre, le produit entre les deux pentes m1 etm2 est -1.
Équation d'une bissectrice perpendiculaire
En te référant au diagramme ci-dessus, disons que l'on nous donne les coordonnées de deux points A (x1, y1) et B (x2, y2). Nous voulons trouver l'équation de la bissectrice perpendiculaire qui traverse le point médian entre A et B. Nous pouvons trouver l'équation de la bissectrice perpendiculaire à l'aide de la méthode suivante.
Étape 1 : Étant donné les points A (x1, y1) et B (x2, y2), trouve les coordonnées du point médian à l'aide de la formule du point médian.
Étape 2 : Calcule la pente du segment de droite m1 reliant A et B à l'aide de la formule du gradient.
Étape 3 : Détermine la pente de la bissectrice perpendiculaire,m2, en utilisant la dérivation ci-dessous.
Étape 4 : Évalue l'équation de la bissectrice perpendiculaire à l'aide de la formule de l'équation d'une droite et du point médian M (xm, ym) et de la pentem2 trouvés.
Trouve l'équation de la bissectrice perpendiculaire du segment de droite joignant les points (9, -3) et (-7, 1).
Solution
Soit (x1, y1) = (9, -3) et (x2, y2) = (-7, 1).
Le point médian est donné par :
La pente du segment de droite joignant les points (9, -3) et (-7, 1) est :
La pente de la bissectrice perpendiculaire de ce segment de droite est :
On obtient donc l'équation de la bissectrice perpendiculaire comme suit :
Théorème de la bissectrice perpendiculaire
Le théorème de la bissectrice perpendiculaire nous dit que tout point situé sur la bissectrice perpendiculaire est équidistant des deux extrémités d'un segment de droite.
On dit qu'un point est équidistant d'un ensemble de coordonnées si les distances entre ce point et chaque coordonnée de l'ensemble sont égales.
Observe le diagramme ci-dessous.
Fig. 2 : Théorème de la bissectrice perpendiculaire.
Si la ligne MO est la bissectrice perpendiculaire de la ligne XY, alors.. :
Avant de commencer la preuve, rappelle la règle de congruence du SAS.
Congruence SAS
Si deux côtés et un angle inclus d'un triangle sont égaux à deux côtés et un angle inclus d'un autre triangle, alors les triangles sont congruents.
Fig. 3 : Preuve du théorème de la bissectrice perpendiculaire.
Observe le croquis ci-dessus. En comparant les triangles XAM et YAM, nous constatons que :
XM = YM puisque M est le point médian.
AM = AM car il s'agit d'un côté partagé
∠XMA = ∠YMA = 90o
D'après la règle de congruence du SAS, les triangles XAM et YAM sont congruents. En utilisant le CCTP, A est équidistant à la fois de X et de Y, ou autrement dit, XA = YA en tant que parties correspondantes de triangles congruents.
Étant donné le triangle XYZ ci-dessous, détermine la longueur du côté XZ si la bissectrice perpendiculaire du segment de droite BZ est XA pour le triangle XBZ. Ici, XB = 17 cm et AZ = 6 cm.
Fig. 4 : Exemple 1.
Puisque AX est la bissectrice perpendiculaire du segment de droite BZ, tout point sur AX est équidistant des points B et Z par le théorème de la bissectrice perpendiculaire. Cela implique que XB = XZ. Donc XZ = 17 cm.
Théorème de l'inverse de la bissectrice perpendiculaire
La réciproque du théorème de la bissectrice perpendiculaire stipule que si un point est équidistant des extrémités d'un segment de droite dans le même plan, alors ce point se trouve sur la bissectrice perpendiculaire du segment de droite.
Pour t'en faire une idée plus précise, reporte-toi au croquis ci-dessous.
Fig. 5 : Inverse du théorème de la bissectrice perpendic ulaire.
Si XP = YP, alors le point P se trouve sur la bissectrice perpendiculaire du segment de droite XY.
