Distance et Milieux

Distance et points médians dans le plan de coordonnées

Dans le plan de coordonnées, les points sont définis par une coordonnée $x$ et une $y$ qui indiquent respectivement à quelle distance du plan de coordonnées se trouve la ligne et à quelle distance du plan de coordonnées elle se trouve. Les points de coordonnées s'écrivent sous la forme $(x,y)$.

Un graphique montrant les points (2, 1) et (4, 3) - StudySmarter Originals

La figure ci-dessus montre les points de coordonnées $(2,1)$ et $\left(4,3\right)$. Traçons un segment de droite entre eux dans la figure suivante :

Un segment de droite reliant les points (2, 1) et (4, 3) - StudySmarter Originals

Le point central de ce segment de droite est le point médian, et la longueur du segment de droite décrit la distance entre les deux points. Comment pouvons-nous déterminer le point central de la ligne et la distance entre les deux points ? Il existe des formules qui peuvent nous aider à régler ces détails. Jetons-y un coup d'œil.

Distance et points médians : Formules

Dans cette section, nous examinons deux formules :

• La formule pour le point médian d'un segment de ligne.
• La formule de la distance entre deux points

Formule pour le point médian d'un segment de droite

Nous savons que le point médian est situé à mi-chemin entre les deux points. Cela signifie que sa coordonnée x est à mi-chemin entre les coordonnées x des points, et que sa coordonnée y est à mi-chemin entre les coordonnées y des points. Alors, si nous connaissons les coordonnées x et les coordonnées y des deux points, comment pouvons-nous trouver le point médian qui est situé à mi-chemin entre eux ?

Pour un segment de droite reliant les points $(x_1,y_1)$ et $(x_2,y_2)$le point médian est : $(x_m,y_m)=(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$.

La figure ci-dessous montre les points $(2,1)$ et $\left(4,3\right)$ sur un plan de coordonnées, avec un point médian à $(3,2)$. Discutons plus en détail de la façon dont le point médian est trouvé.

Le point milieu d'un segment de droite reliant les points (2, 1) et (4, 3) - StudySmarter Originals

La formule du point médian donnée ci-dessus nous permet de trouver la moyenne des coordonnées x des points et la moyenne des coordonnées y des points. Pour trouver la moyenne des coordonnées x de nos points, nous devons additionner les deux valeurs des coordonnées x. ($2+4=6$), puis les diviser par deux ($6÷2=3$). Cela nous donne la coordonnée x du point médian, 3. Ensuite, nous additionnons les deux coordonnées y ($1+3=4$) et les diviser par deux ($4÷2=2$) pour trouver la moyenne des coordonnées y de nos points, qui est la coordonnée y du point central.

Formule de calcul de la distance entre deux points

Lorsque nous calculons la distance entre deux points, nous trouvons la longueur du segment de droite qui les sépare. Comment déterminer cette longueur ?

La distance entre deux points $(x_1,y_1)$ et $(x_2,y_2)$ est donnée par la formule : $r=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+(y_2-y_1}{)}^2$.

Par conséquent, si nous connaissons les coordonnées x et y des deux points, nous pouvons appliquer cette formule. Tu te demandes peut-être d'où vient cette formule. La formule de la distance entre les points considère le segment de la ligne qui relie les points comme s'il s'agissait de l'hypoténuse d'un triangle rectangle, ce qui signifie que le théorème de Pythagore s'applique, donné par $a^2+b^2=c^2$. L'hypoténuse a et les longueurs des côtés b et c qui l'accompagnent sont visibles dans la figure ci-dessous.

Un graphique montrant comment le théorème de Pythagore peut être utilisé pour calculer la distance entre deux points dans le plan de coordonnées - StudySmarter Originals

La formule prend également en compte la différence entre les coordonnées x et les coordonnées y des points, qui peut être obtenue en soustrayant les plus petites coordonnées des plus grandes dans ce cas. Dans le graphique ci-dessus, la distance entre les coordonnées x de $\left(2,1\right)$ et $\left(4,3\right)$ est de $4-2=2$. Cela signifie que notre triangle imaginaire a un côté de 2 ! De même, la distance entre les coordonnées y est de $3-1=2$ce qui donne une longueur de côté de 2 pour le deuxième triangle.

Qu'en est-il de l'hypoténuse du triangle ? Lorsque nous appliquons le théorème de Pythagore, nous acquérons la longueur de l'hypoténuse du triangle que nous avons créé, qui sera le segment de droite entre les deux points :

$\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$

Maintenant que nous comprenons les origines de la formule, appliquons-la dans un problème d'exemple.

Trouver les points médians et la distance à l'aide d'exemples

En utilisant les formules fournies précédemment, nous pouvons trouver la distance et les points médians entre deux points définis dans le plan de coordonnées.

Applications de la formule du point médian et de la distance

Les points médians et les distances ont de nombreuses applications mathématiques. Dans cette section, nous te proposons quelques exemples d'application des formules dont nous avons parlé.

Utilisation de la formule du point médian pour trouver la bissectrice perpendiculaire

Tu peux utiliser la formule du point médian pour trouver la bissectrice perpendiculaire d'un segment de droite. Une bissectrice perpendiculaire est une ligne qui coupe un segment de droite en son milieu à angle droit, le coupant ainsi en deux moitiés.

Pour trouver une bissectrice perpendiculaire, il faut trouver le point médian et la pente d'un segment de droite, ainsi que la réciproque négative de sa pente. Ensuite, nous remplaçons ces valeurs dans la formule $y-y_1=m(x-x_2)$Pour trouver la bissectrice, on utilise les coordonnées du point médian et l'inverse négatif de la pente du segment de droite.

Utiliser la formule de la distance pour définir des formes et des objets

Nous savons que nous pouvons utiliser la formule de la distance pour trouver la longueur des segments de droite si nous connaissons les points de départ et d'arrivée du segment de droite. Par exemple, si une échelle est appuyée contre un mur et que l'échelle touche le mur et le sol aux points $(A,\hspace{0.17em}B)$ et $\left(C,D\right)$ nous pourrions utiliser la formule de la distance pour déterminer la longueur de l'échelle.

Nous pouvons également prouver que les segments de droite joignant des points sur un plan de coordonnées fonctionnent ensemble pour former une forme spécifique. Par exemple, si trois segments de droite joignant 3 points ont tous des distances égales, nous pouvons montrer que les segments de droite forment un triangle équilatéral, car les triangles équilatéraux ont 3 longueurs de côté égales.