Définition d'une inégalité de triangle
Commençons par examiner ce qu'est une inégalité triangulaire.
Une inégalité triangulaire est une inégalité qui est vraie pour n'importe quel type de triangle.
Dans cet article, tu verras plusieurs types d'inégalités de triangle, ainsi que des exemples de chacune d'entre elles.
Théorème de l'inégalité du triangle
L'un des théorèmes d'inégalité les plus importants concernant les triangles est que si tu additionnes la longueur de deux côtés quelconques, elle sera plus grande que la longueur du côté restant.
Prenons l'exemple d'un triangle.
Fig. 1. Un triangle général.
Rappelle-toi que la notation d'un côté du triangle se réfère aux angles, donc le côté reliant les points \N(A\N) et \N(B\N) s'écrira \N(AB\N). La longueur de \ (AB\) s'écrit \ (|AB\). Tu peux donc reformuler le théorème de l'inégalité triangulaire comme suit
\N-[ |AC| + |BC| > |AB|.\N]
Ceci est vrai pour n'importe quelle paire de côtés, donc le théorème de l'inégalité du triangle te dit aussi que
\N-[ |AB| + |AC| > |BC|\N]
et
\N- [|AB| + |BC| > |AC|.\N]
Ça a l'air bien, mais pourquoi sais-tu que c'est vrai ?
Preuve de l'inégalité du triangle
Tu ne veux certainement pas avoir à démontrer que ces trois inégalités sont vraies, alors l'idée est de choisir une affirmation au hasard et de la prouver. L'idée est donc de choisir une affirmation au hasard et de la prouver, puis de procéder de la même façon pour les deux autres. Essayons donc de prouver que
\N-[ |AC| + |BC| > |AB|.\N]
Une preuve géométrique est le moyen le plus simple. Trace deux arcs, l'un à partir du coin \N(A\N) et l'autre à partir du coin \N(B\N). Le rayon de l'arc centré sur \(A\) est \(|AC\), et le rayon de l'arc centré sur \(B\) est \(|BC\).
Fig. 2. Triangle avec des arcs dessinés à partir des coins A et B.
D'après la façon dont les arcs sont dessinés, tu sais que la distance entre \N(A\N) et \N(E\N) est la même que \N(|AC\N), et que la distance entre \N(B\N) et \N(D\N) est la même que \N(|BC\N). En regardant l'image, tu sais que
\N- [|AD| + |DE| + |EB| = |AB|,\N]
donc
\[ \begin{align} \N-AB| &< |AD| + 2|DE| + |EB| \N- &= \N- gauche( |AD| + |DE| \Ndroite) + \N- gauche(|DE| + |EB| \Ndroite) \N- &= |AC| + |BC|, \N- end{align} \]
ce qui est exactement ce que tu essayais de montrer ! Remarque que nous avons utilisé une astuce astucieuse en ajoutant \N(|DE| \N) pour rendre l'ensemble plus grand. Cela ne fonctionne que parce que \(|DE| \) est un nombre positif.
Théorème d'inégalité sur les côtés et les angles d'un triangle
Tu peux aussi parler des relations entre les côtés et les angles d'un triangle. Rappelle-toi que la mesure d'un angle est le nombre de degrés (ou radians) qu'il contient. La notation peut être la suivante
\N(m (\Nangle A)\N)
\(\text{meas }\angle A\), ou
\(\angle mesuré A\)
selon le livre que tu regardes. Par souci de cohérence, cet article utilise \( m ( \angle A)\).
Revenons à l'image du triangle.
Fig. 3. Un triangle général.
Le théorème de l'angle côté dit que si un côté est plus long qu'un autre, alors leur angle opposé au côté le plus long est plus grand que l'angle opposé au côté le plus court. En d'autres termes :
si \N(|AC| > |AB|) alors \N( m(\Nangle B) > m(\Nangle C)\N) ;
si \N(|BC| > |AC|) alors \N(m( \Nangle A) > m(\Nangle B)\N) ;
et ainsi de suite pour les autres comparaisons.
Théorème d'inégalité des angles extérieurs
Un dernier théorème d'inégalité des triangles, qui concerne cette fois les angles extérieurs. Commençons par une image.