Preuve
Observe le diagramme ci-dessous.
Fig. 6 : Preuve du théorème de la bissectrice perpendiculaire.
On nous dit que XA = YA. Nous voulons prouver que XM = YM. Construis une ligne perpendiculaire à partir du point A qui coupe la ligne XY au point M. Cela forme deux triangles, XAM et YAM. En comparant ces triangles, tu remarqueras que
XA = YA (donné)
AM = AM (côté partagé)
∠XMA = ∠YMA = 90o
En vertu de la règle de congruence du SAS, les triangles XAM et YAM sont congruents. Comme le point A est équidistant à la fois de X et de Y, alors A se trouve sur la bissectrice perpendiculaire de la ligne XY. Ainsi, XM = YM, et M est également équidistant de X et Y.
Étant donné le triangle XYZ ci-dessous, détermine la longueur des côtés AY et AZ si XZ = XY = 5 cm. La ligne AX coupe le segment de ligne YZ à angle droit au point A.
Fig. 7 : Exemple 2.
Comme XZ = XY = 5 cm, cela implique que le point A se trouve sur la bissectrice perpendiculaire de YZ par la réciproque du théorème de la bissectrice perpendiculaire. Par conséquent, AY = AZ. En résolvant x, on obtient ,
Maintenant que nous avons trouvé la valeur de x, nous pouvons calculer le côté AY comme suit
Puisque AY = AZ, AY = AZ = 3 cm.
Bissectrice perpendiculaire ; centre d'un triangle
La bissectrice d'un triangle est un segment de droite qui est tracé depuis le côté d'un triangle jusqu'au sommet opposé. Cette ligne est perpendiculaire à ce côté et passe par le milieu du triangle. La bissectrice d'un triangle divise les côtés en deux parties égales.
Chaque triangle a trois bissectrices perpendiculaires puisqu'il a trois côtés.
Le centre du triangle est le point d'intersection des trois bissectrices perpendiculaires d'un triangle.
Le circoncentre est le point de concordance des trois bissectrices perpendiculaires d'un triangle donné.
Un point où trois lignes distinctes ou plus se croisent est appelé point de concomitance. De même, trois lignes ou plus sont dites concourantes si elles passent par un point identique.
Ceci est décrit dans le diagramme ci-dessous où P est le centre du triangle donné.
Fig. 8 : Théorème du centre du cercle.
Théorème du centre du cercle
Les sommets d'un triangle sont équidistants du centre. En d'autres termes, étant donné un triangle ABC, si les bissectrices perpendiculaires de AB, BC et AC se rencontrent au point P, alors AP = BP = CP.
Preuve à l'appui
Observe le triangle ABC ci-dessus. Les bissectrices perpendiculaires des segments de droite AB, BC et AC sont données. Les bissectrices perpendiculaires de AC et BC se croisent au point P. Nous voulons montrer que le point P se trouve sur la bissectrice perpendiculaire de AB et qu'il est équidistant de A, B et C. Observe maintenant les segments de droite AP, BP et CP.
D'après le théorème de la bissectrice perpendiculaire, tout point situé sur la bissectrice perpendiculaire est équidistant des deux extrémités d'un segment de droite. Ainsi, AP = CP et CP = BP.
Par la propriété transitive, AP = BP.
La propriété transitive stipule que si A = B et B = C, alors A = C.
Par l'inverse du théorème de la bissectrice perpendiculaire, tout point équidistant des extrémités d'un segment se trouve sur la bissectrice perpendiculaire. Ainsi, P se trouve sur la médiatrice de AB. Comme AP = BP = CP, le point P est équidistant de A, B et C.
Trouver les coordonnées du centre d'un triangle
Disons qu'on nous donne trois points, A, B et C qui forment un triangle sur le graphique cartésien. Pour trouver le centre du triangle ABC, nous pouvons suivre la méthode ci-dessous.
Évalue le point médian des deux côtés.
Trouve la pente des deux côtés choisis.
