Signification de l'isométrie
Une isométrie est un type de transformation qui préserve la forme et la distance. Il est important de noter que toutes les isométries sont des transformations, mais que toutes les transformations ne sont pas des isométries ! Il existe 3 principaux types de transformations qui relèvent de l'isométrie : les réflexions, les translations et les rotations. Toute transformation qui changerait la taille ou la forme d'un objet n'est pas une isométrie, ce qui signifie que les dilatations ne sont pas des isométries.
Une isométrie est une transformation effectuée sur un objet qui ne modifie ni sa forme ni sa taille.
Propriétés de l'isométrie
Les trois types de transformation isométrique que tu dois retenir sont les translations, les réflexions et les rotations. Pour reprendre, une transformation isométrique est une transformation qui ne change pas la forme ou la taille d'un objet, mais seulement son emplacement sur une grille. Si une forme est déplacée sur une grille et que la longueur de chaque côté n'a pas changé, mais seulement son emplacement, une transformation isométrique s'est produite.
Traductions
Une translation est un type de transformation isométrique. Lors de la translation d'un objet, la seule chose qui se produit est que les points de la forme se déplacent de leur position d'origine à leur nouvelle position, en fonction de ce que la translation indique.
Rappelle-toi ! La distance entre chaque point sera exactement la même après la translation !
Prends le pentagone ABCDE, dont le côté a une longueur de 1 unité, et traduis-le par (3, 2). Dans ce cas, on nous a déjà donné le pentagone sur un diagramme, il nous suffit donc de le traduire.
Solution :
La question ci-dessus nous demande de traduire la forme par (3, 2), ce qui signifie que nous devons dessiner une nouvelle image de 3 unités en travers et de 2 unités au-dessus de la forme actuelle.
Si nous dessinons le premier point, cela peut nous aider à comprendre à quoi doit ressembler le reste de la forme. Nous savons qu'une translation est une transformation isométrique, donc les côtés de la forme seront les mêmes, la seule chose qui aura changé est son emplacement. A' est le coin inférieur gauche de notre nouvelle forme, directement relié au point A de notre première forme.
Compte tenu de ces informations, nous pouvons dessiner le reste du pentagone, dont les côtés auront une longueur d'une unité, car une translation est une transformation isométrique.
Ci-dessus, voici à quoi ressemble notre transformation finale !
Réflexions
Une réflexion est un autre type de transformation isométrique, où un objet est réfléchi sur un axe. L'objet original et l'objet réfléchi ont les mêmes dimensions, c'est pourquoi la réflexion est un type d'isométrie.
Prends le carré ABCD, dont le côté a une longueur de 1 unité :
Solution :
Si nous voulons effectuer une réflexion sur l'axe des y, il nous suffit de copier la forme à sa position correspondante. Dans ce cas, lors d'une réflexion sur l'axe des y, nous savons que les coordonnées y de la forme ne doivent pas changer. En revanche, nous savons que les coordonnées x de chaque point changeront, pour être la coordonnée x négative correspondante. Dans ce cas, la nouvelle image ressemblera à ceci :
Le point A a été réfléchi sur le point A', le point B est réfléchi sur le point B' et ainsi de suite. Tu devrais remarquer que la distance à l'axe des y ne change pas entre l'image précédente et la nouvelle image réfléchie. De plus, les longueurs des côtés de chaque carré sont les mêmes.
N'oublie pas que A' se prononce "A prime".
Rotations
Le dernier type de transformation isométrique est la rotation. Une rotation consiste à déplacer un objet autour d'un point dans un mouvement circulaire. Là encore, l'objet n'est pas redimensionné et, à ce titre, une rotation est une forme de transformation isométrique.
On te donne un triangle ABC et on te demande de le faire pivoter de 90o dans le sens des aiguilles d'une montre autour de l'origine.
Solution :
Ci-dessus, nous pouvons voir que nous avons un triangle et un point marqué comme notre centre de rotation. Si nous voulons le faire tourner dans le sens des aiguilles d'une montre, nous devons le faire tourner vers la droite.
Nous y voilà ! Dans ce cas, nous pouvons voir que la rotation est une translation isométrique puisque chaque longueur du triangle d'origine est conservée à l'identique, ainsi que la distance entre chaque point du triangle et l'origine.
On te donne le quadrilatère ABCD et on te demande de le faire pivoter de 90 degrés dans le sens inverse des aiguilles d'une montre autour de l'origine.
Solution :
Si nous voulons le faire tourner dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, nous devons le faire tourner vers la gauche autour de l'origine. Pour le point A, nous pouvons voir qu'il se trouve à 15 unités le long de l'axe des x et à 10 unités vers le haut de l'axe des y. Ainsi, pour effectuer une rotation de 90 degrés dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, il faut aller de 10 unités à gauche de l'origine et de 15 unités vers le haut. Nous pouvons faire la même chose pour les points B, C et D. En joignant les points, nous obtenons le parallélogramme A'B'C'D'.
Dans ce cas, nous pouvons voir que la rotation est une translation isométrique puisque chaque longueur de la forme originale reste la même, ainsi que la distance de chaque point du triangle par rapport à l'origine.
Lois de l'isométrie
Maintenant que nous avons expliqué ce qu'est l'isométrie, examinons un autre aspect de l'isométrie : les isométries directes et opposées. Chaque transformation isométrique est soit une transformation isométrique directe, soit une transformation isométrique opposée. Mais que sont les isométries directes et opposées ? Une isométrie directe est un type de transformation qui préserve l'orientation, en plus d'être une isométrie exigeant que tous les côtés d'une forme aient la même longueur. En revanche, une isométrie opposée conserve la même longueur des côtés d'une forme tout en inversant l'ordre de chaque sommet.
Isométrie directe
L'isométrie directe conserve la longueur des dimensions d'une forme, ainsi que l'ordre de ses sommets.
Deux transformations relèvent de l'isométrie directe : les translations et les rotations. En effet, ces deux transformations préservent l'ordre des sommets d'une forme et conservent la même longueur de côté dans la pré-image et la nouvelle image.
Remarque que dans le diagramme ci-dessus, l'ordre des lettres autour de la forme ne change pas. C'est la principale règle qui permet d'identifier une transformation comme étant une isométrie directe.
Isométrie opposée
L'isométrie opposée préserve également les distances, mais contrairement à l'isométrie directe, elle inverse l'ordre de ses sommets.
Une seule transformation correspond à la définition de l'isométrie opposée, et c'est la réflexion. En effet, une réflexion modifie l'ordre des sommets d'une forme après qu'elle a été effectuée.
Remarque que dans le diagramme ci-dessus, après la réflexion du triangle, l'ordre des sommets a changé ! C'est parce que la réflexion est une isométrie opposée, ce qui explique pourquoi la forme ressemble aussi à la version opposée d'elle-même après avoir été réfléchie.
Isométrie - Principaux enseignements
- Une transformation isométrique est tout type de transformation qui préserve les longueurs et la forme globale d'un objet.
- Les trois principales formes de transformation isométrique sont les translations, les rotations et les réflexions.
- Il existe deux types de transformation isométrique : l'isométrie directe et l'isométrie opposée.
- Les isométries directes sont des translations et des rotations, et elles conservent l'ordre des coins.
- L'isométrie opposée est la réflexion, car elle inverse l'ordre des sommets.
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