Fig. 4. Triangle dont les angles intérieurs et extérieurs sont indiqués.
Dans l'image ci-dessus, les angles \N(b\N), \N(f\N) et \N(c\N) sont les angles intérieurs du triangle, tandis que les angles \N(a\N), \N(g\N) et \N(d\N) sont les angles extérieurs.
Tu dois aussi savoir que les deux angles intérieurs d'un triangle qui ne sont pas à côté d'un angle extérieur donné sont appelés angles intérieurs éloignés. Ainsi, pour l'angle extérieur \(g\), les angles intérieurs éloignés sont l'angle \(b\) et l'angle \(c\).
L'inégalité du triangle des angles extérieurs dit que la mesure d'un angle extérieur est plus grande que la mesure de l'un ou l'autre de ses deux angles intérieurs éloignés. En d'autres termes,
\N[m(\Nangle a) > m(\Nangle c) \Ntext{ and } m (\Nangle a) > m(\Nangle f).\N]
Tu peux dire la même chose pour les deux autres angles extérieurs de ce triangle.
Applications des inégalités triangulaires
Jetons un coup d'œil à quelques façons d'utiliser les inégalités triangulaires.
Un triangle a les longueurs de côté \(5\) et \(9\), trouve les longueurs possibles du troisième côté du triangle.
Réponse :
Il est toujours utile de commencer par faire un dessin ! Tu trouveras ci-dessous l'image d'un triangle dont les trois coins et les deux côtés sont indiqués.
Fig. 5. Triangle dont les deux côtés sont indiqués.
Le but est de trouver les longueurs possibles du côté \(BC\). Comme tu n'as pas d'angles donnés, l'idée est d'utiliser l'inégalité avec la longueur des côtés.
Énonçons les inégalités que tu peux utiliser :
\[ \begin{align} &|AB| + |BC| >|AC|\\ &|AC| + |AB| > |BC|\\ &|BC| + |AC| > |AB| .\end{align}\]
Tu peux maintenant ajouter \N( |AB| = 5\N) et \N(|AC| = 9\N) à chacune des inégalités pour obtenir
\[ \begin{align} &5 + |BC| >9\\ &9 +5 > |BC|\\ &|BC| +9 > 5 .\end{align}\]
Si tu fais un peu d'algèbre pour les simplifier, tu peux voir que
\[ \N- \N- & |BC| >4\N- &14 > |BC|\N- &|BC| > -4 .\N- [\N- \N- \N-]
Le dernier, \( |BC| > -4 \) ne te sert pas à grand chose puisque tu sais déjà que les longueurs sont supérieures à zéro. Mais les deux premières sont utiles, car elles t'indiquent que \(|BC| > 4\) et \(|BC| < 14\). En transformant tout cela en une seule inégalité,
\N- 4 < |BC| < 14.\N- 4 < |BC| < 14.\N- 4 < |BC| < 14.\N]
Prenons un autre exemple.
Suppose que l'angle \(x\) est tel qu'il est le plus grand angle du triangle. Peux-tu dire quel est le côté le plus long ?
Fig. 6. Triangle dont les côtés sont étiquetés et l'angle \(x\).
Réponse :
Tu peux utiliser le théorème des côtés et des angles du triangle pour cette question ! Tu sais que le côté le plus long est opposé à l'angle le plus grand. Puisque l'angle \(x\) est le plus grand angle, alors le côté \(c\) est le plus long.
Si la question avait demandé quel était le côté le plus court, tu aurais eu des problèmes parce qu'il n'y aurait pas eu assez d'informations pour y répondre.
Inégalités dans les triangles - Points clés à retenir
- Pour tout triangle, si tu additionnes la longueur de deux côtés quelconques, elle sera plus grande que la longueur du côté restant . C'est le théorème de l'inégalité du triangle.
- Pour tout triangle, si un côté est plus long qu'un autre, alors l'angle opposé au côté le plus long est plus grand que l'angle opposé au côté le plus court. C'est le théorème de l'angle latéral du triangle.
- L'inégalité du triangle des angles extérieurs dit que la mesure d'un angle extérieur est plus grande que la mesure de l'un ou l'autre de ses deux angles intérieurs éloignés.
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