Les plans en géométrie fournissent un espace pour définir des lignes et des points. Cependant, contrairement à une feuille de papier, les plans géométriques s'étendent à l'infini. Dans la vie réelle, toute surface plane à deux dimensions peut être considérée mathématiquement comme un plan, comme, par exemple, la surface d'un bureau. En revanche, le bloc de bois qui forme le dessus du bureau ne peut pas être considéré comme un plan à deux dimensions, car il a trois dimensions (longueur, largeur et profondeur).
Cet article explique le sujet des plans en géométrie et entre dans le détail de la définition des plans, de quelques exemples de plans, de la façon dont les plans se croisent et de l'équation des plans.
Définition d'un plan en géométrie
Commençons notre discussion par une définition formelle d'un plan.
En géométrie, un plan est une surface plane à deux dimensions qui s'étend à l'infini. Les plans sont définis comme ayant une épaisseur ou une profondeur nulle.
Par exemple, un système de coordonnées cartésiennes représente un plan, puisqu'il s'agit d'une surface plane qui s'étend à l'infini. Les deux dimensions sont données par les axes x et y :
Fig. 1. Système de coordonnées cartésiennes à deux dimensions.
Plans et espaces ambiants
Un plan étant bidimensionnel, cela signifie que les points et les lignes peuvent être définis comme existant à l'intérieur de ce plan, car ils ont moins de deux dimensions. En particulier, les points ont 0 dimension et les lignes ont 1 dimension. En outre, toutes les formes bidimensionnelles telles que les quadrilatères, les triangles et les polygones font partie de la géométrie plane et peuvent exister dans un plan.
La figure ci-dessous montre un plan avec des points et une ligne. Lorsque des points et des lignes existent dans un plan, on dit que le plan est l'espace ambiant du point et de la ligne.
Fig. 2. Un plan est l'espace ambiant du point (A) et de la ligne (BC).
Ainsi, les petits objets géométriques comme les points et les lignes peuvent "vivre" dans des objets plus grands, comme les plans. Ces objets plus grands qui hébergent des objets plus petits sont appelés espaces ambiants. Selon cette même logique, peux-tu deviner quel est l'espace ambiant qui accueille un plan ?
Il faut un espace tridimensionnel pour fournir un espace ambiant à un avion bidimensionnel. En fait, un système de coordonnées cartésiennes tridimensionnel peut contenir un nombre infini de plans, de lignes et de points. De même, un plan peut contenir un nombre infini de lignes et de points.
Fig. 3. Trois plans dans un système de coordonnées cartésiennes tridimensionnel.
Equation des plans en géométrie
Nous savons que l'équation d'une droite dans un système cartésien à deux dimensions est typiquement donnée par l'équation \(y=mx+b\). En revanche, l'équation d'un plan doit être définie dans un espace à trois dimensions. Elle est donc un peu plus complexe. L'équation pour définir un plan est donnée par :
\[ax+by+cz=d\]
Construire des plans en géométrie
Maintenant que nous avons vu l'équation, comment pouvons-nous construire un plan en géométrie ? Voici quelques méthodes :
- Trois points non colinéaires
- Un vecteur normal et un point
Plan à partir de trois points
Nous pouvons définir un plan en utilisant 3 points non colinéaires et coplanaires. Mais qu'est-ce que cela signifie d'être non colinéaire et coplanaire ? Voyons les définitions.
On parle depoints non col inéaires lorsque 3 points ou plus n'existent pas sur une ligne droite commune.
Les pointscoplanaires sont des points qui se trouvent sur le même plan.
Si 3 points donnés sont non colinéaires et coplanaires, nous pouvons les utiliser pour définir le plan qu'ils partagent. La figure ci-dessous montre un plan ABC qui est défini et formé par les points coplanaires \N(A\N), \N(B\N) et \N(C\N).
Fig. 4. Un plan \(ABC\).
Ensuite, regardons à nouveau la figure qui comprend maintenant un nouveau point, \N(D\N).
Fig. 5. Diagramme illustrant la coplanarité des points.
Est-ce que \(D\) est aussi un point coplanaire ? Sur la figure, nous pouvons voir que le point \N(D\N) ne se trouve pas sur le plan \N(ABC\N) comme le font les points \N(A\N), \N(B\N) et \N(C\N). Il semble plutôt se situer au-dessus du plan. Le point \N(D\N) n'est donc pas coplanaire. Voyons un exemple de définition d'un plan à l'aide de trois points.
Définis le plan illustré ci-dessous à l'aide de trois points.
Fig. 6. Exemple de plan à partir de 3 points.
