Concepts fondamentaux de la géométrie euclidienne
En découvrant les secrets des fondements de la géométrie, Euclide s'est rendu compte qu'il fallait d'abord aborder les concepts fondamentaux de base. Il fallait répondre à certaines questions pour définir ces constituants fondamentaux du domaine, comme par exemple qu'est-ce qu'un point, ou qu'est-ce qu'une ligne ?
Les points
Euclide définit un point comme suit : "un point est ce qui n'a pas de partie". En substance, cela signifie simplement qu'un point n'est qu'un emplacement dans l'espace qui n'a pas de dimensions. Autrement dit, bien qu'il ait des paramètres spatiaux pour définir son emplacement, il n'occupe en fait aucun espace lui-même.
Un point P(4,3) sur un ensemble d'axes x-y, John Hannah - StudySmarter Originals
Lignes
Euclide a également défini ce qu'on appelle une ligne. Il l'a définie comme "une longueur sans largeur". En fait, il s'agit simplement d'un segment unidimensionnel d'une longueur finie. Il a supposé qu'une ligne pouvait être prolongée à l'infini dans l'une ou l'autre direction. C'est un domaine où la géométrie moderne diffère des principes fondamentaux d'Euclide, car aujourd'hui, nous appelons une ligne infiniment étendue simplement une ligne et la ligne d'Euclide de longueur finie un segment de ligne. Il s'agit d'une distinction importante qu'il faut garder à l'esprit par souci d'exactitude. Voyons la différence ci-dessous. Euclide a également défini ce qu'on appelle un rayon, qui, comme une ligne, est infiniment long, mais qui a un point de départ défini. On l'appelle aussi parfois demi-droite.
Une ligne est une figure droite à une dimension qui s'étend indéfiniment dans les deux sens. Un segment de droite est une figure droite à une dimension, de longueur finie, qui relie deux points. Un rayon est une figure droite à une dimension qui s'étend à l'infini dans une direction, à partir d'un point de départ défini.
Une ligne sur un ensemble d'axes x-y, John Hannah - StudySmarter Originals
Un segment de droite sur un ensemble d'axes x-y, John Hannah - StudySmarter Original
Un rayon sur un ensemble d'axes x-y, John Hannah - StudySmarter Original
Les avions
À bien des égards, un plan peut être considéré comme similaire à une ligne, mais en deux dimensions. Un plan est simplement une surface qui s'étend indéfiniment. Un plan peut exister dans des espaces à deux dimensions ainsi que dans des espaces à trois dimensions et plus.
Un plan est une figure bidimensionnelle qui s'étend indéfiniment dans quatre directions.
Un plan sur un ensemble d'axes x-y-z, John Hannah - StudySmarter Originals
Les angles
Les angles ont été définis par Euclide comme "l'inclinaison de deux lignes droites". En termes plus simples, il s'agit de la distance de rotation entre deux lignes ou segments de ligne qui partagent un point, c'est-à-dire de combien il faudrait faire pivoter une ligne pour qu'elle s'aligne sur l'autre. Le point commun est appelé sommet de l'angle.
Un angle est une mesure de l'espace de rotation entre deux lignes ou segments de ligne.
Deux segments de droite formant un angle aigu, A, John Hannah - StudySmarter Originals
Dimensions
Les dimensions sont un aspect important des principes fondamentaux de la géométrie, qui traite spécifiquement des dimensions spatiales. En mathématiques et en physique, les dimensions spatiales peuvent être définies comme le nombre minimum de coordonnées nécessaires pour décrire un point dans cet espace. Par exemple, une ligne a 1 dimension car un seul nombre est nécessaire pour spécifier un point sur cette ligne. De même, si tu veux spécifier un point sur un axe x-y, tu as besoin de deux coordonnées - une coordonnée x et une coordonnée y - et sur un ensemble d'axes tridimensionnels, tu as besoin d'une troisième coordonnée - la coordonnée z.
Les dimensions sont des extensions de l'espace dans une seule direction, dont la longueur peut être utilisée pour décrire l'emplacement d'un point dans cette dimension. Plusieurs dimensions peuvent être combinées pour décrire des propriétés géométriques de plus en plus complexes.
Un point dans un espace à 2 dimensions, John Hannah - StudySmarter Originals
Un point dans un espace à trois dimensions, John Hannah, StudySmarter Originals
Surface
La surface est une mesure qui décrit la taille d'une certaine région bidimensionnelle. Il existe plusieurs formules permettant de calculer la surface de certaines formes. Une bonne façon de visualiser la surface est de diviser un espace bidimensionnel en carrés. La surface de la forme est simplement égale au nombre de carrés qu'elle contient.
La surface est une mesure qui décrit la taille d'une certaine région bidimensionnelle de l'espace.
Représentation de la surface d'un triangle sur un ensemble d'axes x-y, John Hannah - StudySmarter Originals
Le volume
Tout comme la surface, le volume est une mesure qui quantifie la taille d'une certaine région de l'espace. Le volume, cependant, quantifie la taille d'une région dans un espace tridimensionnel . Toutes les formes tridimensionnelles ont un volume et, comme pour la surface, il existe de nombreuses formules utiles pour calculer le volume de différentes formes. Nous pouvons visualiser le volume de la même manière que la surface, mais au lieu d'utiliser des petits carrés, nous comptons le nombre de petits cubes à l'intérieur d'une forme. L'image ci-dessous représente un cube dans un espace tridimensionnel. Quelle est la place occupée par le cube ? Eh bien, en comptant, nous pouvons voir que le cube occupe l'espace de 64 petits cubes, chacun ayant un volume de 1 unité3.
