Dans ce cours de géométrie analytique, on commence par un peu d'Histoire sur le créateur de la géométrie analytique : René Descartes. Ensuite, on donne des informations sur la géométrie analytique en général, avant de poursuivre sur les questions de géométrie analytique dans l'espace. Enfin, on donne quelques formules utiles pour les calculs habituels en géométrie analytique.
La géométrie analytique de Descartes
René Descartes (1596 - 1650) est un mathématicien, physicien et philosophe français. Avec son œuvre intitulé La Géométrie, il établit les bases de la géométrie analytique. Il a comparé les opérations arithmétiques et la géométrie de l'époque. De plus, il a avancé l'idée d'utiliser le calcul littéral, notamment les équations, afin de résoudre des problèmes de géométrie. C'est pour cela qu'il y a encore des objets mathématiques qui portent son nom de nos jours, comme l'équation cartésienne d'une droite et le système de coordonnées cartésiennes.
Cours de géométrie analytique
La base dans un cours de géométrie analytique est la compréhension d'un repère et des coordonnées. Dans un repère, il y a plusieurs axes. On utilise ces axes pour savoir l'emplacement de certains points via leurs coordonnées. Sur un plan, dans le système de coordonnées cartésiennes, on dispose de l'axe des abscisses (ou l'axe des x) et l'axe des ordonnés (ou l'axe des y). Dans l'espace 3D, on dispose également d'un axe des z.
Cela veut dire qu'un point dans un repère du plan aura deux coordonnées et pour un repère de l'espace, il y aura trois coordonnées. On peut ensuite utiliser les coordonnées de ces points pour déterminer les équations de certaines formes dans le repère, que ce soit dans le plan ou dans l'espace. Attention : il y a plusieurs types de systèmes de coordonnées et il ne s'agit pas toujours d'un repère.
Il y a deux formes principales qu'on étudie dans un cours de géométrie analytique : les droites et les cercles. Ils ont des équations générales qui les définissent. Pour une droite, les informations importantes sont sa pente et son ordonnée à l'origine.
Un cercle est l'ensemble des points qui sont équidistants (à la même distance) d'un point donné, appelé centre. La distance entre le centre est un des points du cercle s'appelle le rayon.
Pour un cercle, on considère plutôt son rayon et les coordonnées de son centre. On peut ensuite appliquer le calcul littéral à ces équations afin de résoudre des problèmes géométriques, par exemple trouver des coordonnées d'intersection dans le plan ou dans l'espace.
Les vecteurs sont un autre concept important dans un cours de géométrie analytique. On peut désigner ces objets mathématiques de façons différentes.
Un vecteur est un objet mathématique qui possède à la fois une magnitude et une direction. Les vecteurs peuvent être additionnés pour former de nouveaux vecteurs, et multipliés par des scalaires pour former des vecteurs à l'échelle. Ils sont souvent utilisés en physique et en ingénierie pour modéliser des éléments tels que la vitesse, la force et d'autres quantités physiques qui peuvent être mesurées à l'aide d'une échelle.
Graphiquement, on représente un vecteur par une flèche dans un repère dans le plan ou dans l'espace.
Les vecteurs nous aident en particulier à définir les équations de droites.
Géométrie analytique dans l'espace
La géométrie analytique dans l'espace est une extension de la géométrie analytique en deux dimensions. La particularité de la géométrie analytique dans l'espace est que les repères utilisés disposent de trois axes, pour les trois dimensions de l'espace. Cela veut dire qu'on considère une troisième coordonnée qui nécessite une troisième variable dans nos équations. Plus il y a de coordonnées, plus les calculs sont complexes, mais pas impossibles !
On va souvent considérer les droites comme avec la géométrie analytique dans le plan. Or, vu qu'il y a trois dimensions, les problèmes de géométrie analytique dans l'espace concernent l'étude des plans également. Comme dans le plan, les vecteurs sont des objets centraux dans la géométrie analytique dans l'espace.
Formules en géométrie analytique
Comme dans tous les domaines de mathématiques, il y a plusieurs formules de géométrie analytique. Il est donc difficile de donner une liste exhaustive de toutes ces formules. Le tableau ci-dessous donne quelques formules de géométrie analytique et de courtes descriptions.
| Formule | Description |
| \( (\frac{x_A + x_B}{2} ; \frac{y_A + y_B}{2}) \) | Cette formule donne les coordonnés du milieu de deux points (xA ; yA) et (xB ; yB) dans un repère du plan. Dans l'espace, le calcul est légèrement différent. |
| \( \sqrt{(x_A - x_B)^2 + (y_A - y_B)^2} \) | Cette formule donne la distance entre deux points (xA ; yA) et (xB ; yB) dans un repère du plan. Comme pour la formule précédente, le calcul est un petit peu différent pour des points dans l'espace. |
| \( y = mx + p \) | Il s'agit de l'équation réduite d'une droite dans le plan, où m est le coefficient directeur (ou la pente) et p est l'ordonnée à l'origine. L'équation d'une droite dans l'espace comporte quelques différences. |
| \( ax + by + c = 0 \) | Il s'agit de la forme générale d'une équation cartésienne d'une droite dans le plan. On peut obtenir une équation cartésienne à partir de l'équation réduite et vice-versa via des calculs simples. |
| \( (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\) | C'est l'équation d'un cercle avec un centre de coordonnées (a ; b) et de rayon r. |
| \( \sqrt{x^2 + y^2} \) | Il s'agit de la formule pour la norme d'un vecteur, dont les coordonnées (ou composantes) sont x et y. |
| \( \vec{u} \cdot \vec{v} = \lVert u \rVert \lVert v \rVert cos\theta \) | Cette formule permet de calculer le produit scalaire de deux vecteurs. \( \theta \) est l'angle entre les deux vecteurs \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \). \( \lVert u \rVert \) désigne la norme du vecteur \( \vec{u} \) |
| \( \vec{u} \cdot \vec{v} = u_{x}u_{y} + v_{x}v_{y} \) | Cette formule permet de calculer le produit scalaire de deux vecteurs avec leurs coordonnées. |
Géométrie analytique - Points clés
La géométrie analytique décrit les formes à l'aide des équations et du calcul littéral. On utilise souvent un repère pour désigner l'emplacement des points via leurs coordonnées.
La géométrie analytique a été créée par le mathématicien français René Descartes.
On peut étudier la géométrie analytique sur le plan ou dans l'espace.
Comme tout domaine de mathématiques, il y a plusieurs formules à apprendre.
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Gabriel Freitas est un ingénieur en intelligence artificielle possédant une solide expérience en développement logiciel, en algorithmes d’apprentissage automatique et en IA générative, notamment dans les applications des grands modèles de langage (LLM). Diplômé en génie électrique de l’Université de São Paulo, il poursuit actuellement une maîtrise en génie informatique à l’Université de Campinas, avec une spécialisation en apprentissage automatique. Gabriel a un solide bagage en ingénierie logicielle et a travaillé sur des projets impliquant la vision par ordinateur, l’IA embarquée et les applications LLM.
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