Nous définissons la médiane d'un triangle comme le segment de droite reliant le sommet au milieu de son côté opposé. Dans cet article, nous allons passer en revue la définition d'une médiane, ses différentes propriétés, la formule mathématique & enfin travailler sur quelques exemples.
À la fin de cet article, tu seras capable de :
Définir une médiane et la relier à l'aire d'un triangle.
Identifier et dessiner les médianes dans un triangle.
Calculer la longueur de la médiane à partir des côtés et des coordonnées d'un triangle.
Signification de la médiane
Alors, que signifie exactement la médiane ? Imagine que tu as une part de pizza que tu dois partager entre toi et ton ami. Pour simplifier, nous appellerons cette pizza \(\Ngrand triangle en haut de l'ABC\N). Maintenant, garde à l'esprit que tu dois diviser la pizza de façon égale entre tes amis. C'est ici que la médiane peut t'aider.
Médiane d'une part de pizza, pexels.com
Choisis un côté de la pizza, dis le côté \(a\) (c'est-à-dire le côté \(BC\)), et coupe la pizza en travers du segment de droite joignant le point médian de la droite et l'angle intérieur opposé, comme le montre la figure ci-dessous. Hourra ! Ton ami et toi pouvez maintenant déguster des quantités égales de pizza. La ligne imaginaire qui a coupé la pizza en deux parties égales est la médiane . Puisque tous les triangles ont \(3\) côtés et \(3\) angles intérieurs, ils auront toujours \(3\) côtés et \(3\) angles intérieurs. Ils auront toujours des médianes \(3\).
Une médiane est uneligne construite qui relie le point médian d 'un côté à l'angle intérieur opposé.
Il est intéressant de noter que le périmètre d'un triangle est toujours plus grand que la somme de ses trois médianes.
Qu'est-ce qu'un centroïde ?
Maintenant que nous savons ce qu'est une médiane, explorons ce qu'est un centroïde. Le point où les 3 médianes se croisent s'appelle le centroïde. Le centroïde est un point de convergence. Un point de concordance est un point où deux ou plusieurs lignes se croisent. Comme le point d'intersection des médianes, des bissectrices perpendiculaires et des altitudes. Le centroïde se trouvera toujours à l'intérieur du triangle, contrairement aux autres points de concomitance.
Le point d'intersection des trois médianes est appelé le centroïde.
Fig. 1. Trois médianes avec le centroïde comme point d'intersection.
Le centroïde possède quelques propriétés intéressantes. Il divise toujours la médiane dans un rapport \(2:1\). Le centroïde est toujours situé aux deux tiers de la médiane à partir de l'angle intérieur.
Entre le centroïde et l'angle intérieur se trouvent deux parties de la médiane.
Entre le centroïde et le côté opposé se trouve le reste de la médiane.
Visualisons comment la médiane est divisée dans un rapport de \(2:1\). Prends un \(\Ngrand triangle en haut de ABC\N) et dessine les \N(3\N) médianes à partir de chacun des sommets. Considère maintenant que le centre du triangle est \N O\N O\N O\N O\N O\N O\N O\N O\N O\N O\N. Si \(AM\) est la médiane du triangle à partir du sommet \(A\), alors \(2OM = OA\).
Fig. 2. Le centroïde divise la médiane en parties de \(2:1\).
Dans un triangle rectangle, la médiane tracée à partir du sommet de l'angle droit est égale à la moitié de la longueur de l'hypoténuse du triangle. La médiane de l'angle droit du triangle coupe l'hypoténuse en deux parties égales et chaque partie de l'hypoténuse est égale à la longueur de la médiane.
Fig. 3. Médiane égale à la moitié de l'hypoténuse.
Dans la figure ci-dessus, la médiane \(AD\) coupe l'hypoténuse en deux parties égales \(CD\) et \(BD\), de telle sorte que \(AD=CD ; AD=BD\).
Propriétés de la médiane
Les propriétés d'une médiane peuvent être décrites comme suit :
Tout triangle contient 3 médianes dont le point d'intersection est appelé le centroïde.
Le côté de raccordement de la médiane est divisé en deux parties égales.
Deux triangles de taille et d'aire égales sont formés en construisant une médiane à partir de n'importe lequel des sommets d'un triangle.
En fait, tout triangle est divisé en 6 triangles plus petits de surface égale par 3 médianes du triangle.
Médiane et altitude d'un triangle
Il peut être difficile de faire la distinction entre la médiane et l'altitude d'un triangle et il est facile de les considérer comme identiques. Mais la médiane et l'altitude d'un triangle sont deux éléments différents d'un triangle. La médiane d'un triangle est un segment de droite allant d'un sommet au milieu du côté opposé. Alors que l'altitude d'un triangle est un segment de droite perpendiculaire allant d'un sommet à son côté opposé.
Fig. 4. Médiane et altitude des triangles.
Dans la figure ci-dessus, \N(AD, BE,\N) et \N(CF\N) sont les médianes du triangle \N(\Ngrand triangleup ABC\N), et \N(XM, YN,\N) et \N(ZO\N) sont les altitudes du triangle \N(\Ngrand triangleup XYZ\N).
Différence entre médiane et altitude
Voyons la différence entre la médiane et l'altitude d'un triangle.
| Médiane | Altitude |
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Formule de calcul de la médiane du triangle
Une formule de base peut être utilisée pour calculer la médiane d'un triangle. Examinons la formule de la médiane du triangle pour calculer la longueur de chaque médiane.
Fig. 5. Trois médianes d'un triangle.
