À ce stade, tu as peut-être déjà rencontré des quadrilatèresà plusieurs reprises. Si ce n'est pas le cas, sache qu'un quadrilatère est une forme à quatre côtés. Tu te souviens peut-être aussi d'avoir appris les différents types de quadrilatères. Bien sûr, nous avons le carré et le rectangle. Mais nous avons aussi ces autres qui sont moins courants et peuvent être plus difficiles à mémoriser, comme les parallélogrammes, les trapèzes et les cerfs-volants. Dans cet article, nous parlerons des losanges. Commençons par expliquer ce que nous entendons par rhombe.
Un losange est un quadrilatère dont tous les côtés sont de même longueur et qui possède deux paires de côtés parallèles.
Un quadrilatère est une forme àquatrecôtés.
Un parallélogramme est un quadrilatère ayant deux paires de côtés parallèles.
Un quadrilatère ayant deux paires de côtés parallèles opposés est appelé un parallélogramme.
D'après la définition du losange et du parallélogramme, nous voyons que tous les losanges sont des types particuliers de parallélogrammes, puisqu'ils ont deux paires de côtés parallèles. Il est utile de se familiariser avec les parallélogrammes pour les besoins de cet article.
La figure suivante illustre un losange, . Comme il s'agit d'un losange, tous ses côtés sont de même longueur.
Illustration d'un losange - StudySmarter Originals
À partir de la figure ABCD, nous avons :
Comme un losange est un type de parallélogramme, les côtés opposés sont parallèles. Ainsi, est parallèle à et est parallèle à .
Propriétés des losanges
Maintenant que nous avons discuté des caractéristiques de base d'un losange, examinons ses propriétés plus en détail.
Les losanges en tant que parallélogrammes
Nous avons mentionné que les losanges sont un type particulier de parallélogramme, nous pouvons donc dire que toutes les propriétés des parallélogrammes s'appliquent également aux losanges. Voyons comment les propriétés des parallélogrammes en général s'appliquent spécifiquement aux losanges :
Les deux paires de côtés opposés d'un losange sont parallèles.
En plus des propriétés concernant les parallélogrammes, il existe également des propriétés supplémentaires spécifiques et uniques aux losanges. Nous les décrirons ci-dessous en nous référant au losange ABCD :
Illustration d'un losange dont les diagonales sont représentées - StudySmarter Originals
Les diagonales d'un losange sont perpendiculaires l'une à l'autre. Cela signifie qu'elles forment un angle droit l'une par rapport à l'autre.
Ainsi, dans le diagramme ci-dessus, .
À partir de là, on peut aussi dire que
Chaque diagonale d'un losange coupe en deux une paire d'angles intérieurs opposés.
En d'autres termes, et
Les quatre triangles créés lorsque nous ajoutons les diagonales du losange sont congruents. Ils sont donc mathématiquement identiques mais simplement orientés différemment.
Les triangles congruents des losanges
D'après les propriétés des losanges, nous savons que ses diagonales divisent la forme en quatre triangles qui sont congruents. Que signifie la congruence des triangles ? Deux ou plusieurs triangles sont congruents s'ils sont mathématiquement identiques. En d'autres termes, tous les côtés et les angles sont les mêmes, même s'ils sont orientés différemment. Rappelle-toi également que la somme des angles internes d'un triangle est de 180 degrés.
Considère le losange ci-dessous. Prouve que pour le losange donné, AC ⊥ BD.
Le symbole mathématique ⊥ signifie "perpendiculaire à".
Exemple de losange - StudySmarter Originals
Solution :
Par la définition d'un losange :
Considère maintenant les triangles et :
Le côté est un côté des deux triangles. Maintenant , puisque est un losange. Nous avons aussi , puisque est également un parallélogramme et les diagonales d'un parallélogramme se coupent en deux. Par conséquent, le triangle est congru au triangle . En d'autres termes, ce sont exactement les mêmes triangles, juste tournés dans des positions différentes.
Cela implique que :
De plus, et se trouvent sur la même ligne droite. Ainsi ,
Par conséquent,
De même, nous pouvons montrer que :
Ainsi, et sont perpendiculaires. C'est-à-dire , .