Calcule la pente de la bissectrice perpendiculaire des deux côtés choisis.
Détermine l'équation de la bissectrice perpendiculaire des deux côtés choisis.
Mets les deux équations de l'étape 4 en équation l'une par rapport à l'autre pour trouver la coordonnée x.
Insère la coordonnée x trouvée dans l'une des équations de l'étape 4 pour identifier la coordonnée y.
Trouve les coordonnées du centre du triangle XYZ étant donné les sommets X (-1, 3), Y (0, 2) et Z (-2, -2).
Commençons par dessiner le triangle XYZ.
Fig. 9 : Exemple 3.
Nous allons essayer de trouver les bissectrices perpendiculaires des segments de droite XY et XZ étant donné leurs points médians respectifs.
Bissectrice perpendiculaire de XY
Le point médian est donné par :
La pente du segment de droite XY est :
La pente de la bissectrice perpendiculaire de ce segment de droite est :
Nous obtenons donc l'équation de la bissectrice perpendiculaire comme suit
Bissectrice perpendiculaire de XZ
Le point médian est donné par :
La pente du segment de droite XZ est: :
La pente de la bissectrice perpendiculaire de ce segment de droite est :
On obtient donc l'équation de la bissectrice perpendiculaire comme suit :
Pose les équations de la Bissectrice perpendiculaire de XY = Bissectrice perpendiculaire de XZ.
La coordonnée x est obtenue par :
La coordonnée y peut être trouvée par :
Ainsi, le centre de la circonférence est donné par les coordonnées
Théorème de la bissectrice
Le théorème de la bissectrice nous dit que si un point se trouve sur la bissectrice d'un angle, alors ce point est équidistant des côtés de l'angle.
Ce principe est décrit dans le diagramme ci-dessous.
Fig. 10 : Théorème de la bissectrice.
Si le segment de droite CD coupe en deux la ∠C et que AD est perpendiculaire à AC et BD est perpendiculaire à BC, alors AD = BD.
Avant de commencer la preuve, rappelle la règle de congruence ASA.
Congruence ASA
Si deux angles et un côté inclus d'un triangle sont égaux à deux angles et un côté inclus d'un autre triangle, alors les triangles sont congruents.
Preuve
Nous devons montrer que AD = BD.
Comme la ligne CD coupe en deux ∠C, cela forme deux angles de mesures égales, à savoir ∠ACD = ∠BCD. De plus, remarque que puisque AD est perpendiculaire à AC et BD est perpendiculaire à BC, alors ∠A = ∠B = 90o. Enfin, CD = CD pour les deux triangles ACD et BCD.
D'après la règle de congruence de l'ASA, le triangle ACD est congru au triangle BCD. Par conséquent, AD = BD.
Relation entre le théorème de la bissectrice et les triangles
On peut en effet utiliser ce théorème dans le contexte des triangles. En appliquant ce concept, la bissectrice d'un angle quelconque dans un triangle divise le côté opposé en deux parties proportionnelles aux deux autres côtés du triangle. Cette bissectrice d'angle divise l'angle bissecté en deux angles de mesures égales.
Ce rapport est décrit dans le diagramme ci-dessous pour le triangle ABC.
Fig. 11. Théorème de la bissectrice de l'angle et triangles.
Si la bissectrice de l'angle ∠C est représentée par le segment de droite CD et que ∠ACD = ∠BCD, alors :
Théorème de l'inverse de la bissectrice d'un angle.
Le théorème de la bissectrice de l'angle stipule que si un point est équidistant des côtés d'un angle, alors ce point se trouve sur la bissectrice de l'angle.
Ce principe est illustré dans le diagramme ci-dessous.
Fig. 12. Inverse du théorème de la bissectrice d'un angle.
Si AD est perpendiculaire à AC et BD est perpendiculaire à BC et que AD = BD, alors le segment de droite CD coupe en deux la ∠C.
Preuve
Nous devons montrer que CD est bissectrice de ∠C.