Solution : D'après la figure, nous voyons que \(Q\N), \N(R\N) et \N(S\N) ne sont pas colinéaires et sont coplanaires. Par conséquent, nous pouvons définir un plan \(QRS\) en utilisant ces trois points. Bien que le point \(T\) ne soit pas non plus colinéaire avec les autres points, il n'est pas coplanaire parce qu'il n'est pas au même niveau ou à la même profondeur que les points \(Q\), \(R\) et \(S\). Il flotte plutôt au-dessus des points \N(Q\N), \N(R\N) et \N(S\N). Par conséquent, le point \N(T\N) ne peut pas nous aider à définir le plan \N(QRS\N).
Le point \N(D\N), donné par \N((3,2,8)\N), se trouve-t-il sur le plan \N(ABC\N), donné par \N(7x+6y-4z=1\N) ?
Solution :
Pour vérifier si un point se trouve sur un plan, nous pouvons insérer ses coordonnées dans l'équation du plan à vérifier. Si les coordonnées du point peuvent satisfaire mathématiquement l'équation du plan, alors nous savons que le point se trouve sur le plan.
\[7x+6y-4z=7(3)+6(2)-4(8)=21+12-32=1\]
Par conséquent, le point \(D\) se trouve sur le plan \(ABC\).
Représentation des plans dans le système de coordonnées cartésiennes 3D
Un point dans un système de coordonnées cartésiennes à trois dimensions est désigné par \N((x,y,z)\N).
Parmi tous les plans infinis qui peuvent exister dans un système de coordonnées cartésiennes à trois dimensions, trois sont particulièrement importants :
- Le plan \(xy\) qui est donné par l'équation \(z=0\) (en rouge dans la figure ci-dessous).
- Le plan \(yz\) qui est donné par l'équation \(x=0\) (vert dans la figure ci-dessous).
- Le plan \(xz\) qui est donné par l'équation \(y=0\) (bleu dans la figure ci-dessous).
Fig. 7. Illustration du plan xy (z = 0, rouge) ; du plan yz (x = 0, vert) ; du plan xz (y = 0), bleu.
Chaque plan est divisé en quatre quadrants, en fonction des valeurs des coordonnées. Par exemple, dans le plan \(xy\), nous avons les quatre quadrants suivants :
- Le premier quadrant a une coordonnée \(x\) et \(y\) positive.
- Le deuxième quadrant a une coordonnée négative \(x) et positive \(y).
- Le troisième quadrant a une coordonnée négative (x) et une coordonnée négative (y).
- Le quatrième quadrant a une coordonnée \(x) positive et une coordonnée \(y) négative.
Détermine lequel des points suivants se trouve dans le plan \(xy\) : \((3,-7,4)\), \((4,8,0)\), \((2,3,-4)\).
Nous savons que les points situés dans le plan \N(xy\N) auront une valeur z de \N(0\N), car ils ne sont définis que par les axes \N(x) et \N(y). Cela signifie que le point \N((4,8,0)\N) se trouve dans le plan \N(xy\N).
Plan à partir d'un vecteur normal
Rappelle qu'un vecteur est une quantité définie par deux éléments : une magnitude (taille ou longueur) et une direction (orientation dans l'espace). Vecteurs sont généralement représentés en géométrie sous forme de flèches.
Dans un espace cartésien à trois dimensions, les vecteurs sont désignés par une combinaison linéaire de composantes \((i,j,k)\). Par exemple, un vecteur avec la composante 1 dans la direction \N(x), 2 dans la direction \N(y), et 3 dans la direction \N(k) est désigné par :
\N[v=i+2j+3k\N]
Un vecteur perpendiculaire à un plan est dit normal à ce plan. Un tel vecteur a une propriété très spéciale : les valeurs de \(a\), \(b\), et \(c\) dans l'équation du plan (\(ax+by+cz = d\)) sont données par les composantes du vecteur normal au plan !
Cela signifie que nous pouvons trouver l'équation d'un plan si nous connaissons les deux :
- les coordonnées d'un point du plan, et
- le vecteur normal au plan.
Voyons quelques exemples.
Un plan \N(P\N) a un vecteur normal \N(7i+6j-4k\N). Le point \N(3,2,8)\Nest situé sur le plan \N(P\N). Trouve l'équation du plan \N(P\N) sous la forme \N(ax+by+cz=d\N).
Solution:
Le vecteur normal nous donne les valeurs de \N(a), \N(b) et \N(c) :
- La composante \(i\) du vecteur est \(a\), donc \(a=7\),
- la composante \(j\) est \(b\), donc \(b=6\),
- et la composante \(k\) est \(c\), donc \(c=-4\).
Cela nous donne : \N(7x+6y-4z=d\N).
Ensuite, nous devons trouver la valeur de \(d\). Comment pouvons-nous le faire ? Eh bien, nous connaissons les coordonnées d'un point situé sur le plan, donc si nous remplaçons ces valeurs dans l'équation, nous obtiendrons \(d\). Rappelle-toi que les coordonnées du point sont sous la forme \N((x,y,z)\N).
\[7(3)+6(2)-4(8)=d\]
\[21+12-32=d\]
\[d=1\]
Nous avons maintenant la valeur de \(d\), nous pouvons donc la remettre dans l'équation pour obtenir notre réponse :\[7x+6y-4z=1\]
Trouve une équation pour le plan qui passe par le point \((1,1,1)\) et qui est parallèle au plan \(3x+y+4z=6\).