Le volume est une mesure qui décrit la taille d'une certaine région tridimensionnelle de l'espace.
Unités
Une partie importante des principes fondamentaux de la géométrie est l'utilisation de diverses unités. En géométrie, nous utilisons deux types d'unités de base : les unités de longueur et les unités d'angle.
Une unité est une convention qui nous aide à définir la taille d'une chose. Par exemple,une unité delongueur peut nous aider à définir la longueur d'un objet, et une unité de volume peut nous aider à définir la taille d'une forme tridimensionnelle.
Les unités de longueur
Il existe deux systèmes principaux d'unités de longueur. Il s'agit du système métrique et du système impérial . Le système métrique utilise des unités de centimètres, de mètres, de kilomètres, etc. tandis que le système impérial utilise des unités de pouces, de pieds, de verges, de miles, etc.
La longueur est une unité à une dimension, mais il existe des unités à deux dimensions (surface) et à trois dimensions (volume) qui sont composées de ces unités de longueur. La convention pour la dénomination de ces dimensions est indiquée dans le tableau ci-dessous.
| Longueur | Surface | Volume |
Unités d'angles
Les degrés et les radians sont les deux principales unités de mesure des angles et il est très facile de rencontrer des problèmes si la distinction entre les deux n'est pas claire !
Tout d'abord, il est important de reconnaître que les degrés sont une unité de mesure arbitraire qui découle simplement de la rotation de la Terre. Les anciens qui observaient les constellations dans le ciel se déplacer selon un cycle annuel ont pensé que, puisqu'il y avait 360 jours dans une année (il y en a en réalité 365, mais ils s'en sont bien rapprochés !), il devait y avoir 360 degrés dans une rotation complète. Cette méthode s'est avérée simple et intuitive pour discuter des angles en tant qu'êtres humains. Après tout, nous ne sommes pas des ordinateurs et les nombres décimaux très proches les uns des autres peuvent parfois prêter à confusion.
Cependant, depuis que ces premiers savants se sont assis pour regarder les étoiles, nous avons découvert une autre façon, sans doute plus mathématique, de décrire les angles. Cette unité est connue sous le nom de radian.
Les radians, plutôt que d'être simplement liés à la "quantité de rotation", sont liés à la distance parcourue autour d'un arc. En réalité, les radians sont en fait la distance parcourue autour d'un arc divisée par la distance au point de pivot de cet arc. Si nous prenons l'équation reliant la circonférence d'un cercle à son rayon, nous pouvons trouver le nombre de radians dans une rotation complète de 360o.
Dans 360o, il y a donc radians. À partir de là, nous pouvons voir que
| Degrés | Radians |
| 360o | |
| 180o | |
| 90o | |
| 45o |
Il est important, lorsque tu utilises une calculatrice, qu'elle soit réglée pour traiter tes angles en radians ou en degrés lorsqu'il s'agit de fonctions trigonométriques, afin d'obtenir la bonne réponse. Techniquement, toutes les fonctions mathématiques qui prennent des angles en entrée fonctionnent en radians.
Les principes fondamentaux de la géométrie euclidienne
Euclide a formulé cinq postulats fondamentaux lorsqu'il s'est penché sur la géométrie. Ces postulats étaient des principes fondamentaux de la géométrie qu'il considérait comme évidents et qui ont inspiré tous les autres principes et concepts de la géométrie par la suite.
Postulats de la géométrie euclidienne |
1. Un segment de droite peut être tracé entre deux points quelconques. |
2. Tout segment de droite peut être prolongé indéfiniment en ligne droite. |
3. Étant donné un segment de droite quelconque, on peut tracer un cercle ayant le segment comme rayon et un point d'extrémité comme centre. |
4. Tous les angles droits sont congruents. |
5. Étant donné une ligne et un point qui n'est pas sur cette ligne, il existe un nombre infini de lignes passant par le point donné et parallèles à la ligne donnée. |
Principes fondamentaux de la géométrie - Principaux enseignements
- Un grand nombre des principes fondamentaux de la géométrie utilisés aujourd'hui ont été popularisés par un mathématicien grec connu sous le nom d'Euclide.
- Un point est un espace à emplacement unique qui n'a pas de taille.
- Une ligne est une figure à une dimension qui s'étend indéfiniment.
- Un segment de ligne est une figure à une dimension dont les points de départ et d'arrivée sont finis.
- Un plan est une figure à deux dimensions qui s'étend indéfiniment.
- Les angles sont une mesure de la distance de rotation.
- Les dimensions peuvent être décrites comme les coordonnées nécessaires pour définir un point dans un certain espace.
- La surface est une mesure de la taille bidimensionnelle d'une forme.
- Le volume est la mesure de la taille tridimensionnelle d'une forme.
- Les unités sont une convention utilisée pour définir la taille de diverses quantités.
- Les unités de longueur appartiennent soit au système impérial, soit au système métrique.
- Les unités d'angles sont soit des radians, soit des degrés.
- Euclide a défini cinq postulats de géométrie qu'il considérait comme des vérités évidentes.
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