Comme AD est perpendiculaire à AC et BD est perpendiculaire à BC, alors ∠A = ∠B = 90o. On nous indique également que AD = BD. Enfin, les deux triangles ACD et BCD ont un côté commun lorsqu'on trace un segment de droite passant par ∠C, c'est-à-dire CD = CD.
En vertu de la règle de congruence du SAS, le triangle ACD est congru au triangle BCD. Par conséquent, CD est la bissectrice de ∠C.
Relation entre l'inverse du théorème de la bissectrice d'angle et les triangles.
Comme précédemment, nous pouvons également appliquer ce théorème aux triangles. Dans ce contexte, un segment de droite construit à partir de n'importe quel angle d'un triangle qui divise le côté opposé en deux parties telles qu'elles sont proportionnelles aux deux autres côtés d'un triangle implique que le point situé sur le côté opposé de cet angle se trouve sur la bissectrice de l'angle.
Ce concept est illustré ci-dessous pour le triangle ABC.
Fig. 13 : Inverse le théorème de la bissectrice d'angle et les triangles.
Si alors D se trouve sur la bissectrice de ∠C et le segment de droite CD est la bissectrice de ∠C.
Observe le triangle XYZ ci-dessous.
Fig. 14 : Exemple 4.
Trouve la longueur du côté XZ si XA est la bissectrice de l'angle ∠X, XY = 8cm, AY = 3 cm et AZ = 4cm.
Par le théorème de la bissectrice d'angle pour les triangles, étant donné que XA est la bissectrice d'angle de ∠X alors.
Par conséquent, la longueur de XZ est d'environ 10,67 cm.
Le même concept s'applique à l'inverse du théorème de la bissectrice de l'angle pour les triangles. Disons qu'on nous donne le triangle ci-dessus avec les mesures XY = 8 cm, XZ = cm, AY = 3 cm et AZ = 4 cm. Nous voulons déterminer si le point A se trouve sur la bissectrice de l'angle ∠X. En évaluant le rapport des côtés correspondants, nous trouvons que.
Ainsi, le point A se trouve effectivement sur la bissectrice de l'angle ∠X et le segment de droite XA est la bissectrice de l'angle ∠X.
Intersection d'un triangle
La bissectrice d 'un triangle est un segment de droite qui est tracé du sommet d'un triangle au côté opposé. La bissectrice d'un triangle divise l'angle bissecté en deux mesures égales.
Chaque triangle a trois bissectrices d'angle puisqu'il a trois angles.
L'axe est le point d'intersection des trois bissectrices d'un triangle.
L'axe est le point de convergence des trois bissectrices d'un triangle donné. Ceci est illustré dans le diagramme ci-dessous où Q est l'axe du triangle donné.
Fig. 15 : Théorème de l'incentre.
Théorème de l'intenteur
Les côtés d'un triangle sont équidistants de l'entraxe. Autrement dit, étant donné un triangle ABC, si les bissectrices des angles ∠A, ∠B et ∠C se rencontrent au point Q, alors QX = QY = QZ.
Preuve
Observe le triangle ABC ci-dessus. Les bissectrices d'angle de ∠A, ∠B et ∠C sont données. La bissectrice de l'angle ∠A et celle de l'angle ∠B se coupent au point Q. Nous voulons montrer que le point Q se trouve sur la bissectrice de l'angle ∠C et qu'il est équidistant de X, Y et Z. Observe maintenant les segments de droite AQ, BQ et CQ.
En vertu du théorème de la bissectrice d'un angle, tout point situé sur la bissectrice d'un angle est équidistant des côtés de l'angle. Ainsi, QX = QZ et QY = QZ.
Par la propriété transitive, QX = QY.
Par la réciproque du théorème de la bissectrice de l'angle, un point qui est équidistant des côtés d'un angle se trouve sur la bissectrice de l'angle. Ainsi, Q se trouve sur la bissectrice de l'angle ∠C. Comme QX = QY = QZ, le point Q est donc équidistant de X, Y et Z.
