Losanges: Géométrie, Propriétés

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Signification des losanges

Un losange est un quadrilatère dont tous les côtés sont de même longueur et qui possède deux paires de côtés parallèles.
Un quadrilatère est une forme àquatre côtés.
Un parallélogramme est un quadrilatère ayant deux paires de côtés parallèles.

Un quadrilatère ayant deux paires de côtés parallèles opposés est appelé un parallélogramme.

D'après la définition du losange et du parallélogramme, nous voyons que tous les losanges sont des types particuliers de parallélogrammes, puisqu'ils ont deux paires de côtés parallèles. Il est utile de se familiariser avec les parallélogrammes pour les besoins de cet article.

La figure suivante illustre un losange, $A B C D$ . Comme il s'agit d'un losange, tous ses côtés sont de même longueur.

Illustration de losanges StudySmarter

Illustration d'un losange - StudySmarter Originals

À partir de la figure ABCD, nous avons :

$A B = B C = C D = D A$

Comme un losange est un type de parallélogramme, les côtés opposés sont parallèles. Ainsi, $A D$ est parallèle à $B C$ et $A B$ est parallèle à $B C$ .

Propriétés des losanges

Maintenant que nous avons discuté des caractéristiques de base d'un losange, examinons ses propriétés plus en détail.

Les losanges en tant que parallélogrammes

Nous avons mentionné que les losanges sont un type particulier de parallélogramme, nous pouvons donc dire que toutes les propriétés des parallélogrammes s'appliquent également aux losanges. Voyons comment les propriétés des parallélogrammes en général s'appliquent spécifiquement aux losanges :

Les deux paires de côtés opposés d'un losange sont parallèles.
Les angles opposés d'un losange sont égaux.
Les diagonales d'un losange se coupent en deux. En d'autres termes, l'intersection des deux diagonales se trouve au milieu de chaque diagonale.
Chaque diagonale d'un losange divise le losange en 2 triangles congruents.

Propriétés propres aux losanges

En plus des propriétés concernant les parallélogrammes, il existe également des propriétés supplémentaires spécifiques et uniques aux losanges. Nous les décrirons ci-dessous en nous référant au losange ABCD :

Illustration de losanges avec diagonales StudySmarter

Illustration d'un losange dont les diagonales sont représentées - StudySmarter Originals

Les diagonales d'un losange sont perpendiculaires l'une à l'autre. Cela signifie qu'elles forment un angle droit l'une par rapport à l'autre.
Ainsi, dans le diagramme ci-dessus, $A C ⊥ B D$ .
À partir de là, on peut aussi dire que $∠ A O D = ∠ C O D = ∠ C O B = ∠ A O B = 90 °$
Chaque diagonale d'un losange coupe en deux une paire d'angles intérieurs opposés.
En d'autres termes, $∠ C A B = ∠ C A D = ∠ A C B = ∠ A C D$ et $∠ A B D = ∠ C B D = ∠ A D B = ∠ C D B$
Les quatre triangles créés lorsque nous ajoutons les diagonales du losange sont congruents. Ils sont donc mathématiquement identiques mais simplement orientés différemment.

Les triangles congruents des losanges

D'après les propriétés des losanges, nous savons que ses diagonales divisent la forme en quatre triangles qui sont congruents. Que signifie la congruence des triangles ? Deux ou plusieurs triangles sont congruents s'ils sont mathématiquement identiques. En d'autres termes, tous les côtés et les angles sont les mêmes, même s'ils sont orientés différemment. Rappelle-toi également que la somme des angles internes d'un triangle est de 180 degrés.

Considère le losange ci-dessous. Prouve que pour le losange donné, AC ⊥ BD.

Le symbole mathématique ⊥ signifie "perpendiculaire à".

Illustration de losanges avec les diagonales montrées StudySmarter

Exemple de losange - StudySmarter Originals

Solution :

Par la définition d'un losange :

$A B = B C = C D = D A$

Considère maintenant les triangles $A O B$ et $C O B$ :

Le côté $O B$ est un côté des deux triangles. Maintenant , $A B = B C$ puisque $A B C D$ est un losange. Nous avons aussi $O A = O C$ , puisque $A B C D$ est également un parallélogramme et les diagonales d'un parallélogramme se coupent en deux. Par conséquent, le triangle $A O B$ est congru au triangle $C O B$ . En d'autres termes, ce sont exactement les mêmes triangles, juste tournés dans des positions différentes.

Cela implique que :

$∠ A O B = ∠ C O B$

De plus, $∠ A O B$ et $∠ C O B$ se trouvent sur la même ligne droite. Ainsi ,

$∠ A O B + ∠ C O B = 180 °$

Par conséquent,

$∠ A O B = ∠ C O B = 180 \div 2 = 90 °$

De même, nous pouvons montrer que :

$∠ A O D = ∠ C O D = 90 °$

Ainsi, $A C$ et $B D$ sont perpendiculaires. C'est-à-dire , $A C ⊥ B D$ .