Formule d'aire pour les losanges
Nous avons une formule spécifique pour trouver l'aire d'un losange. Considère le losange suivant :
Exemple de losange - StudySmarter Originals
Maintenant, étiquetons les diagonales de façon à ce que et.
La surface du losange est donnée par la formule :
Puisqu'un losange est un type de quadrilatère, nous disposons également d'une autre formule pour trouver l'aire.
L'aire d'un quadrilatère quelconque est donnée par la formule: :
Ainsi, selon les longueurs dont nous disposons, nous pouvons utiliser l'une ou l'autre des formules ci-dessus pour calculer la surface d'un losange.
Note que lorsque nous parlons de surface, nous utilisonsunités carrées. Par exemple, si les longueurs de la base et de la hauteur sont exprimées en centimètres, l'unité de mesure de la surface est le centimètre carré ().
Un losange a des diagonales de longueurs et. Quelle est l'aire du losange ?
Solution :
En utilisant la formule spécifique pour l'aire d'un losange, nous avons :
En substituantetnous avons :
Ainsi, l'aire de ce losange est de.
Autres exemples de losanges
Nous allons maintenant examiner d'autres exemples de problèmes sur les losanges.
Considère le losange ci-dessous. Étant donné que , trouve.
Exemple de losange - StudySmarter Originals
Solution :
Rappelle que dans un losange, chaque diagonale est bissectée, ce qui signifie que nous avons une paire d'angles égaux. Nous savons également que les angles opposés d'un losange sont égaux.
Ainsi,
Maintenant, nous avons mentionné plus tôt que les diagonales d'un losange sont perpendiculaires entre elles. Par conséquent ,
Puisque forme un triangle et que la somme des angles d'un triangle est égale à Nous pouvons donc calculer :
Donc, en substituant les angles connus, on obtient
ce qui implique que
En soustrayant des deux côtés, nous obtenons :
Donc, nous avons que .
Considère le losange suivant représenté ci-dessous. Étant donné que Trouve .
Exemple de losange - StudySmarter Originals
Solution :
Rappelle que la diagonale coupe la diagonale . Par conséquent, nous avons,
.
Nous avons également que en raison de la bissectrice perpendiculaire.
Donc, puisque la somme des angles d'un triangle est égale à nous avons :
.
Ainsi , .
Losanges - Points clés
Un losange est un quadrilatère spécial dont les quatre côtés sont de même longueur et qui possède deux paires de côtés parallèles.
Un parallélogramme est un quadrilatère avec deux paires de côtés parallèles, donc un losange est aussi un parallélogramme.
Les angles opposés d'un losange sont égaux.
Les diagonales d'un losange se coupent en deux. En d'autres termes, l'intersection des deux diagonales se trouve au milieu de chaque diagonale.
Les diagonales d'un losange divisent la forme en quatre triangles rectangles congruents.
La surface d'un losange est donnée par où et sont les diagonales.
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Questions fréquemment posées en Losanges
Qu'est-ce qu'un losange en mathématiques?
Un losange est un quadrilatère dont les quatre côtés ont la même longueur.
Quelles sont les propriétés d'un losange?
Les propriétés d'un losange incluent quatre côtés égaux, des diagonales qui se coupent perpendiculairement et des angles opposés égaux.
Comment calculer l'aire d'un losange?
Pour calculer l'aire d'un losange, multipliez les longueurs de ses deux diagonales et divisez par deux : Aire = (D1 * D2) / 2.
Comment savoir si un quadrilatère est un losange?
Pour savoir si un quadrilatère est un losange, vérifiez que ses quatre côtés sont de même longueur et que ses diagonales se coupent perpendiculairement.
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Lily Hulatt
Digital Content Specialist
Lily Hulatt is a Digital Content Specialist with over three years of experience in content strategy and curriculum design. She gained her PhD in English Literature from Durham University in 2022, taught in Durham University’s English Studies Department, and has contributed to a number of publications. Lily specialises in English Literature, English Language, History, and Philosophy.
Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models’ (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.