Géométrie discrète

Une exploration plus poussée de la géométrie discrète révèle son influence sur les tessellations et les tuilages, qui sont des méthodes permettant de couvrir un plan à l'aide de formes sans espace ni chevauchement. Ces concepts ne sont pas seulement intéressants d'un point de vue mathématique, ils ont aussi des applications pratiques dans les domaines de l'art, du design et de l'architecture. Les tesselles permettent d'utiliser efficacement l'espace et les matériaux, mettant en évidence le mélange de la théorie mathématique et de l'utilité pratique.

Pour aller plus loin dans les applications quotidiennes, considère la planification et la conception des zones urbaines. Les urbanistes utilisent des formes et des principes géométriques pour concevoir des villes faciles à parcourir, en veillant à ce que les routes, les bâtiments et les espaces publics soient organisés de manière logique et accessible. Cette planification méticuleuse fait appel à la géométrie discrète à chaque étape, de la disposition des îlots urbains à la conception des systèmes de transport public.

En approfondissant l'application informatique, les algorithmes de recherche de chemin dans les réseaux ou les graphes s'appuient fortement sur la géométrie discrète. Ces algorithmes, comme celui de Dijkstra ou A*, sont essentiels pour le routage des réseaux, les mouvements de l'IA dans les jeux et la résolution des labyrinthes. Voici une représentation simple de l'algorithme de Dijkstra en Python :

def dijkstra(graph, start) : shortest_path = {} unvisited = set(graph) while unvisited : node = min(unvisited, key=lambda node : shortest_path.get(node,float('inf'))) unvisited.remove(node) for neighbour, distance in graph[node].items() : path = shortest_path.get(node,float('inf')) + distance si chemin < chemin le plus court.get(voisin, float('inf')) : chemin le plus court[voisin] = chemin retour chemin le plus court

L'exploration du concept des coques convexes offre une excursion passionnante dans la géométrie discrète appliquée. La coque convexe d'un ensemble de points est le plus petit ensemble convexe contenant tous les points. Ce concept a des applications essentielles en géométrie informatique, comme la conception d'algorithmes pour la reconnaissance des formes, l'analyse des données et le traitement des images.Par exemple, en vision artificielle, la détermination de la coque convexe d'un ensemble de points peut aider à identifier la limite extérieure d'un objet dans une image, ce qui facilite la reconnaissance et la classification des objets.

Si l'on va plus loin, la dépendance de la géométrie informatique à l'égard de la géométrie discrète est évidente dans les algorithmes de reconnaissance d'objets en 3D. La capacité de définir et de manipuler avec précision des formes géométriques dans un ordinateur nécessite la représentation discrète de ces formes, ce qui illustre la relation symbiotique entre ces domaines.Par exemple, les algorithmes de reconnaissance d'objets en 3D reposent souvent sur l'approximation discrète des formes des objets à l'aide de polygones ou de polyèdres, ce qui permet aux ordinateurs de traiter et d'analyser efficacement leurs propriétés géométriques dans le cadre de tâches de reconnaissance.

L'impact de la géométrie discrète sur la technologie moderne est particulièrement visible dans le domaine de la robotique, notamment en ce qui concerne la planification des mouvements et le raisonnement spatial. Les robots évoluent dans des environnements discrétisés en espaces navigables et non navigables, ce qui leur permet de tracer des chemins et de prendre des décisions basées sur des algorithmes géométriques. Ceci est crucial pour les véhicules autonomes, où les algorithmes de géométrie discrète traitent les données des capteurs pour éviter les obstacles et naviguer efficacement.Par exemple, les algorithmes de recherche de chemin utilisant la géométrie discrète, tels que A* ou Dijkstra, permettent aux véhicules autonomes de calculer l'itinéraire le plus efficace entre deux points, en tenant compte des contraintes du monde réel. Voici une représentation simple de l'algorithme A* en Python :

def a_star_algorithm(start, stop) : # L'ensemble ouvert est initialement vide # L'ensemble fermé commence par la position initiale # Suppose quelques fonctions définies ailleurs : heuristic(), neighbours(), move_cost() open_set = set(start) closed_set = set() g = {} parents = {} g[start] = 0 while len(open_set) > 0 :
        n = None for v in open_set : if n == None or g[v] + heuristic(v) < g[n] + heuristic(n) : n = v ; if n == None : print('Path does not exist !') return None if n == stop : reconst_path = [] while parents[n] != n : reconst_path.append(n) n = parents[n] reconst_path.append(start) reconst_path.reverse() return reconst_path for (m, weight) in neighbours(n) : if m not in open_set and m not in closed_set : open_set.add(m) parents[m] = n g[m] = g[n] + poids else : if g[m] > g[n] + poids : g[m] = g[n] + poids parents[m] = n if m in closed_set : closed_set.remove(m) open_set.add(m) open_set.remove(n) closed_set.add(n) print('Path does not exist!') return None