Formule d'aire pour les losanges

Nous avons une formule spécifique pour trouver l'aire d'un losange. Considère le losange suivant :

Illustration de losanges avec les diagonales montrées StudySmarter

Exemple de losange - StudySmarter Originals

Maintenant, étiquetons les diagonales de façon à ce que $B D = d_{1}$ et $A C = d_{2}$ .

La surface du losange est donnée par la formule :

$A r e a = \frac{1}{2} d_{1} d_{2}$

Puisqu'un losange est un type de quadrilatère, nous disposons également d'une autre formule pour trouver l'aire.

L'aire d'un quadrilatère quelconque est donnée par la formule: :

$A r e a = b a s e \times h e i g h t$

Ainsi, selon les longueurs dont nous disposons, nous pouvons utiliser l'une ou l'autre des formules ci-dessus pour calculer la surface d'un losange.

Note que lorsque nous parlons de surface, nous utilisons unités carrées. Par exemple, si les longueurs de la base et de la hauteur sont exprimées en centimètres, l'unité de mesure de la surface est le centimètre carré ( $c m^{2}$ ).

Un losange a des diagonales de longueurs $10 c m$ et $15 c m$ . Quelle est l'aire du losange ?

Solution :

En utilisant la formule spécifique pour l'aire d'un losange, nous avons :

$A r e a = \frac{1}{2} d_{1} d_{2}$

En substituant $d_{1} = 10$ et $d_{2} = 15$ nous avons :

$Area = \frac{1}{2} \times 10 c m \times 15 c m = 75 c m^{2}$

Ainsi, l'aire de ce losange est de $75 c m^{2}$ .

Autres exemples de losanges

Nous allons maintenant examiner d'autres exemples de problèmes sur les losanges.

Considère le losange ci-dessous. Étant donné que $∠ A C B = 35 °$ $∠ D B A$ , trouve .

Exemple de losange - StudySmarter Originals

Solution :

Rappelle que dans un losange, chaque diagonale est bissectée, ce qui signifie que nous avons une paire d'angles égaux. Nous savons également que les angles opposés d'un losange sont égaux.

Ainsi,

$∠ A C B = ∠ O A B = 35 °$

Maintenant, nous avons mentionné plus tôt que les diagonales d'un losange sont perpendiculaires entre elles. Par conséquent ,

$∠ A O B = 90 °$

Puisque $O A B$ forme un triangle et que la somme des angles d'un triangle est égale à $180 °$ Nous pouvons donc calculer $∠ D B A$ :

$∠ D B A + ∠ A O B + ∠ O A B = 180 °$

Donc, en substituant les angles connus, on obtient

$∠ D B A + 90 ° + 35 ° = 180 °$

ce qui implique que

$∠ D B A + 125 ° = 180 °$

En soustrayant $180 °$ des deux côtés, nous obtenons :

$∠ D B A = 180 ° - 125 ° = 55 °$

Donc, nous avons que $∠ D B A = 55 °$ .

Considère le losange suivant représenté ci-dessous. Étant donné que $∠ A D C = 120 °$ Trouve $∠ O A D$ .

Exemple de losange - StudySmarter Originals

Solution :

Rappelle que la diagonale $B D$ coupe la diagonale $∠ A D C$ . Par conséquent, nous avons,

$∠ A D O = 120 ° \div 2 = 60 °$ .

Nous avons également que $∠ D O A = 90 °$ en raison de la bissectrice perpendiculaire.

Donc, puisque la somme des angles d'un triangle est égale à $180 °$ nous avons :

$∠ O A D = 180 ° - 90 ° - 60 ° = 30 °$ .

Ainsi , $∠ O A D = 30 °$ .

Losanges - Points clés

Un losange est un quadrilatère spécial dont les quatre côtés sont de même longueur et qui possède deux paires de côtés parallèles.
Un parallélogramme est un quadrilatère avec deux paires de côtés parallèles, donc un losange est aussi un parallélogramme.
Les angles opposés d'un losange sont égaux.
Les diagonales d'un losange se coupent en deux. En d'autres termes, l'intersection des deux diagonales se trouve au milieu de chaque diagonale.
Les diagonales d'un losange divisent la forme en quatre triangles rectangles congruents.
La surface d'un losange est donnée par $\frac{1}{2} d_{1} d_{2}$ où $d_{1}$ et $d_{2}$ sont les diagonales.

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Questions fréquemment posées en Losanges

Qu'est-ce qu'un losange en mathématiques?

Un losange est un quadrilatère dont les quatre côtés ont la même longueur.

Quelles sont les propriétés d'un losange?

Les propriétés d'un losange incluent quatre côtés égaux, des diagonales qui se coupent perpendiculairement et des angles opposés égaux.

Comment calculer l'aire d'un losange?

Pour calculer l'aire d'un losange, multipliez les longueurs de ses deux diagonales et divisez par deux : Aire = (D1 * D2) / 2.

Comment savoir si un quadrilatère est un losange?

Pour savoir si un quadrilatère est un losange, vérifiez que ses quatre côtés sont de même longueur et que ses diagonales se coupent perpendiculairement.

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