Solution :
Le plan est parallèle au plan \(3x+y+4z=6\). Cela signifie qu'ils partagent la même normale, et un plan écrit sous la forme \(ax+by+cz=d\) a un vecteur normal, \(ai+bk+ck\). Ainsi, le plan a pour normale \(3i+j+4k\). Cela nous donne une partie de l'équation du plan : \N(3x+y+4z=d\N). Nous devons maintenant trouver une valeur pour \(d\). Comme le plan passe par le point \((1,1,1)\), nous savons que le point se trouve sur le plan. Par conséquent, nous pouvons substituer ces valeurs dans notre équation du plan pour obtenir une valeur pour \(d\) :
\[3(1)+1+4(1)=8\]
Notre valeur pour d nous donne notre équation plane complète :
\N- [3x+y+4z=8\N]
Les plans qui se croisent en géométrie
Si nous avons deux plans dans un espace tridimensionnel, il s'agit soit de plans parallèles, ce qui signifie qu'ils ne se croisent jamais (ne se rencontrent pas), soit de plans qui se coupent. Lorsque deux lignes se croisent, elles se croisent en un point singulier, car les lignes sont unidimensionnelles. Lorsque des plans se croisent, ils se croisent sur une ligne qui s'étend à l'infini ; c'est parce que les plans sont bidimensionnels. Imagine que tu aies deux feuilles de papier qui peuvent passer l'une à travers l'autre, ces deux feuilles de papier représentent chacune des plans. Lorsque tu les fais passer l'une à travers l'autre, elles se croisent une fois et forment une ligne.
Fig. 8. Des plans qui se croisent et qui forment une ligne.
Comme tu peux le voir sur l'image ci-dessus, des plans qui se croisent forment une ligne.
L'intersection d'un plan et d'une ligne
Lorsque nous définissons un plan et une ligne, il y a trois cas possibles :
- Le plan et la ligne sont parallèles, ce qui signifie qu'ils ne se croiseront jamais.
- Le plan et la ligne se croisent en un seul point dans l'espace tridimensionnel.
- La ligne se trouve sur le plan.
Dans le cas où une ligne coupe perpendiculairement (à angle droit) un plan, il existe d'autres propriétés que nous pouvons utiliser :
- Deux lignes perpendiculaires à un même plan sont parallèles l'une à l'autre.
- Deux plans perpendiculaires à une même ligne sont parallèles entre eux.
Exemples de plans en géométrie
Examinons quelques autres exemples impliquant des plans en géométrie.
Définis le plan :
Fig. 9. Exemple de plan.
Ce plan peut être défini comme \(CAB\), puisqu'un plan est constitué de trois points non colinéaires et coplanaires : \N(C\N), \N(A\N) et, \N(B\N) sont non colinéaires et coplanaires.
Un plan \(P\) a un vecteur normal \(2i+8j-3k\). Le point \N((3,9,1)\N) se trouve sur le plan \N(P\N). Trouve l'équation du plan \N(P\N) sous la forme \N(ax+by+cz=d\N).
Solution:
Le vecteur normal nous donne les valeurs de \N(a), \N(b) et \N(c) :
- La composante \(i\) du vecteur est \(a\), donc \(a=2\),
- la composante (j) est (b), donc (b=8),
- et la composante \(k\) est \(c\), donc \(c=-3\).
Ce qui nous donne : \N(2x+8y-3z=d\N).
Nous pouvons maintenant utiliser le point donné pour trouver la valeur de \N(d\N). Puisqu'on nous a donné les coordonnées, nous pouvons les substituer à l'équation pour trouver la valeur de \N(d\N).
\[2(3)+8(9)-2(1)=d\]
\[21+72-2=d\]
\[d=91\]
Par conséquent :
\N-[2x+8y-2z=91\N]
Les plans en géométrie - Principaux enseignements
- Un plan est une surface plane à deux dimensions qui s'étend à l'infini.
- L'équation d'un plan est donnée par : \(ax+by+cz=d\)
- 3 points non colinéaires peuvent être utilisés pour définir un plan dans l'espace tridimensionnel.
- En géométrie des coordonnées, nous définissons généralement des points et des lignes dans les plans \N(xy\N), \N(xz\N) et \N(yz\N). Si un point se trouve dans l'un de ces plans, il a une coordonnée de \(0\) dans l'axe restant.
- Lorsque des plans se croisent, ils se croisent sur une ligne qui s'étend à l'infini.
- Un plan et une ligne sont soit parallèles, soit se coupent en un point, soit la ligne se trouve dans le plan.
- Deux droites perpendiculaires à un même plan sont parallèles.
- Deux plans perpendiculaires à une même ligne sont parallèles.
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