La formule pour la première médiane est la suivante :
\[m_a=\sqrt{\frac{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}}\]
où \(a, b,\N) et \N(c\N) sont les longueurs des côtés, et \N(m_a\N) est la médiane de l'angle intérieur \N(A\N) au côté \N('a'\N).
La formule pour calculer la deuxième médiane d'un triangle est la suivante :
\[m_b=\sqrt{\frac{2c^{2}+2a^{2}-b^{2}}{4}}\]
où la médiane du triangle est \N(m_b\N), les côtés sont \N(a, b,\N) et \N(c\N), et la médiane est formée sur le côté \N('b'\N).
De même, la formule pour la troisième médiane d'un triangle est la suivante :
\[m_c=\sqrt{\frac{2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}{4}}\]
où la médiane du triangle est \N(m_c\N), les côtés du triangle sont \N(a, b,\N) et \N(c\N), et la médiane est formée sur le côté \N('c'\N).
Mais alors, comment calculer la longueur en utilisant seulement les coordonnées du triangle ? Nous estimons d'abord les points médians du côté avec la médiane à l'aide de la formule ci-dessous.
Fig. 6. Triangle avec point médian et médiane.
\[M(x_m, y_m)=\frac{(x_2+x_3)}{2}, \frac{(y_2+y_3)}{2}\]
où \(M(x_m,y_m)\) est l'un des points d'extrémité de la médiane. En utilisant ces coordonnées et le point restant, nous pouvons calculer la longueur de la médiane. Les coordonnées doivent être remplacées par la formule suivante. Il s'agit de la formule de la distance, qui donne la distance entre deux coordonnées quelconques sur un plan à deux dimensions.
\[D=\sqrt{(x_m-x_1)^2+(y_m-y_1)^2}\]
où \(D\) est la distance entre les deux points et \((x_1,y_1) , (x_m,y_m)\) sont les coordonnées des extrémités de la médiane.
De même, pour calculer la distance entre \((x_2,y_2)\) et le point médian du côté opposé \(AC\), nous utilisons,
\[D=\sqrt{(x_m-x_2)^2+(y_m-y_2)^2}\]
où \(M(x_m, y_m)=\frac{(x_1+x_3)}{2}, \frac{(y_1+y_3)}{2}\).
Et la distance entre \((x_3,y_3)\) et le point médian du côté opposé \(AB\) est calculée en utilisant,
\[D=\sqrt{(x_m-x_3)^2+(y_m-y_3)^2}\]
où \(M(x_m, y_m)=\frac{(x_1+x_2)}{2}, \frac{(y_1+y_2)}{2}\).
Exemples de médianes
Jetons un coup d'œil à quelques exemples de médianes et comprenons-les.
Trouve la longueur de la médiane du triangle donné \N(ABC\N) dont les côtés sont donnés comme suit, \N(AB = 10\N, unités), \N(BC = 6\N, unités), et \N(AC = 8\N, unités), respectivement, dans lequel AM est la médiane formée sur le côté \N(BC\N).
Fig. 7. Triangle avec les longueurs des côtés.
Solution :
\[AM=\sqrt{\frac{2AB^2+2AC^2-BC^2}{4}}\]
où \N(AB=10, BC=6, AC=8\N)
En substituant les valeurs dans la formule, nous obtiendrons, en médiane, \(AM\),
\[AM=\sqrt{\frac{(2\times 10^2)+(2\times 8^2)-6^2}{4}} = 8.54\]
Par conséquent, la longueur de la médiane \N(AM\N) est \N(8,54 \N;unités).
Trouve la longueur de la médiane (AM) si les coordonnées du triangle (ABC) sont données comme suit : A (2,5), B (6,3), C (-3,0).
Fig. 8. Triangle avec coordonnées.
Solution :
Étape 1 : Calcule les coordonnées du point médian pour \(BC\)
\begin{align}M(x,y)&=\frac{(x_1+x_2)}{2}, \frac{(y_1+y_2)}{2} \\N-&=\frac{(6+(-3))}{2}, \frac{3+0}{2} \\N-&=(1.5, 1.5)\N- end{align}
Étape 2 : Maintenant que nous avons les coordonnées des extrémités de la médiane, nous pouvons estimer la longueur à l'aide de la formule de la distance.
\begin{align} xml-ph-0000@deepl.internal d&=\sqrt{(1.5-2)^2+(1.5-5)^2} \\N-&=\sqrt{(-0.5)^2+(-3.5)^2} \N-&=\sqrt{12.5} \\N-&=3.53\N- end{align}
Cela nous donne la longueur de l'unité \(3,53\).
Ceci nous amène à la fin de l'article. Voici les principaux points à retenir pour rafraîchir ce que nous avons appris jusqu'à présent.
Médiane - Points clés
- La médiane est un segment de droite joignant le sommet et le milieu du côté opposé.
- Elle divise le côté opposé en deux parties égales en lebisectant .
- La médiane divise le triangle en deux triangles d'aires égales. Les \(3\) médianes diviseront le triangle en \(6\) triangles égaux.
- Chaque triangle a trois médianes, le point d'intersection des médianes est appelé le centroïde.
- La longueur de la médiane peut être calculée à l'aide de la formule : \[m_a=\sqrt{\frac{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}}\].
- La longueur peut également être calculée à l'aide des coordonnées des triangles en utilisant la formule de la distance et les points médians du côté opposé. \(M(x_m, y_m)=\frac{(x_2+x_3)}{2}, \frac{(y_2+y_3)}{2}\), où M est le point médian \(D=\sqrt{(x_m-x_1)^2+(y_m-y_1)^2}\), où \(D\) est la distance.
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