Si intrados du triangle XYZ, alors trouve la valeur de dans la figure ci-dessous. XA, YB et ZC sont les bissectrices des angles du triangle.
Fig. 16 : Exemple 5.
∠YXA et ∠ZYB sont données respectivement par 32o et 27o. Rappelle qu'une bissectrice divise un angle en deux mesures égales. Note en outre que la somme des angles intérieurs d'un triangle est de 180o.
Puisque Q est le centre XA, YB et ZC sont les bissectrices du triangle, alors
Ainsi, ∠θ = 31o
La médiane d'un triangle
La médiane est un segment de droite qui relie le sommet d'un triangle au milieu du côté opposé.
Chaque triangle a trois médianes puisqu'il a trois sommets.
Le centroïde est le point d'intersection des trois médianes d'un triangle.
Le centroïde est le point de concours des trois médianes d'un triangle donné. C'est ce que montre l'illustration ci-dessous où R est le centre du triangle donné.
Fig. 17 : Théorème du centroïde.
Théorème du centroïde
Le centroïde d'un triangle correspond aux deux tiers de la distance entre chaque sommet et le milieu du côté opposé. En d'autres termes, étant donné un triangle ABC, si les médianes de AB, BC et AC se rencontrent en un point R, alors
Si R est le centroïde du triangle XYZ, trouve la valeur de AR et de XR étant donné que XA = 21 cm dans le diagramme ci-dessous. XA, YB et ZC sont les médianes du triangle.
Fig. 18 : Exemple 6.
Par le théorème du centroïde, on en déduit que XR peut être trouvé par la formule :
La valeur de AR est :
Ainsi, cm et
cm.
L'altitude d'un triangle
L'altitude est un segment de droite qui passe par le sommet d'un triangle et qui est perpendiculaire au côté opposé.
Chaque triangle a trois altitudes puisqu'il a trois sommets.
L'orthocentre est un point où les trois altitudes d'un triangle se croisent.
L'orthocentre est le point de concours des trois altitudes d'un triangle donné. Ceci est décrit dans l'image ci-dessous où S est l'orthocentre du triangle donné.
Fig. 19 : Orthocentre d'un triangle.
Il peut être utile de noter que l'emplacement de l'orthocentre, S, dépend du type de triangle donné.
| Type de triangle | Position de l'orthocentre, S |
| Aiguë | S se trouve à l'intérieur du triangle |
| Droite | S se trouve sur le triangle |
| Obtus | S se trouve à l'extérieur du triangle |
Localisation de l'orthocentre d'un triangle
Disons qu'on nous donne un ensemble de trois points pour un triangle donné A, B et C. Nous pouvons déterminer les coordonnées de l'orthocentre d'un triangle à l'aide de la formule de l'orthocentre. Cette formule est donnée par la technique ci-dessous.
Trouve la pente des deux côtés
Calcule la pente de la bissectrice perpendiculaire des deux côtés choisis (note que l'altitude de chaque sommet du triangle coïncide avec le côté opposé).
Détermine l'équation de la bissectrice perpendiculaire des deux côtés choisis avec son sommet correspondant.
Mets en équation les deux équations de l'étape 3 l'une par rapport à l'autre pour trouver la coordonnée x.
Insère la coordonnée x trouvée dans l'une des équations de l'étape 3 pour identifier la coordonnée y.
Trouve les coordonnées de l'orthocentre du triangle XYZ étant donné les sommets X (-5, 7), Y (5, -1) et Z (-3, 1). XA, YB et ZC sont les altitudes du triangle.
Nous commençons par dessiner un croquis approximatif du triangle XYZ.
Fig. 20 : Exemple 7.
Nous allons essayer de trouver les bissectrices perpendiculaires des segments de droite XY et XZ étant donné leurs sommets respectifs.
Bissectrice perpendiculaire de XY
Le sommet correspondant à XY est donné par le point Z (-3, 1).
La pente du segment de droite XY est :
La pente de la bissectrice perpendiculaire de ce segment de droite est :
On obtient donc l'équation de la bissectrice perpendiculaire comme suit :
Bissectrice perpendiculaire de XZ
Le sommet correspondant à XZ est donné par le point Y (5, -1).
La pente du segment de droite XZ est: :
La pente de la bissectrice perpendiculaire de ce segment de droite est :
On obtient donc l'équation de la bissectrice perpendiculaire comme suit :
Pose les équations de la Bissectrice perpendiculaire de XY = Bissectrice perpendiculaire de XZ.
La coordonnée x est obtenue par :
La coordonnée y peut être trouvée par :
Ainsi, l'orthocentre est donné par les coordonnées
Bissectrice perpendiculaire - Points clés à retenir
Théorèmes importants
Théorème Description du théorème de la bissectrice perpendiculaire Théorème de la bissectrice perpendiculaire Tout point situé sur la bissectrice perpendiculaire est équidistant des deux extrémités d'un segment de droite.
L'inverse du théorème de la bissectrice perpendiculaire Si un point est équidistant des extrémités d'un segment de droite dans le même plan, alors ce point se trouve sur la bissectrice perpendiculaire du segment de droite.
Théorème de la bissectrice des angles Si un point se trouve sur la bissectrice d'un angle, alors ce point est équidistant des côtés de l'angle.
Théorème de la bissectrice d'un angle et les triangles La bissectrice d'un angle quelconque dans un triangle divise le côté opposé en deux parties proportionnelles aux deux autres côtés du triangle et divise l'angle bissecté en deux angles de mesures égales.
L'inverse du théorème de la bissectrice d'un angle Si un point est équidistant des côtés d'un angle, alors ce point se trouve sur la bissectrice de l'angle.
L'inverse du théorème de la bissectrice de l'angle et les triangles Un segment de droite construit à partir d'un angle quelconque d'un triangle qui divise le côté opposé en deux parties telles qu'elles sont proportionnelles aux deux autres côtés d'un triangle implique que le point situé sur le côté opposé de cet angle se trouve sur la bissectrice de l'angle. Concepts importants
Concept Point de concordance Propriété Bissectrice perpendiculaire Circoncentre Les sommets d'un triangle sont équidistants du circoncentre. Bissectrice d'angle Centre Les côtés d'un triangle sont équidistants du centre. Médiane Centroïde Le centroïde d'un triangle correspond aux deux tiers de la distance entre chaque sommet et le milieu du côté opposé. Altitude Orthocentre Les segments de droite incluant les altitudes du triangle sont concourants à l'orthocentre. Méthode: Déterminer l'équation de la bissectrice perpendiculaire
- Trouve les coordonnées du point médian.
- Calcule la pente des segments de droite choisis.
- Détermine la pente de la médiatrice.
- Évalue l'équation de la bissectrice perpendiculaire.
- Méthode: Trouver les coordonnées du centre d'un triangle
Évalue le point médian de deux côtés.
Trouve la pente des deux côtés choisis.
Calcule la pente de la bissectrice perpendiculaire des deux côtés choisis.
Détermine l'équation de la bissectrice perpendiculaire des deux côtés choisis.
Mets les deux équations de l'étape 4 en équation l'une par rapport à l'autre pour trouver la coordonnée x.
Insère la coordonnée x trouvée dans l'une des équations de l'étape 4 pour identifier la coordonnée y.
Méthode: Localiser l'orthocentre d'un triangle
- Trouve la pente des deux côtés.
- Calcule la pente de la bissectrice perpendiculaire des deux côtés choisis.
- Détermine l'équation de la bissectrice perpendiculaire des deux côtés choisis avec son sommet correspondant.
- Mets les deux équations de l'étape 3 en équation l'une par rapport à l'autre pour trouver la coordonnée x.
- Insère la coordonnée x trouvée dans l'une des équations de l'étape 3 pour identifier la coordonnée y.
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